Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения

Для одного швеллера:

W2x 4982 249 см3.

Из сортамента (прил. 2) выбираем швеллер № 24 с Wx = 242 см3. Для двух швеллеров Wx = 242 2 484 см3.

Проверим прочность по нормальным напряжениям:

216 МПа 210 МПа.

Перегрузка составляет

216 210 100 2,8 % 5 %, что допустимо. 210

Проверим прочность по касательным напряжениям:

τmax Qmax Sxотс Rc .

Ixb

Qmax 62,52 кН.

Геометрические характеристики выбираем из прил. 2:

26,8 МПа 130 МПа.

Прочность балки, состоящей из двух швеллеров, по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

100

Пример 3. Для заданной балки (рис. 4.3) построить эпюры внутренних усилий, выполнить расчет на прочность, подобрать прямоугольное сечение из древесины, если соотношение сторон сечения

составляет h / в 1,4, R 16 МПа, Rс 2 МПа.

Рис. 4.3. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Решение

Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:

101

MС 0;

F(a b) m1 YBb qb2 12 qc2 12 m2 0;

10 6 8 YB 4 6 42 12 6 4, 22 12 8 0;

YB 12,23 кН.

Направление реакции меняем на противоположное. Проверим правильность определения реакций:

Y 0;

F YB YC q 8,2 10 12,23 51,43 6 8,2 0.

QB 10 кН, MB 10 2 20 кН м.

QC 2,23 6 4 26,23 кН,

MC 10 6 12,23 4 8 6 4 2 44,92 кН м.

В точке С (правее):

QC 26,23 51,43 25,2 кН,

MC 44,92 кН м.

102

В точке D:

QD 10 12,23 6 8,2 51,43 0;

M D 10 10,2 12,23 8,2 8 51,43 4,2 6 8,2 4,1 8 кН м.

Подберемпрямоугольноесечение Mmax 44,92 кН м (см. рис. 4.3):

103

Проверим прочность по касательным напряжениям:

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

Пример 4. Для заданной балки (рис. 4.4) построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчет на прочность. Подобрать диаметр круглого сечения из древесины, если R = 16 МПа, Rc = 2 МПа.

Решение

Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:

M В 0;

YD (b c) qc(2c b) m qb b2 Fa 0;

YD 5,4 10 3,2 3,8 20 10 2,22 2 16 2 0;

YD 27,67 кН.

104

MD 0;

F(a b c) YB (b c) qb(b2 c) m qc 2c 0; 16 7,4 YB 5,4 10 2,2 4,3 20 10 3,22 2 0;

ΥB 33,67 кН.

Рис. 4.4. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Проверим правильность определения реакций:

Y 0;

F qb qc YB YD 0;

16 10 2, 2 10 3, 2 33,67 27,67 0.

105

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. В точке А:

В точке В (левее):

QB 16 кН, M B 16 2 32 кН м.

ВточкеВ (правее):

QC 17,67 10 2,2 4,33 кН,

MC 16 4,2 10 2,2 1,1 33,67 2,2 17,33 кН м.

В точке С (правее):

QC 4,33кН, MC 17,33 20 37,33 кН м.

В точке D:

QВ 4,33 10 3,2 27,67 кН;

M D 16 7,4 10 2,2 4,3 33,67 5,4 20 10 3,2 1,6 0.

Определим значение изгибающих моментов в точке K и М (в этих точках эпюра поперечных сил меняет знак).

106

MM YD zM qzM z2M

27,67 2,77 10 2,772 2 38,28 кН м.

Подберем круглое сечение из условия прочности:

max Mmax R.

Wx

Из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 4.4) выберем максимальный изгибающий момент: Mmax 38,28кН м.

Из эпюры поперечных сил (см. рис. 4.4) выберем максималь-

ную поперечную силу Qmax 27,67 кН

107

0,56 МПа 2 МПа.

Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.

Пример 5. Для заданной балки (рис. 4.5) построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 30, R = 210 МПа, Rc = 130 МПа.

Решение

Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочетание консольной балки DE и подвесной двухопорной балки AD, для которой правой опорой является конец консоли D первой балки.

Рассмотрим равновесие подвесной балки AD и определим ее опорные реакции:

M А 0;

YD (a b c) F(a b) q(b c)(a b 2 c) m 0;

YD 8,4 18 6,8 16 6,2 5,3 24 0;

ΥD 45,16 кН.

108

MD 0;

YA (a b c) m q(b c)(b 2 c) Fc 0;

YA 8,4 24 16 6,2 3,1 18 1,6 0;

ΥA 36,04 кН.

Определим правильность определения опорных реакций:

Y 0;

YA F YD q(b c) 0; 36,04 18 45,16 16 6, 2 0.

Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. В точке А:

QC 36,04 16 4,6 37,56 кН,

MC 36,04 6,8 24 16 4,6 2,3 51,79 кН м.

ВточкеС(правее):

QC 37,56 18 19,56 кН, MC 51,79 кН м.

109