Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5274 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
29.11.2025
Размер:
8.77 Mб
Скачать
☆

Определим значение изгибающих моментов в сечениях z1 и z2:

z

QB

 

12,12

1,515 м;

 

 

1

 

 

q

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MZ 12 12,12 1,515

8

1.5152

2,82 кН м.

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

QC

 

 

12,33

1,541 м;

q

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MZ2 12 12,12 3,541

8

3,5412

 

16, 21 1,541 5,762 кН м.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверим правильность расчетов. Перемножаем окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Эпюра изгибающих моментов и единичные эпюры

 

 

1 12 2 12 кН м2 ,

f ql2

8 22

4 кН м;

 

 

1

2

1

 

8

8

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 4 2 5,33 кН м2 ,

 

1

3,76 2 3,76 кН м2 ;

 

 

3

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

180

 

4

1

3,76 3 5,64 кН м2 ,

 

 

1

2,77 3 4,155 кН м2

;

 

2

 

 

 

5

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

2

ql2

8 32

9 кН м,

 

2

9 3 18 кН м2 ;

 

 

 

 

8

8

 

 

 

6

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 12 2,77 1 1,385 кН м2 , 8 9 12 6,38 1 3,19 кН м2.

y

1

1 1 ; y

2

1 ;

y

2

1 2 ;

y

4

2

1

2 ;

y

1

1 1 ;

1

3

 

3

 

 

2

3

3

 

3

 

3

 

3

5

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

1

1 ;

y

1 1

1 ;

y

2 1 2 ;

y

1

1 1 ;

 

6

2

 

2

 

4

3

 

3

5

3

 

 

3

6

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

1 2

1 5 ;

y

2

1

2 ; y

1 1 1 .

 

 

 

 

7

3

 

2

3

 

6

8

3

 

3

9

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y y

2

y y

4

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1F

 

 

EIX

1 1

 

 

2

 

 

 

 

 

3 3

4

 

 

5 5

 

6 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

12

 

 

3,76

 

5,33

 

 

 

5,64

 

 

4,155

 

18

 

 

0;

 

EIX

3

3

2

3

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2F

 

 

 

1

4 y14 5 y51 6 y16 7 y7 8 y8 9 y9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

5,64

1

 

4,155

2

18

 

1

1,385

5

3,19

2

3,19

 

1

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

3

 

3

2

6

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подберем сечение в виде двутавра Mmax

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WX

Mmax

 

12 103

 

 

0,057 10

3

м

3

57 см

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

210 106

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя сортамент (прил. 1), выбираем двутавр № 12, Wх = = 58,4 см3

 

Mmax

12 103

205,5 106 Па 205,5 МПа.

58.4 10 6

 

WX

 

181

Недогрузка балки составляет

210 205,5 100 %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

210

 

верим балку по касательным напряжениям:

 

 

 

Q

 

S

отс

 

12,33 103

33,7 10 6

max

Y max

 

x

 

350 10 8

0,48 10 2

 

 

 

Ixb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24,7 106 Па 24,7 МПа Rc ,

2,15 %. Про-

где Sxотс 33,7 cм3 ,

Ix 350 см4 ,

d 0,48 см.

Определим прогибы посредине каждого пролета балки. Для этого в основной системе в каждом пролете приложим единичную силу и построим единичные эпюры (рис. 5.11, 5.12, 5.13, 5.14). Умножим грузовую эпюру на единичную. Рассмотрим каждый участок балки.

Участок АС (рис. 5.11). Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов и значения ординат под их центрами тяжести

1 12 1 12 кН м2 ; 2 12 12 2 12 кН м2 ;

 

 

1

3,76 2 3,76 кН м2

;

 

 

2 f l

2 4 2 5,33 кН м2 ;

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

ql2

 

8 22

4 кН м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у 1

,

у

2

2 1 2 ,

 

у 1

1 1 ,

 

 

у

4

1 1 1 .

 

 

1

 

2

 

 

 

 

3

 

3

 

3

 

3

 

3

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прогиб в точке А:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

 

 

1

 

у у

 

у у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

1 1

 

2

2

 

 

3 3

 

 

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

12,588

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

12

 

3,76

 

5,33

 

 

 

.

 

 

 

 

 

EIX

2

3

3

2

EIX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

182

Рис. 5.11. Грузовая и единичная эпюры участка балки АС

Участок ВС (рис. 5.12). Определим величину изгибающего момента в точке L:

M L 12 12,12 1 8 1 05 3,88 кН м.

Рис. 5.12. Грузовая и единичная эпюры участка балки ВС

183

Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести рассчитываем аналогично:

5 12 12 1 6 кН м2 ;

1

3,88 1 1,94 кН м2 ;

 

6

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 f

l

 

2 1 1

2 кН м2

;

7

3

 

2

 

 

3

 

3

 

f2

 

ql2

 

 

8 12

 

1 кН м;

 

 

8

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

8 12 3,88 1 1,94 кН м2 ;9 12 3,76 1 1,88 кН м2 ;

10 23 f3l 23 1 1 23 кН м2 ; f3 f2 1 кН м.

y5 y9 13 12 16 ; y6 y8 23 12 13 ; y7 y6 12 12 14 ; y10 12 12 14 .

