Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения
.pdfВ точке D:
QD 19,56 16 1,6 45,16 кН,
M D 36,04 8,4 24 16 6,2 3,1 18 1,6 0.
Рис. 4.5. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
110
Рассмотрим консольную балку DE. Реакцию YD прикладываем в точке D с противоположным знаком. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов с учетом YD.
В точке D:
QD 45,16 кН, |
МD 0; |
QE 45,16 16 4,6 28,44 кН;
M E 45,16 4,6 16 4,6 2,3 38,46 кН м.
Определим величину изгибающих моментов в точках K и M (в данных точках эпюра поперечных сил меняет знак, см. рис. 4.5):
zK a QqB 2, 2 36,1604 4, 45 м;
M K 36,04 4,45 24 16 2,252 2 95,88 кН м; zM QqE 28,1644 1,78 м;
MM 45,16 (4,6 1,78) 16 (4,6 1,78)2 2
Проверим прочность балки по нормальным напряжениям:
max Mmax R.
Wx
Для двутавра № 30 из сортамента (прил. 1) выпишем значение
момента сопротивления W 472см3. |
||
|
|
x |
Из эпюры изгибающих моментов Mmax 95,88 кН м. |
||
σ |
|
95,88 103 203,13 106 Па 203,13 МПа 210 МПа. |
|
max |
472 10 6 |
111
Недогрузка составляет:
210 203,13 100 3,3 %.
210
Проверим прочность балки по касательным напряжениям:
|
|
|
Q S |
отс |
|
|
τ |
max |
|
max |
x |
R , |
Q 45,16 кН. |
|
|
|||||
|
|
Ixb |
|
c |
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрические характеристики для двутавра № 30 выбираем из
прил. 1: Ix 7080 см4, |
Sxотс 268 см3, |
d 6,5 10 3 м, |
b d. |
max 45,16 103 268 10 6 26,3 106 Па 26,3 МПа 130 МПа. 7080 10 8 6,5 10 3
Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.
Пример 6. Для заданной балки (рис. 4.6) построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 24, R = 210 МПа, Rc = 130 МПа.
Решение
Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание балки AD, лежащей на двух опорах и подвесной двухопорной балки DE. Рассмотрим равновесие подвесной балки DE. Определим реакции опор:
M D 0;
YE a qa a2 m 0;
ΥE 4,2 12 |
4,22 |
10 0, |
ΥE 27,58 кН. |
|
2 |
||||
|
|
|
112
M E 0;
YDa qa a2 m 0;
ΥD 4,2 12 |
4,22 |
10 0, |
ΥD 22,82 кН. |
|
2 |
||||
|
|
|
Рис. 4.6. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
113
Проверяем правильность определения реакций опор:
Y 0;
YD YE qa 0; 22,82 27,58 12 4,2 0.
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке DE шарнирной балки.
В точке Е:
QE 27,58 кН, |
M E 10кН м. |
В точке D:
QD 27,58 12 4,2 22,82 кН;
M D m YE a qa a2 10 27,58 4,2 12 4,22 2 0.
Определим реакции опор балки AD, приложив в точке D реакцию YD, взятую с обратным знаком
M А 0,
ΥС (a b) Fa qa a2 ΥD (a b c) 0;
ΥC 6,4 20 4,2 12 4,22 2 22,82 8,8 0;
ΥC 34,79 кН.
MC 0,
ΥA (a b) qa( a2 b) Fb YDc 0;
ΥA 6,4 12 4,2 4,3 20 2,2 22,82 2,4 0;
ΥA 18,43 кН.
114
Проверяем правильность определения реакций опор:
Y 0, Y YA F YC qa YD 0;
18, 43 20 34,79 12 4, 2 22,82 0.
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке AD шарнирной балки.
В точке D:
QD 22,82 кН, |
M D 0. |
ВточкеС(правее):
QC 22,82 кН, MC 22,82 2,4 54,77 кН м.
