Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

Примеры решения задачи 8

Пример 1. Неразрезная балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетными сопротивлениями R = 210 МПа, Rc = 130 МПа, модулем продольной упругости E = 200 ГПa, F = 4 кН, q = 3 кН/м, а = 2 м.

Требуется построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать сечение из прокатного двутавра, определить прогибы на концах и посередине каждого пролета балки и показать очертание ее изогнутой оси (использовать любой из известных методов определения прогибов).

Рис. 5.1. Схема балки, основная система, грузовая и единичная эпюры

153

Решение

Данная схема имеет одну избыточную связь, то есть балка один раз статически неопределима. Для образования основной системы отбросим шарнирную опору В и приложим в этом сечении неизвестную силу Х1 = YВ (рис. 5.1, б).

Построим эпюру изгибающих моментов (МF) в основной системе (рис. 5.1, в), определив опорные реакции:

∑МА = 0;

F 8a – YС 7а + q 4a2a = 0;

4 16 – YС 14 + 3 8 4 = 0, YС = 11,43 кН.

∑МС = 0;

YА 7а – q 4a5a + Fa = 0;

Приложим в точке В вместо отброшенной связи силу Х1 = 1 и построим единичную эпюру (М1) (рис. 5.1, г).

Определим повторно опорные реакции от единичной нагрузки:

154

∑Y = 0; –0,57 – 0,43 + 1 = 0;

МА = 0, МВ = –0,43 8 = –3,44 кН м, МС = 0.

Запишем каноническое уравнение метода сил:

11х1 + 1F = 0.

Для определения коэффициента и грузовой составляющей уравнения перемножаем грузовую (МF) и единичную ( M1 ) эпюры с ис-

пользованием правила Верещагина. Предварительно разделим грузовую эпюру на простые фрагменты (рис. 5.1, в).

Рассчитаем глубину параболы:

155

Решаем каноническое уравнение и определяем величину момента Х1:

Выполняем расчет основной системы с учетом нагрузки и найденной силы Х1 (рис. 5.2).

Определим опорные реакции:

∑МА = 0;

F 8a – YС 7а + q 4a2a – YB 4a = 0;

156

Прогиб в сечении В равен нулю, что соответствует условию ее деформации. Подберем сечение балки из условия:

Из прил. 1 выбираем двутавр № 16 с Wx = 109 см3, Ix = 873 см4. Определим прогибы в сечениях балки и построим упругую линию. Приложим единичные силы посреди пролетов и на конце балки, построим единичные эпюры изгибающих моментов на каждом

из участков, рассматривая их отдельно (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Грузовые и единичные эпюры на участках АВ, ВС и ВD. Эпюра прогибов балки

158

Участок АВ (рис. 5.3, а). Предварительно разделим грузовую эпюру на простые фрагменты. Определим значения изгибающего момента посредине пролета (z = 4 м):

М(z = 4) = YА 2а – q 2aa = 10,52 4 – 3 4 2 = 18,08 кН м.

Рассчитаем глубину параболы:

Участок ВС (рис. 5.3, б):

Определим изгибающий момент посредине пролета:

M(z 3) 11,84 8 9,92 кН м. 2

(на участке АВ эпюра изгибающих моментов линейная). Перемножим грузовую и единичную эпюры:

159