Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

Пример решения задачи 1

Ступенчатый стержень находится под действием внешних сил F (рис. 1.1). Материал стержня – сталь с модулем продольной упругости E = 200 ГПа. Требуется построить эпюры продольных сил, напряженийиперемещений. Собственныйвесстержнянеучитывать.

F1 = 60 кН;

F2 = 20 кН;

F3 = 100 кН;

F4 = 30 кН;

А1 = 6 см2;

А2 = 12 см2; А3 = 10 см2; a = 80 см;

b = 100 см; c = 100 см.

Рис. 1.1. Схема стержня

Решение

Для определения внутренних усилий разбиваем стержень на участки. Границами участков являются точки продольной оси, соответствующие изменению площади поперечного сечения и местам приложения сосредоточенных сил. Определяем, что стержень необходимо разбить на пять участков (рис. 1.2, а).

На участке 1–2 проведем сечение I–I. Отбросим нижнюю часть стержня и ее действие заменим продольной силой N12. Направляем продольную силу от сечения в сторону отброшенной части, тем самым предполагаем, что участок растягивается.

10

Всечении IV–IV (рис. 1.2, г):

Z F1 F2 F3 N45 0 ,

откуда

N45 F1 F2 F3 60 20 100 20 кН.

В сечении V–V (рис. 1.2, д):

Z F1 F2 F3 F4 N56 0 ,

откуда

N56 F1 F2 F3 F4 60 20 100 30 50 кН .

Откладывая в масштабе значения продольных сил N12, N23, N34, N45, N56 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру продольных сил (рис. 1.3, а).

Рис. 1.3. Эпюры продольных сил, напряжений и перемещений

Знак «плюс» показывает, что в пределах данного участка происходит растяжение, а «минус» – сжатие.

12

Для построения эпюры нормальных напряжений воспользуемся формулой

σ NA .

Определим напряжение на каждом участке:

В масштабе откладываем значение напряжений и определяем, что максимальноенапряжениевозникаетнаучастке1–2 (рис. 1.3, б).

Определим изменение длин каждого из участков по формуле

13

Построим эпюру перемещений. Расчет начинаем с верхнего сечения, так как перемещение в заделке отсутствует:

W 6 0;

W5 W6 l56 0,1 мм;

W4 W5 l43 0,1 0,04 0,14 мм;

W3 W4 l32 0,14 0,04 0,18 мм;

W2 W3 l21 0,18 0,17 0,01 мм;

W1 W2 l12 0,01 0,5 0,49 мм.

Вмасштабе откладываем значение перемещений (рис. 1.3, в).

1.2.Расчет статически определимой стержневой системы

Задача 2

Конструкция, состоящая из элементов большой жесткости и двух стальных стержней с расчетным сопротивлением материала R = 210 МПа и модулем продольной упругости E = 200 ГПа, загружена нагрузкой. Требуется подобрать диаметр стержней, округлив до большего значения с шагом 0,5 см, и выполнить проверочный расчет жесткости, если перемещение точки «С» не должно превышать 2 см ([δ] = 2 см).

Исходные данные к задаче 2 приведены в табл. 1.2.

14

Таблица 1.2

Исходные данные к задаче 2

15