Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика
.pdf
v v0 |
|
сt 2 |
. |
(3.12) |
|
||||
|
|
2m |
|
|
В момент остановки скорость автомобиля v |
= 0 м/с. Тогда |
|||
время движения автомобиля до остановки tост может быть найдено из уравнения
сt 2
0 v0 2mост .
Отсюда находим, что время до остановки определяется по формуле
t |
|
|
2mv0 |
. |
(3.13) |
ост |
|
||||
|
|
с |
|
||
|
|
|
|
||
Величину тормозного пути хост получаем интегрированием выражения (3.12) для скорости, полагая, что х0 = 0 при t0 = 0:
tост |
tост |
|
сt |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
xост v(t)dt v0 |
|
|
dt ; |
|||||||
t |
0 |
t |
0 |
|
|
2m |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xост v0tост |
|
сtост3 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
6m |
|
|
|
|
|
|
Подставляя в (3.14) выражение для времени остановки (3.13), получим
|
|
xост |
|
2 |
v0 |
2mv0 |
. |
|
|||
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
||||
Ответ. tост |
2mv0 |
; xост |
|
|
2 |
v0 |
|
2mv0 |
. |
||
с |
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
с |
||||||
41
За д а ч и
4 балла
3.1Если система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К с ускорением а, является ли система К инерциальной? Почему?
3.2На тело массой m = 2 кг действует сила F = 10 Н. С каким ускорением движется тело?
Ответ. а = 5 м/с.
3.3При движении тела массой m = 1 кг модуль его скорости с течением времени t изменяется по закону v = 2 + 5t (м/с). Чему равен модуль скорости изменения импульса тела?
Ответ. dpdt = 5 кг·м/с2.
3.4Объясните, почему в соревнованиях по перетягиванию каната возможно выиграть, ведь натяжение каната остается во всех сечениях одинаковым?
3.5Если на закрепленную пружину жесткостью k = 400 Н/м подействовать силой F = 80 Н, насколько удлинится пружина?
Ответ. х = 0,2 м.
3.6Если нормальное напряжение в теле, вызванное относительной деформацией = 0,01, составляет 108 Па, чему равен мо-
дуль Юнга материала тела?
Ответ. Е = 1010 Па.
3.7Материал тела имеет модуль сдвига G = 1,00·108 Па. Чему равна деформация сдвига, если тангенциальное напряжение
втеле 1,00·106 Па?
Ответ. = 0,01.
3.8От каких характеристик зависит коэффициент трения покоя, трения скольжения и трения качения?
42
3.9При действии силы F = 10 Н на тело некоторой массы, лежащее на шероховатой поверхности стола, тело остается в покое. Чему равна сила трения покоя? Объясните ответ.
Ответ. Fтр = 10 Н.
3.10В чем заключаются основные отличия силы тяжести от веса тела?
3.11Тело массой m = 1 кг поднимают на подвесе вверх с ускорением а = 1 м/с2. С какой силой тело действует на подвес?
Ответ. F = 11 Н.
3.12Какими типами взаимодействия обусловлены: а) сила трения; б) сила упругости; в) сила тяготения?
5–6 баллов
3.13Два тела массами m1 = 4,0 кг и m2 = 2,0 кг движутся прямолинейно. Модули скоростей обоих тел изменяются с течением времени t по следующим законам:
v1 0,8 0,5t t 2 0,5t 3 (м/с); v2 0,25 3t 1,5t 2 0,8t 3 (м/с).
В какой момент времени t1 значения равнодействующих сил, действующих на эти тела, окажутся одинаковыми?
Ответ. t1 = 1,88 с.
3.14Автомобиль массой m = 1020 кг, двигаясь равнозамедленно, остановился через время t = 5,0 с, пройдя путь S = 25,0 м. Найти начальную скорость v0 автомобиля и силу торможения F.
Ответ. F = 2,04 кН; v0 = 10 м/с.
