Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения
.pdf
230
231
232
233
Пример решения задачи 13
Пример 1. Стальной стержень (рис. 7.1) сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R = 200 МПа, модульпродольнойупругостиЕ = 200 ГПа(рис. 7.1).
Требуется подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости и определить значение коэффициента запаса устойчивости.
F = 210 кН; l = 1,7 м; µ = 1.
Рис. 7.1. Схема стержня и его поперечное сечение
Решение
Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости:
FA R,
где – коэффициент снижения расчетного сопротивления материала
при продольном изгибе (коэффициент продольного изгиба).
В расчетной формуле есть две неизвестные величины – коэффициент и искомая площадь А. Поэтому при подборе сечения необ-
ходимо использовать метод последовательных приближений. Выразим геометрические характеристики через величину а. Так
как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, определяем минимальный момент инерции:
234
Imin bh3 |
|
d 4 |
|
3a 2a 3 |
|
a4 |
1,95a4 , |
|
64 |
12 |
64 |
||||||
12 |
|
|
|
|
тогда площадь поперечного сечения
А 3а2а |
а2 |
5, 21а2 , |
a |
A |
|
0, 44 a; |
|
4 |
5, 21 |
||||||
|
|
|
|
||||
i |
Imin |
|
1,95a4 |
0,61a. |
|
|
|||
min |
A |
5, 21a2 |
|
|
|
|
|||
Приближение 1. В первом приближении коэффициент изгиба принимают 1 0,5. Тогда требуемая площадь сечения
А |
F |
|
210 103 |
2,1 10 3 м2 ; |
|
1R |
0,5 200 106 |
||||
1 |
|
|
а1 0,44 2,1 10 3 0,0201 м 2,01 см;
imin1 0,61a 0,61 0,0201 0,0123 м.
Расчетная гибкость стержня
|
|
l |
|
1 1,7 |
138, 21. |
imin |
|
||||
1 |
|
|
0,0123 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
По таблице (прил. 5) определяем значение коэффициента 1, соответствующего гибкости 1 138, 21:
130, |
0, 425; |
140, |
0,376. |
Путем линейной интерполяции получим:
1 0,425 0,425 0,376 8,21 0,385. 10
235
Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближении:
|
|
F |
210 103 |
100 106 Па 100 МПа, |
|
|
|
||||
1 |
|
A1 |
2,1 10 3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1R 0,385 200 77 МПа; |
|
|
|
|
|
1 1R. |
|
|
Перенапряжение составляет |
100 77 100 29,8 % 5 %, |
что не- |
|||
|
|
|
|
77 |
|
допустимо. Необходимо уточнение размеров.
Приближение 2. За новое значение коэффициента 2 принимаем среднее арифметическое первых двух:
2 1 1 0,5 0,385 0,443, 2 2
тогда площадь сечения
А |
F |
|
210 103 |
|
2,37 10 3 |
м2 ; |
|
2 R |
0, 443 200 |
106 |
|||||
2 |
|
|
|
а2 0, 44 2,37 10 3 0,021 м 2,1 см,
радиус инерции
imin2 0,61a2 0,61 0,021 12,81 10 3 м.
Определим гибкость стержня
2 |
|
l |
|
1 1,7 |
132,7. |
|
imin2 |
12,81 10 3 |
|||||
|
|
|
|
236
Коэффициент 2 |
рассчитываем для гибкости 2 |
132, 7 : |
|
|
130, |
0, 425; |
|
|
140, |
0,376. |
|
2 0,425 0,425 0,376 2,7 0,412. 10
Проверим выполнение условий устойчивости:
2 |
F |
|
210 103 |
|
88,6 106 Па 88,6 МПа; |
|
A2 |
2,37 10 3 |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
2 R 0, 412 200 82, 4 МПа. |
|
|||
Перенапряжение составляет |
88,6 82, 4 100 7,52 % 5 %, |
что |
||||
|
|
|
|
|
82,4 |
|
недопустимо.
Приближение 3. Определим коэффициент продольного изгиба:
|
2 2 |
0,443 |
0,412 0,428. |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
Площадь поперечного сечения
А |
F |
|
210 103 |
|
2, 45 10 3 |
м2 ; |
|
3R |
0, 428 200 |
106 |
|||||
3 |
|
|
|
а3 0,44 2, 45 10 3 2,2 10 2 м,
радиус инерции
imin3 0,61a3 0,61 2,2 10 2 м 1,34 10 2 м,
237
гибкость стержня
|
|
3 |
l |
|
|
|
1 1,7 |
|
126,9. |
||||
|
|
imin3 |
1,34 10 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Определим значение коэффициента 3: |
|||||||||||||
|
|
|
120, |
|
|
0, 479; |
|||||||
|
|
|
130, |
|
|
0, 425; |
|||||||
3 |
0,479 0,479 0,425 |
6,9 0,442; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
3 |
F |
|
210 103 |
|
|
85,71 106 Па 85,71 МПа. |
|||||||
A3 |
2, 45 10 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Расчетное сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 R 0, 442 200 88, 4 МПа; |
|||||||||||
|
|
3 3 R |
|
85,71 88,4 МПа . |
|||||||||
Недонапряжение составляет |
88, 4 85,71 3,04 % 5 %, что до- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
88,4 |
|
||
пустимо.
Окончательно принимаем а 22 мм иразмерысечения44 66 мм.
Imin 1,95a4 1,95 2,24 |
45,68 см4 ; |
|||
imin 0,61 2, 2 1,342 см; |
||||
|
l |
|
1 1,7 |
126,7. |
|
1,342 10 2 |
|||
|
imin |
|
||
238
Находим величину критической силы. Так как пред, то есть
126,7 > 100, используем формулу Эйлера для определения критической силы:
F |
|
2 ЕImin |
|
3,142 200 109 45,68 10 8 |
|
кр |
|
l 2 |
|
(1 1,7)2 |
|
311,69 103 H 311,69 кН.
Определим коэффициенты запаса устойчивости:
ky FFкр 311,21069 1, 48.
Пример 2. Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R = = 200 МПа, модуль продольной упругости Е = 200 ГПа (рис. 7.2).
Требуется подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости и определить значение коэффициента запаса устойчивости.
F = 250 кН; l = 1,4 м; µ=2.
Рис. 7.2. Схема стержня
239