Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

Примеры решения задачи 2

Пример 1. Конструкция, состоящая из элементов большой жесткости и двух стальных стержней с расчетным сопротивлением материала R = 210 МПа и модулем продольной упругости E = 210 ГПа, загружена согласно схеме (рис. 1.4).

Требуется подобрать диаметр стержней, округлив их до большего значения с шагом 0,5 см, и выполнить проверочный расчет жесткости, если перемещение точки С не должно превышать 20 мм.

F = 20 кН;

q1 = 5 кН/м; q2 = 10 кН/м; а = 0,8 м;

в = 1 м; [δ] = 20 мм.

Рис. 1.4. Схема стержневой системы

Решение

Для определения усилий в стержнях мысленно разделим стержневую систему на две составляющие. В первую очередь рассмотрим жесткий элемент I (рис. 1.5), так как при рассечении стержня 1 он теряет первоначальную форму равновесия. Приложим к стержню 1 неизвестную продольную силу N1, направим ее от сечения, предположив, что стержень растягивается, и определим ее значение.

20

ΣY = 0; F – N1 – q2a + N2sin α + YB = 0;

YB = –20 + 32 + 10 0,8 – 34,03 0,529 = 1,99 кН.

XB = –34,03 0,849 = –28,89 кН.

Знак «минус» говорит о том, что направление реакции XB необходимо заменить на противоположное.

Подберем диаметр сечения для стержней по расчетному сопротивлению R:

Тогда

A2 1,77 см2.

23

Для проведения расчета на жесткость определим удлинение стержней 1 и 2:

Составим схему перемещений элементов стержней системы, предположив, что жесткие брусья I и II будут поворачиваться относительно своих опор А и В, оставаясь прямыми (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Схема перемещений стержневой системы

24

Из-за малости перемещений будем полагать, что точки D, E, K и С переместятся соответственно в точки D', E', K' и С', то есть перемещение точек жесткого бруса будет происходить вертикально.

Определим перемещение точки D:

Из подобия треугольников BEE' и BDD' определим перемещение точки Е:

EE DD ;

BE BD

EE ' BE DD 2,4 3,27 10 3 4,91 10 3 м 4,91 мм; BD 1,6

KKKK K K ;

KK EE 4,91 мм;

K K l1 1,72 мм;

KK 4,91 1,72 6,63 мм.

Из подобия треугольников АСС и АKK определим перемещение точки С:

СС KK ;

AC AK

CC AC KK 3,2 6,63 10 3 26,52 10 3 м 26,52 мм. AK 0,8

δС = СС = 26,52 мм > [δ] = 20 мм.

Жесткость конструкции не обеспечена.

25

Пример 2. Конструкция, состоящая из элементов большой жесткости и двух стальных стержней с расчетным сопротивлением материала R = 210 МПа и модулем продольной упругости Е = 210 ГПа, загружена согласно схеме (рис. 1.8).

Требуется подобрать диаметр стержней, округлив их до большего значения с шагом 0,5 см, и выполнить проверочный расчет жесткости, если перемещение точки С не должно превышать 20 мм.

F = 20 кН; q = 12 кН/м; а = 1 м;

b = 1,5 м; [δ] = 20 мм.

Рис. 1.8. Схема стержневой системы

Решение

Определим усилия в стержнях, мысленно разделив стержневую систему на две составляющие. Рассмотрим жесткий элемент I (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Схема жесткого элемента I

26

Приложим к стержню 1 неизвестную растягивающую продольную силу N1 иопределимеезначение, составивуравнениеравновесия:

Определим реакцию в шарнире YC:

Y 0; F YС N1 0;

YС 20 10 10 кН.

Рассмотрим жесткий элемент II (рис. 1.10), приложив к нему реакцию YC, взятую с обратным знаком.

Рис. 1.10. Схема жесткого элемента II

Рассекаем стержень 2 и прикладываем к нему растягивающее усилие N2 . Cоставим уравнение равновесия:

M B 0; q4a2a N2 sin α2a YС 4a 0;

27

sin α b 1,5 0,6; l2 2,5

Тогда

N2 0,628 46,67 кН.

Усилия N1 и N2 получились положительными, что говорит о том, что оба стержня растягиваются.

Подберем диаметр сечения для стержней по расчетному сопротивлению R:

28

Тогда

A2 3,14 2,02 3,14 см2. 4

Определим опорные реакции XВ и YВ, составив уравнения равновесия:

ΣY = 0; YB – q4a + N2 sin α + YC = 0;

YB 12 4 1 46,67 0,6 10 10 кН;

ΣX = 0; –XB + N2 cos α = 0;

XB = 46,67 · 0,8 = 37,34 кН.

Для выполнения расчета на жесткость рассмотрим схему перемещений системы (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Схема перемещений стержневой системы

29