Сборник задач по сопротивлению материалов с примерами решения
.pdf
90
91
92
93
Примеры решения задачи 6
Пример 1. Для заданной балки (рис. 4.1) необходимо построить эпюры внутренних усилий. Подобрать двутавровое сечение из прокатного профиля, если для стали R = 210 МПа, Rс = 130 МПа.
Рис. 4.1. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Решение
Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:
|
МA |
0; |
|
|
|
b c |
|
Fa qa |
a |
M D 0; |
|
m q(b c) |
2 |
a |
2 |
||
|
|
|
|
||
94
4,8 |
|
|
|
2,42 |
M D 0; |
20 8 4,8 |
2,4 12 2,4 8 |
2 |
|||
2 |
|
|
|
|
|
M D 170,08 кН м; |
|
|
|
||
Y 0, |
YD qa F q(b c) 0; |
||||
ΥD 8 2,4 12 8 2,8 2 0, |
ΥD 31,2 кН; |
||||
Z 0, |
HD 0. |
|
|
|
|
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, используя метод сечений.
В точке А:
QA 0, M A m 20 кН м.
В точке B:
QB 8 2 16 кН, |
M B 20 8 2 1 4 кН м. |
|
||
В точке C (правее): |
|
|
|
|
QС 8 4,8 38,4 кН, |
MC 20 8 4,8 2,4 72,16 |
кН м. |
||
ВточкеC (левее): |
|
|
|
|
QС 38,4 12 50,4 кН, |
MC 72,16 кН м. |
|
||
В точке D: |
|
|
|
|
QD 50,4 8 2,4 31,2 кН, |
|
|||
M D 20 8 4,8 4,8 12 2,4 8 2,4 1,2 170,08 кН м.
Подберем двутавровое сечение при R = 210 МПа
|
max |
Mmax R, |
W |
x |
Mmax . |
|
Wx |
|
R |
||
|
|
|
|
95
Максимальный изгибающий момент определим из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 4.1): Mmax = 170,08 кН м.
Wx 170,08 103 0,8099 10 3 м3 809,9 см3. 210 106
Пользуясь сортаментом (прил. 1), выбираем двутавр № 40 с Wx = = 953 см3.
Проверим прочность по нормальным напряжениям, если Rс = = 210 МПа:
σmax Mmax 170,08 103 178,46 106 Па Wx 953 10 6
178,46 МПа 210МПа.
Недогрузка составляет
210178,46 100 15 %. 210
Проверим прочность по касательным напряжениям, если Rс = = 130 МПа:
max Qmax Sxотс Rc .
Ixb
Максимальное значение поперечной силы определяем по эпюре поперечных сил (см. рис. 4.1): Qmax 50,4кН.
Геометрические |
характеристики для двутавра |
№ 40 выбираем |
||||||
из прил. 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sxотс 545 |
см3; Ix 19062 см4 ; |
d 8,3 мм, |
b d. |
|||||
τmax |
|
|
50,4 103 545 10 6 |
|
17,36 106 |
Па |
|
|
|
|
8,3 10 3 |
|
|||||
|
19062 10 8 |
|
|
|
||||
|
|
|
17,36 |
МПа 130 МПа. |
|
|
||
96
Прочность двутавровой балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена.
Пример 2. Для заданной балки (рис. 4.2) построить эпюры внутренних усилий. Подобрать сечение из прокатных профилей (двух швеллеров), если R = 210 МПа, Rс = 130 МПа.
Рис. 4.2. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Решение
Определим реакции опор, составив уравнения равновесия:
M А 0,
m YD (a b c) m2 q (a 2b)2 Fa 0;
97
18 YD 8,4 18 20 52 12 3 0; 2
ΥD 25,48 кН.
M D 0;
a b |
|
|
|
YA (a b c) q(a b) |
2 |
c |
|
|
|
|
|
F(b c) m1 m2 0;
YA 8,4 20 5 5,9 12 5,4 18 18 0;
YA 62,52 кН.
Проверим правильность определения реакций:
Y 0,
YA YD F q(a b) 0; 62,52 25,48 12 20 (3 2) 0.
Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений (см. рис. 4.2).
В точке А:
QA 62,52 кН, |
M A 0. |
В точке В (левее):
QB 62,52 20 3 2,52кН,
M B 62,52 3 20 32 12 97,56 кН м.
В точке В (правее): |
|
QB 2,52 12 14,52кН, |
M B 97,56 кН м. |
98
В точке С (левее):
QC 14,52 20 2 25,48кН,
MC 62,52 5 20 52 12 12 2 86,6кН м.
Вточке С (правее):
QC 25,48кН, MС 86,6 18 104,6 кН м.
В точке D (левее):
QD 25,48 кН,
M D 62,52 8,4 12 5,4 20 5 5,9 18 18кН м.
В точке Е эпюра поперечных сил пересекает ось z. Определим расстояние zE:
zE QqB 14,5220 0,726 м.
Определим значение изгибающего момента в точке Е:
M E 62,52 3,726 20 3,7262 12 12 0,726
232,95 138,83 8,712 102,83 кН м.
Подберем сечение в виде двух швеллеров при R = 210 МПа
|
max |
Mmax R, |
W Mmax . |
|
|
Wx |
x |
R |
|
|
|
|
||
Максимальный изгибающий момент определим из эпюры изгибающих моментов (см. рис. 4.2): Mmax = 104,6 кН·м.
Wx 104,6 103 0,498 10 3 м3 498 см3. 210 106
99