3.15Вагон массой m = 20 т движется равнозамедленно вдоль
направления |
ОХ. |
Проекции |
начальной |
скорости |
v0х = 54 км/ч, |
а ускорения ах = –0,3 м/с2. Какая сила тормо- |
|||
жения F действует на вагон? Через какое время t вагон остановится? Какое расстояние S вагон пройдет до остановки?
Ответ. F = 6 кН; t = 50 c; S = 375 м.
43
3.16Тело движется прямолинейно под действием постоянной силы 15,0 Н. Зависимость координаты тела от времени имеет вид х 10,0 5,0t 2,0t 2 (м). Найти массу тела.
Ответ. m = 3,75 кг.
3.17 Камень, пущенный |
по |
поверхности льда со |
скоростью |
v0 = 2 м/с, прошел |
до |
полной остановки |
расстояние |
S = 20,4 м. Найти коэффициент трения камня о лед, считая его постоянным.
Ответ. = 0,01.
3.18Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью v0 = 20 м/с, остановилась через t = 40 с. Найти коэффициент трения шайбы о лед.
Ответ. = 0,05.
3.19Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно, причем уравне-
ние движения имеет х A Bt Ct 2 Dt3 (м), где С = 5м/с2 и D = 1 м/с3. Найти силу, действующую на тело в конце первой секунды.
Ответ. F = 2 H.
3.20Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол = 45о. Пройдя расстояние S = 36,4 см, тело приобретает скорость v = 2 м/с. Чему равен коэффициент
трения тела о плоскость?
Ответ. = 0,2.
3.21Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с го-
ризонтом угол 45 . Зависимость пройденного телом расстояния S от времени t дается уравнением S = Ct2, где С = 1,73 м/с2. Найти коэффициент трения тела о плоскость.
Ответ. = 0,5.
3.22 Тело массой m движется в плоскости ХОУ |
по закону |
х = Acosωt, y = Bsinωt, где A, B и ω – постоянные. |
Определить |
модуль силы, действующей на тело.
Ответ. F m 2 x 2 y 2 .
44
7–8 баллов
3.23Аэростат, масса которого вместе с балластом m = 140 кг,
равномерно опускается. Если сбросить балласт массой m1 = 24,9 кг, аэростат начнет равномерно подниматься с той же скоростью. Найти подъемную силу аэростата.
Ответ. F = 1250 Н.
3.24Найти радиус кривизны моста, если автомобиль, движущийся со скоростью 19,6 м/с, оказался в состоянии невесомости на его середине.
Ответ. R = 39,2 м.
3.25Каким должен быть минимальный коэффициент трения, чтобы автомобиль, движущийся со скоростью 60 км/ч, смог сделать поворот с радиусом кривизны 200 м?
Ответ. μ = 0,14.
3.26Материальная точка массой 50 г, прикрепленная к пружине длиной 30 см, вращается в горизонтальной плоскости. Конец пружины закреплен в центре вращения. При какой частоте вращения пружина удлинится на 5 см, если жесткость пружины 300 Н/м?
Ответ. n = 4,7 Гц.
3.27Какая сила действует в поперечном сечении однородного стержня длины l на расстоянии х от того конца, к которому вдоль стержня приложена сила F? Стержень находится на гладкой горизонтальной поверхности.
|
|
x |
|
Ответ. T F 1 |
|
|
. |
|
|||
|
|
l |
|
3.28 Парашютист массой m1 = 80 кг падает при открытом парашюте с установившейся скоростью v1 = 5 м/с. Какой будет установившаяся скорость, если на том же парашюте спускается мальчик m2 = 40 кг? Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости.
Ответ. v2 v1 |
m2 |
3,5 м/с. |
|
m1 |
|||
|
|
45
3.29На обледеневшем участке дороги коэффициент трения между колесами и дорогой в 10 раз меньше, чем на не обледеневшем. Во сколько раз нужно уменьшить скорость автомобиля, чтобы тормозной путь на обледеневшем участке дороги остался прежним?
Ответ. В 
10 раз.
3.30Груз массой m = 200 г, привязанный к нити длиной l = 40 см, вращается в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При
|
этом |
угол |
отклонения |
нити |
от |
вертикали |
= 37 |
|||
|
(cos 37 = 0,7986). |
Найти |
угловую скорость |
|
враще- |
|||||
|
ния груза и силу натяжения нити. |
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ. T |
mg 2,5 H ; |
|
g |
5,6 рад/с . |
|
||||
|
|
|
cos |
|
lcos |
|
|
|
|
|
3.31 |
Дана система блоков (рис. 3.4). Массы грузов m1 = 200 г, |
|||||||||
|
m2 = 500 г. Найти: |
1) силу натяжения нити; 2) ускорения, с |
||||||||
|
которыми движутся грузы. |
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ. |
|
Т = 2,26 Н; |
а1 = 1,5 м/с2; |
|
|
|
|||
|
а2 = 0,75 м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
||
3.32 |
Железнодорожный |
вагон |
тормозится, |
его |
|
|
|
|||
|
скорость равномерно изменяется за время |
m1 |
|
|
||||||
|
t = 3,3 с от v1 = 47,5 км/ч до v2 = 30 км/ч. |
|
|
|
||||||
|
При каком предельном значении коэффи- |
|
|
m2 |
||||||
|
циента трения между чемоданом и полкой |
|
|
|||||||
|
|
Рис. 3.4 |
||||||||
|
чемодан при торможении начинает сколь- |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
зить по полке? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ. При < 0,15 чемодан начнет скользить. |
|
||||||||
3.33Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25 % всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?
Ответ. = 0,33.
3.34Груз массой 2 т необходимо поднять на гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути. Во время подъема груза действует сила
46
трения, равная 0,1 его силы тяжести. Найти силу тяги, развиваемую двигателем подъемного механизма, если груз перемещают с постоянной скоростью.
Ответ. F = 2,8 кН.
3.35Найти силу тяги, развиваемую двигателем автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с2. Уклон горы равен 1 м на каждые 25 м пути. Масса автомобиля 1 т. Коэффициент трения 0,1.
Ответ. F = 2,4 кН.
3.36Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 4 . При каком предельном значении коэффициента трения тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения 0,03? Сколько времени потребуется для прохождения при этих условиях 100 м пути? Какую скорость будет иметь тело в конце этих 100 м?
Ответ. 1) пред = 0,07; 2) а = 0,39 м/с2; 3) t = 22,6 c;
4) v = 8,8 м/с.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.6 |
|||
|
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.37Невесомый блок укреплен на конце стола (рис. 3.5). Гири А и В равной массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекину-
ты через блок. Коэффициент трения гири В о стол = 0,1. Найти: 1) ускорение, с которым движутся гири;
2) натяжение нити. Трением в блоке пренебречь.
Ответ. а = 4,4 м/с2; Т1 = Т2 = 5,4 Н.
47
3.38На тело массой m = 10,0 кг, находящееся на наклонной плос-
кости с = 20 , действует горизонтально направленная сила F = 8,0 Н (рис. 3.6). Пренебрегая трением, определить: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плос-
кость.
Ответ. а = 4,1 м/с2; Р = 89,4 Н.
3.39 Частица |
массой |
m |
движется |
под |
|
действием силы |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
F0 cos t , где F0 и ω – постоянные. Силой тяжести пре- |
|||||||||
небречь. Определить положение частицы, т.е. выразить ее |
||||||||||
|
|
|
как функцию времени, |
если в начальный |
||||||
радиус-вектор r |
||||||||||
момент времени t = 0; |
|
|
|
0 |
. |
|
||||
|
|
|
|
r 0 |
0; v 0 |
|
|
|
||
|
|
t 1 cos t |
|
|
|
|
|
|||
|
F0 |
|
|
|
|
|||||
Ответ. r |
|
. |
|
|
|
|
||||
m 2 |
|
|
|
|
||||||
9–10 баллов
3.40 С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А, чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него (рис. 3.7)? Массы тел одинако-
вы, коэффициент трения между |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
бруском и телами равен μ. Мас- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сы блока и нити пренебрежимо |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
малы, трения в блоке нет. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ. |
|
|
g |
(1 ) |
. |
|
|
А |
|
|
|
||||
min |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
(1 ) |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.7 |
|
||
3.41 На |
наклонную |
плоскость, со- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
ставляющую угол с горизонтом, поместили два бруска 1 и |
|||||||||||||||
2 |
(рис. |
|
3.8). |
Массы |
брусков |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
равны m1 |
и m2, |
коэффициенты |
2 |
|
|
|
|||||||||
трения |
между |
плоскостью и |
1 |
|
|
|
|||||||||
этими брусками μ1 |
и μ2, соот- |
|
|
|
|
||||||||||
ветственно, причем |
μ1 > μ2. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Найти |
силу |
взаимодействия |
|
|
|
|
|
|
|||||||
между |
брусками |
в |
процессе |
|
|
Рис. 3.8 |
|
||||||||
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движения.