Прогиб в точке L:

 

 

L

 

1

 

 

y

 

y

6

 

y

 

y

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

5

5

 

6

 

7

7

 

8

8

 

 

9

9

 

 

10

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

6

1

1,94

1

 

2

 

1

1,94

1

1,88

 

1

 

2

 

1

 

 

2,273

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

6

3

3

4

3

6

3

4

EIX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

184

Участок СD (рис. 5.13). Определим значение изгибающего момента в точке N

M N 6,39 3,5 10 2,5 8,06 1,5 8 1,522 5,725 кН м.

Площадиэлементовэпюрыиординатыподцентрамиихтяжести:

11 12 3,76 1,5 2,82 кН м2 ;

12 12 5,725 1,5 4,294 кН м2 ;13 23 f4l 23 2,25 1,5 2,25 кН м2.

у11 у15 13 0,75 0,25;

у12 у14 23 0,75 0,5;

у13 у16 12 0,75 0,375.

Рис. 5.13. Грузовая и единичная эпюры участка балки СD

185

f4 f5

ql2

 

8

1,52

2,25 кН м;

8

 

8

 

 

 

 

14 12 5,725 1,5 4,294 кН м2 ;

15 12 2,77 1,5 2,078 кН м2 ;16 32 f5l 32 2,25 1,5 2,25 кН м2.

Прогиб в точке N:

 

 

 

N

 

1

 

(

 

у

 

у

 

у

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

11

11

12

12

13

13

14

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у

 

 

у )

1

( 2,82 0,25 4,294 0,5 2,25 0,375

 

 

 

15

15

 

16

16

 

 

EIX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4,292 0,5 2,078 0,25 2,25 0,375) 4,757 .

EIX

Участок DK (рис. 5.14). Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов на участке и ординаты под центрами их тяжести:

17 12 2,77 1 1,385 кН м2 ;18 12 6,39 1 3, 2 кН м2 ;

19 12 6,39 1 3, 2 кН м2.

у17 13 12 16 ;

у18 у19 23 12 13.

186

Рис. 5.14. Грузовая и единичная эпюры участка балки DK

Прогиб в точке Е:

 

E

 

1

 

 

y

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

 

17

17

 

 

18

18

 

 

19

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

2,364

 

 

 

 

 

1,385

 

 

3,2

 

 

3,2

 

 

 

 

EIx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

EIX

 

6

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

Построим изогнутую ось балки, определив прогибы в пролетах:

А

12,588

 

 

12,588 103

0,017 м 1,7 см;

 

 

210 109

350 10 8

 

 

EIX

 

 

 

 

N

4,755

 

 

4,757 103

 

 

 

0,006 м 0,6 см;

210 109

350 10 8

 

 

EIX

 

 

Е

4,716

 

 

 

2,364 103

 

0,003 м 0,3 см;

 

EIX

 

210 109

350

10 8

 

 

 

 

 

L

2,273

 

 

 

2,273 103

 

0,003 м 0,3 см.

 

EIX

 

210 109

350

10 8

 

 

 

 

 

Изобразим изогнутую ось балки (см. рис. 5.9).

187

Пример 2. Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R = 210 МПа, Rc = 130 МПа, модулем продольной упругости

Е = 210 ГПа, m = 12 кН м, q = 8 кН/м, F = 10 кН, а = 1 м.

Рис. 5.15. Схема балки и основной системы. Грузовая и единичные эпюры основной системы

Данная балка имеет две избыточные связи сверх необходимого минимума для обеспечения неизменяемости схемы.

188

Канонические уравнения будут иметь вид

11х1 12 х2 1F 0;21x1 22 x2 2F 0.

Лишними неизвестными являются реакции опор В и D. В качестве основной принимаем систему, имеющую заделку в точке А.

Построим эпюру изгибающих моментов от действующей нагруз-

ки (рис. 5.15):

МD F a2 20 2 40 кН м;

МЕ 0; МC(правее) Fa 20 4 80 кН м;

МС(левее) Fa m 80 30 110 кН м;

МВ F 2a m 20 8 30 190 кН м;

МА F 3a m q

a2

20 12 30 20

42

430 кН м.

2

2

 

 

 

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных вместо отброшенных связей (рис. 5.15):

МА 1

2,5а 10

(от силы X1 1) ;

МА 1

а 4

(от силы X2 1) .

Определим площади участков грузовой эпюры изгибающих моментов ( МF ) и ординаты под центрами их тяжести в единичных

эпюрах ( M1 и M2 )

1 12 40 2 40 кН м2 ;2 12 80 2 80 кН м2 ;3 12 110 4 220 кН м2 ;

189

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности