Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика

7–8 баллов

2.20Материальная точка движется вдоль осей х и у по законам:

x 2,0t t 3 (м); y t 2 2,0t 3 (м). Найти модули полного, тангенциального и нормального ускорений точки в момент времени t1 0,2 c , а также радиус кривизны

траектории в этот момент времени.

Ответ. а = 4,6 м/с2; а = 0,3 м/с2; аn = 4,6 м/с2; R = 86,7 10−2 м.

2.21 Колесо вращается с постоянным угловым ускорением= 3,0 рад/с2. Определить радиус колеса, если через t = 1 с после начала движения полное ускорение колеса а = 7,5 м/с2.

Ответ. R = 0,8 м.

2.22Материальная точка движется вдоль осей х и у по законам

x 34,0 t 2,0t3 (м); y 5,0t t 2 (м). Найти модули полного, тангенциального и нормального ускорений точки в

го, тангенциального и нормального ускорений точки в момент времени t = 1 с, а также радиус кривизны траектории в этот момент времени.

Ответ. а = 24,7 м/с2; а = 23,3 м/с2; аn = 8,3 м/с2; R = 25,0 м.

2.24Найти модуль углового ускорения колеса, если известно,

что через время t = 2 с после начала движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол= 60 с вектором ее линейной скорости.

Ответ. = 0,43 рад/с2.

а = 0,4 см/с2. Через какие промежутки времени вектор пол-

31

ного ускорения образует с вектором скорости v угол равный 60 и 80 ? Какова длина пути, пройденного точкой за эти промежутки времени?

Ответ. t1 = 6,6 c; S1 = 8,7·10-2 м; t2 = 12 c; S2 = 2,9·10-1 м.

2.26Диск радиусом R = 0,1 м вращается вокруг своей оси. Зависимость угла поворота диска от времени задается уравнением = 2,0 + 4,0t3 рад. Определить угол поворота , при котором вектор полного ускорения составляет с радиусом диска угол 45 .

Ответ. = 2,7 рад.

2.27Точка движется по окружности радиусом R = 0,02 м. Зависимость пройденного точкой пути от времени дается уравнением S Сt 3 (см), где С = 0,1 см/с3. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда модуль линейной скорости точки v = 0,3 м/с.

Ответ. аn = 4,50 м/с2; а = 0,06 м/с2.

9–10 баллов

2.28Точка движется по окружности так, что зависимость прой-

денного точкой пути от времени дается уравнением S А Вt Сt 2 (м), где В = –2,0 м/с и С = 1,0 м/с2. Найти модули линейной скорости точки, ее тангенциального, нормального и полного ускорения через t1 = 3 с после начале движения, если известно, что нормальное ускорение точки

при t2 = 2 с будет аn 2 0,5 мс2 .

Ответ. v1 = 4 м/с; an1 = 2 м/с2; a 1 = 2 м/с2; a1 = 2,8 м/с2.

2.29Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением

А Вt Сt 2 Dt 3 (рад), где D = 1,0 рад/с3. Найти для то-

чек, лежащих на ободе колеса, изменение модуля тангенци-

ального ускорения аt за каждую секунду движения.

Ответ. а = 0,3 м/с2.

32

2.30Зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе

диска, от времени определяется уравнением v = 0,3t + + 0,1t2 (м/с). Диск имеет радиус R = 10 см. Определить момент времени, для которого вектор полного ускорения образует с радиусом колеса угол = 4 .

Ответ. t = 2 с.

2.31Точка движется по окружности радиусом R = 15 см и с по-

стоянным по модулю тангенциальным ускорением а . К концу четвертого оборота после начала движения линейная скорость точки v = 15,0 м/с. Определить модуль нормально-

го ускорения точки аn через t = 16 c после начала движения.

Ответ. аn = 1,5 м/с2.

2.32Два тела начинают двигаться из одной точки окружности

друг за другом с разницей во времени t = 2 c. Через какое минимальное время тела снова окажутся в одной точке? Период обращения первого тела Т1 = 70 с, второго Т2 = 65 с.

Ответ. t = 26 с.

2.33Тело, привязанное к нерастяжимой нити, равномерно вращается в вертикальной плоскости по окружности, центр которой находится на высоте h от поверхности Земли. Нить обрывается в нижней точке траектории. При какой длине нити проекция перемещения тела на горизонтальное направление максимальна?

Ответ. l = 2/3h.

2.34Гладкий диск радиусом R вращается в горизонтальной плоскости. От диска отрывается тело и скользит по его поверхности. На каком расстоянии от оси вращения оторвалось тело, если за время его скольжения диск повернулся на угол 90°?

