Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

Пример решения задачи 10

Колонна заданного поперечного сечения сжимается расчетной силой F, направленной параллельно продольной оси и приложенной к точке, показанной на сечении.

Расчетные сопротивления для материала колонны: на растяжение R = 1,4 МПа, на сжатие Rcж = 22 МПа (рис. 6.1).

Требуется найти положение нейтральной (нулевой) линии, вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения, построить эпюру напряжений, дать заключение о прочности колонны, построить ядро сечения.

F = 80 кН; a = 20 см; b = 12 см.

Рис. 6.1. Схема поперечного сечения колонны

Решение

Определим координаты центра тяжести сечения. Поперечное сечение колонны имеет ось симметрии уС, следовательно, центр тя-

жести лежит на этой оси и для определения координаты уС отно-

сительно вспомогательной оси ОХ, сложное сечение разбиваем на три прямоугольника:

200

где у1 , у2 и у3 – координаты центров тяжести прямоугольников относительно вспомогательной оси ОХ;

Определим геометрические характеристики сечения. Для вычисления главных центральных моментов инерции воспользуемся зависимостьюмежду моментамиинерцииприпараллельномпереносеосей

201

По найденным отрезкам, отсекаемых на осях координат, проводим нулевую линию (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Положение центра тяжести и нулевой линии. Эпюра напряжений

Определим наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения. Наиболее удаленными от нулевой линии точками являются точки А и В. Их координаты:

Знак минус перед формулой показывает, что сила, приложенная к колонне, является сжимающей.

202

Нулевая линия делит сечение на зоны сжатия (область приложения силы F) и растяжения.

Растягивающее напряжение:

Рис. 6.3. Ядро сечения

203

Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рассмотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нулевыми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя эти точки, получим очертание ядра сечения.

Касательная 1–1:

х0 , у0 19,7 см;

х1 0, у1 ix2 153,1 7,8 cм. y0 19,7

Касательная 2–2:

Касательная 3–3. Определим координаты точек пересечения касательной 3–3:

204

Касательная 4–4:

х0 , у0 28,3 см;

х4 0, у4 ix2 153,1 5,4 см. y0 28,3

Поскольку сечение имеет ось симметрии уС, то все определенные координаты переносим симметрично этой оси (см. рис. 6.3).

6.2. Расчет балки на косой изгиб

Задача 11

Балка нагружена в главных плоскостях расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R = 210 МПа.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, определить опасное сечение и подобрать двутавр, приняв Wx/Wy ≈ 8, определить положение нейтральной осивопасном сечении ипостроитьэпюру нормальныхнапряжений.

Исходные данные к задаче 11 представлены в табл. 6.2.

205

Пример решения задачи 11

Балка нагружена в главных плоскостях расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R = 210 МПа

(рис. 6.4).

Требуется построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, определить опасное сечение и подо-

брать двутавр, приняв WX /WY 8, определить положение нейтральной осивопасном сечении ипостроитьэпюру нормальныхнапряжений.

Рис. 6.4. Схема балки

Решение

Определим вертикальные и горизонтальные опорные реакции и построим эпюры изгибающих моментовМХ и МY (рис. 6.5).

Вертикальная плоскость:

МА 0;

yВ 1104 27,5 кН.

209