Ответ. F |
|
( 1 2 )m1 m2 gcos |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
m1 |
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.42 На |
|
тележке |
массой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m1 = 20,0 кг, которая может |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
свободно перемещается вдоль |
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
горизонтальных рельсов, ле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
жит брусок массой m2 = 5,0 кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(рис. 3.9). |
Коэффициент тре- |
|
|
|
|
|
Рис. 3.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ния между бруском и тележ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
кой μ = 0,2. Брусок тянут с си- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
лой F , направленной параллельно рельсам. Найти ускоре- |
|||||||||||||||||||||||
ние бруска и тележки, если модуль силы изменяется по за- |
|||||||||||||||||||||||
кону F ct (Н), где с = 4,0 Н/с. Построить графики зависи- |
|||||||||||||||||||||||
мости пройденных ускорений от времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ. |
|
При |
0 < t < 3,1 с |
a1 a2 |
|
|
|
|
ct |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
m1 |
m2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
|
|
gm2 |
|
0,5 м/с2 |
; при t > 3,1 с |
a |
|
|
ct |
g . |
|
|
||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
m1 |
m 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.43На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α = = 35˚ положена доска массой m2 = 2 кг, а на доску − брусок
массой m1 = 1 кг. Между бруском и доской коэффициент трения μ1 = 0,1, а между доской и плоскостью – μ2 = 0,2. Определить: 1) ускорение бруска; 2) ускорение доски; 3) коэффициент трения μ3, при котором доска не будет двигаться.
Ответ. а1 = 4,82 м/с2; а2 = 3,62 м/с2; μ3 ≥ 0,5; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a1 g sin 1 cos |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
; |
||
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
g sin |
1 |
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
||||
49
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
m1 |
cos |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
m1 m2 cos |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.44 |
Четырьмя |
натянуты- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ми нитями груз за- |
|
|
|
T |
|
|
T4 |
|
||||||||
|
креплен на |
тележке |
|
|
|
|
T1 |
|
|
T2 |
|||||||
|
(рис. |
3.10). |
|
|
Сила |
|
|
|
|
|
T |
||||||
|
натяжения |
горизон- |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
тальных нитей соот- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ветственно |
равны Т1 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
|
||||||||
|
и Т2 , вертикальных |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Т3 и Т4. С каким ускорением тележка движется по горизон- |
||||||||||||||||
|
тальной плоскости? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ. |
a g |
|
T2 |
T1 |
. |
|
|
F |
|
|
|
F |
||||
|
|
|
|
T3 |
|
|
1 |
|
m2 |
|
2 |
||||||
|
|
T4 |
|
|
|
|
|
m1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.45 |
Два тела массами m1 |
|
и |
|
|
|
Рис. 3.11 |
|
|||||||||
|
m2 связаны нитью, вы- |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
держивающей силу натяжения Т. K телам приложены силы, |
||||||||||||||||
|
модули |
которых |
изменяются по |
законам |
F1 сt (Н) и |
||||||||||||
|
F 2сt (Н), где с – постоянный коэффициент, t – время дей- |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ствия силы (рис. 3.11). Определить, в какой момент времени |
||||||||||||||||
|
нить порвется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
T |
m1 m2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ. |
с 2m |
|
m |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
50