Ответ. r 2R .

2 4

33

3. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Краткие теоретические сведения

Сила – количественная мера взаимодействия тел.

Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета, относительно которых тело движется равномерно прямолинейно или сохраняет состояние покоя, если действие сил на него равно нулю или скомпенсировано.

Импульс материальной точки – это векторная величина

pmv .

Полный импульс системы тел равен векторной сумме импуль-

сов pi всех тел, образующих систему:

где mi , vi – масса и скорость i-го тела, соответственно.

Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна векторной сумме всех сил, действующих на тело:

где N – число действующих на тело сил.

Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела взаимодействуют друг с другом, равны по модулю и противоположны по направлению.

Силы в механике:

а) сила упругости (закон Гука)

F k x ,

34

где k – коэффициент упругости (в случае пружины – жесткость);x = x – x0 – абсолютная деформация удлинения (сжатия) тела; x0 – начальная длина тела;

x – длина деформированного тела.

Нормальным напряжением σ называется величина равная отношению модуля нормальной составляющей силы F к площади поверхности S, на которую действует сила:

FS .

Связь нормального напряжения σ с относительной деформацией растяжения (сжатия) тела ε

σ= Eε,

x x0 ,

x0

где Е – модуль Юнга.

Связь тангенциального напряжения с деформацией сдвига γ

= G γ,

где G – модуль сдвига;

б) сила тяжести

P mg ;

в) сила гравитационного взаимодействия (закон всемирного

тяготения)

F G m1m2 , r 2

где G – гравитационная постоянная;

m1 и m2 – массы взаимодействующих тел;

35

r – расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);

г) сила трения (скольжения)

F N ,

где μ – коэффициент трения; N – сила реакции опоры.

Параллельным соединением двух пружин с жесткостями k1 и k2 называется такое соединение, при котором абсолютные деформации пружин одинаковы: x1 = x2.

Последовательным соединением двух пружин с жесткостями k1 и k2 называется такое соединение, при котором абсолютные деформации пружин различны: x1 ≠ x2.

Общая жесткость k системы, состоящей из двух пружин с жест-

костями k1 и k2:

1) при параллельном соединении

k= k1 + k2;

2)при последовательном соединении

1 1 1 . k k1 k2

Примеры решения задач

Задача 1. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой М = 2,0 кг, на котором находится брусок массой m = 1,0 кг. Оба бруска соединены нитью, перекинутой через невесомый блок. Какую силу F нужно приложить к нижнему бруску, чтобы он начал двигаться от блока с постоянным ускорением a = g/2? Коэффициент трения между брусками μ = 0,5. Трением между нижним бруском и столом пренебречь.

36

Fтр1 Fтр 2 Fтр .

Ускорения брусков одинаковы, так как они связаны нерастяжимой нитью

а1 = а2 = а.

Запишем второй закон Ньютона для брусков массой М и m в

Сила трения, действующая на брусок m:

Решая совместно уравнения (3.1)–(3.3), получим величину искомой силы:

37

F a M m 2mg ;

F = 9,8 : 2(1,0 + 2,0) + 2 · 1,0 · 9,8 · 0,5 = 24,5 Н.

Ответ. F = 24,5 H.

Задача 2. Два одинаковых шарика связаны невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок, причем один из шариков погружен в сосуд с жидкостью (рис. 3.2). С какой установившейся скоростью v будут двигаться шарики, если известно, что установившаяся скорость падения одиночного шарика в той же жидкости равна v0? Сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости. Плотность жидкости ρж, плотность материала шариков ρ.

Дано:

v0; O

ρж;

ρ

(рис. 3.2, а). Если шарик движется с неизменной (установившейся) скоростью, то векторная сумма сил, действующих на шарик:

Сила сопротивления пропорциональна скорости, поэтому ее модуль

38

где с – коэффициент пропорциональности. Сила Архимеда определяется по формуле

где ж – плотность жидкости; V – объем шарика, погруженного в жидкость.

где = m/V − плотность материала шарика.

Из (3.6) следует, что коэффициент пропорциональности

суммы сил, действующих на левый и правый шарики, будут (рис.

Решая совместно уравнения (3.10) и (3.11), находим величину установившейся скорости

39

m dv(t) сt . dt

Разделим переменные и проинтегрируем данное выражение с учетом начальных условий v = v0 при t0 = 0. Получим уравнение изменения скорости автомобиля с течением времени t

40