Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

Определим удлинение стержня 2, так как перемещение точки С определяется только удлинением этого стержня:

Перемещение точки С:

δС CC 5,9 мм [δ] 20 мм.

Жесткость конструкции обеспечена.

1.3. Расчет статически неопределимой стержневой системы

Задача 3

Система, состоящая из элементов большой жесткости и двух стальных стержней, загружена расчетной нагрузкой. Расчетное сопротивление материала стержней R = 210 МПа, модуль продольной упругости Е = 200 ГПа. Требуется проверить прочность стержней.

30

Исходные данные для решения задачи 3 приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Исходные данные к задаче 3

31

Составим расчетную схему стержневой системы (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Расчетная схема стержневой системы

В схеме N1 и N2 – продольные силы, возникающие в стержнях 1 и 2, Yо и Xо – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-неподвижной опоры О.

Из направления действия нагрузки предполагаем, что первый стержень растягивается (силу N1 направляем от сечения), а второй стержень сжимается (силу N2 направляем к сечению). Таким образом, имеем четыре неизвестные силы (N1, N2, Yо, Xо) и три уравнения

равновесия ( X 0, Y 0, Mi 0). Следовательно, данная сис-

тема является один раз статически неопределимой и для ее решения требуется составить дополнительное уравнение перемещений.

Запишем уравнение равновесия:

MO N2 3asin 60o q2aa N13,5a 0;

N2 0,866 6 10 4 2 N1 3,5 2 0;5,196N2 7N1 80 0.

Данное уравнение имеет две неизвестные продольные силы.

37

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим схему перемещений стержневой системы (рис. 1.15). Из-за малости деформаций считаем, что при повороте жесткого элемента вокруг неподвижной точки О,, все его точки перемещаются линейно по перпендикуляру к линии, соединяющей эту точку с неподвижной.

Рис. 1.15. Схема перемещений стержневой системы

Из подобия треугольников ОСС' и ОВВ' определим:

38

Рассчитаем длину стержней:

Подставляем все известные величины и получаем дополнительное уравнение перемещений:

Решаем совместно уравнение моментов и дополнительное уравнение:

5,196N2 7N1 80 0;N1 0,388N2.

N2 10,11 кН, N1 0,388N2 0,388 10,11 3,92 кН.

Знак «плюс» указывает на то, что предполагаемый вид деформации стержней подтверждается.

Определим напряжения в стержнях:

Прочность стержней обеспечена. Определим реакции в опоре О:

ΣY = 0; Yо – q2a + N2 sin 60 = 0; Yо = 10 4 – 10,11 0,866 = 31,24 кН; ΣX = 0; –Xо + N1 + N2 cos 60 = 0; Xо = 3,92 + 10,11 0,5 = 8,98 кН.

39