В точке С (левее): |
|
|
QC 22,82 34,79 11,97 кН, |
MC 54,77 |
кН м. |
В точке В (правее): |
|
|
QB 11,97кН,
M B 22,82 4,6 34,79 2,2 28,43 кН м.
В точке В (левее):
QВ 11,97 20 31,97 кН, |
M B 28,43 кН м. |
|||
В точке А: |
|
|
|
|
QA 31,97 12 4,2 18,43кН, |
M А 0. |
|||
Определим координаты точек K и М: |
|
|
||
zK QA |
18,43 1,54 м, |
zM QE |
27,58 2,30 м. |
|
q |
12 |
|
q |
12 |
115
Вычислим значение изгибающих моментов в точках K и М:
M |
K |
Y z |
K |
q |
zK 2 |
18,43 1,54 12 |
1,542 |
|
|
||||||
|
A |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
||||
MM YE zM q zM2 2 m 27,58 2,3 12 2,32 2
Проверим несущую способность балки:
max Mmax R.
Wx
14,15 кН,
10 21,69 кН.
Для двутавра № 24 из сортамента (прил. 1) выпишем значение момента сопротивления Wx 289см3. Из эпюры изгибающих момен-
тов Mmax 54,77 кН м
σmax 54,77 103 189,5 106 Па 189,5 МПа 210 МПа. 289 10 6
Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Проверим прочность балки по касательным напряжениям:
|
|
|
|
Q S |
отс |
|
|
τ |
max |
|
max |
x |
R . |
|
|
|
||||
|
|
|
Ixb |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для двутавра № 24 из сортамента (прил. 1) выпишем: |
||||||
Ix 3460 |
см4, Sxотс 163 cм3, |
d 5,6 мм. Из эпюры попереч- |
||||
ных сил |
Qmax 27,58 кН, |
b d. |
|
|
||
τmax 31,97 103 163 10 6 26,9 106 Па 26,9 МПа 130 МПа. 3460 10 8 5,6 10 3
Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена.
Пример 7. Для заданной шарнирной балки (рис. 4.7) построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 24, R = 210 МПа, Rc = 130 МПа.
116
Рис. 4.7. Схема шарнирной балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
117
Решение
Данная балка может рассматриваться как сочетание балок ЕK, СЕ, последовательно лежащих на консоли АС. Рассмотрим равновесие подвесной балки ЕK. Определим реакции опор:
M Е 0;ΥK b qb b2 m 0;
ΥK 2,6 8 |
2,62 |
16 0, |
ΥK 16,55 кН. |
|
2 |
||||
|
|
|
MK 0;
ΥEb qb b2 m 0;
ΥE 2,6 8 |
2,62 |
16 0, |
ΥE 4,25 кН. |
|
2 |
||||
|
|
|
Проверим правильность определения реакций опор:
Y 0;
16,55 4,25 8 2,6 0.
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке ЕK шарнирной балки (см. рис. 4.7).
В точке K:
QK 16,55 кН, |
M K 16 кН м. |
В точке E:
QЕ 16,55 8 2,6 4,25 кН;
M Е 16,55 2,6 8 2,6 2,62 16 0.
118
Рассмотрим равновесие подвесной балки СЕ. Определим реакции опор. Реакцию YE прикладываем к балке с обратным знаком.
MС 0;
ΥЕ 2с q2с22с ΥDc 0;
4,25 6,4 8 |
6,42 |
ΥD 3,2 0, |
ΥD 59,7 кН; |
|
2 |
||||
|
|
|
M D 0;
ΥCc ΥEc 0, ΥC ΥE 4,25 кН.
Проверяем правильность определения реакций опор:
Y 0;
ΥD q2c ΥC ΥE 0;
59,7 8 6, 4 4, 25 4, 25 0.
Cтроим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке CE шарнирной балки:
В точке E:
QE 4,25 кН, |
M E 0. |
В точке D (правее):
QD 4,25 8 3,2 29,85 кН;
M D 4,25 3,2 8 3,22 2 54,56 кН м.
В точке D (левее): |
|
QD 29,85 59,7 29,85 кН, |
M D 54,56 кН м. |
119