Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика

2. КИНЕМАТИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Краткие теоретические сведения

Вращательное движение твердого тела – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, которая называется осью вращения.

Угловая скорость твердого тела – это производная от угла поворота по времени

ddt .

Угловое ускорение твердого тела – это производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени

При равномерном вращательном движении вокруг неподвижной оси ( = const ) выполняется соотношение

t .

Уравнения равнопеременного вращательного движения твер-

дого тела вокруг неподвижной оси ( = const):

0 t ,

0t t 2 .

2

Уравнения связи модулей угловых величин с модулями линейных:

21

где dS – путь, пройденный точкой вращающегося тела (длина дуги) при повороте на угол dφ за промежуток времени dt;

R – расстояние от точки до оси вращения; а – модуль тангенциального ускорения;

аn – модуль нормального ускорения.

Частотой n при равномерном вращении называется число оборотов в единицу времени

Периодом вращения Т называется время одного полного оборота.

Угловая скорость тела , вращающегося равномерно, связана с частотой n и периодом вращения Т соотношением

2 n 2T .

Примеры решения задач

Задача 1. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону

Подставляя значения , и R в формулу (2.2), получим

a 0,1 4 2 44 1,7 м/с2 .

Ответ. a 1,7 м/с2 .

Задача 2. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается

уравнением 2At 5Bt4 (рад/с), где А = 2,0 рад/с2; В = 1,0 рад/с2. Определить для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) модуль полного ускорения; 2) число оборотов, сделанных диском.

Тогда

a R R ddt R(2A 20Bt 3 ) ;

an 2 R R(2At 5Bt 4 )2 .

Полное ускорение

a R (2A 20Bt 3 )2 (2At 5Bt 4 )4 .

Подставляя числовые значения, получаем

24

4,2 м/с2 .

Если диск совершил N оборотов, то угол поворота диска

2 N .

Так как

ddt ,

то

Следовательно, число оборотов диска

N At 2 Bt 5 0,5 ;

2 2

N 2,0 12 1,0 15 0,5 . 2

Ответ. а = 4,2 м/с2; N = 0,5.

Задача 3. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением а .. Найти нормальное ускорение an точки через время t1 = 20 c после начала движения, если известно, что к концу десятого оборота после начала движения линейная скорость точки v = 0,5 м/с.

25

Через время t1 угловая скорость точки будет

1 t1 .

Тогда

t1 1 .

С учетом (2.4) можно записать, что

26

С другой стороны, угловая скорость точки может быть вычислена через линейную скорость и радиус окружности

Откуда получаем величину углового ускорения

Подставляя (2.6) в (2.5), окончательно получим для нормального ускорения выражение

27

стрелки (б)? Почему?

Ответ. По стрелке (а).

2.2Тело за 2 с совершило поворот на угол 2 . Найти угловую

скорость?

Ответ. рад/с .

2.3Если за время 10 с тело совершило 100 полных оборотов с постоянной угловой скоростью, чему равен период и частота вращения тела?

Ответ. Т = 0,1 с; n = 10 Гц.

2.4Тело вращается вокруг оси с частотой n = 10 Гц. Чему равен

модуль угловой скорости тела?

Ответ. ω 20π рад/с .

2.5 Тело вращается вокруг своей оси с угловой скоростью= 2t рад/с. Чему равен модуль углового ускорения тела?

Ответ. 2 рад/с2 .

2.6Тело равномерно вращается по окружности радиуса R = 10 м с угловой скоростью ω = 3 рад/с. Чему равен модуль линейной скорости тела?

Ответ. v = 30 м/с.

2.7 Тело движется по окружности с угловой скоростью3 4t (рад/с). Найти модуль углового ускорения тела?

Ответ. = 4 рад/с2.

2.8Угловое ускорение точки, движущейся по окружности радиуса R = 10 м, равно = 5t2 рад/с2. Чему равен модуль танген-

циального ускорения в момент времени t1 = 1 с?

Ответ. a 50 м/с2.

2.9Тело за 10 с совершило 20 полных оборотов по окружности радиуса 5 м. Найти нормальное ускорение тела.

Ответ. an 789 м/с2.

2.10Тело движется по окружности радиуса R = 5 м с тангенциальным ускорением, равным 10 м/с2. Чему равен модуль

28

углового ускорения тела?

Ответ. = 2 рад/с2.

5–6 баллов

2.11Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением а = 5,0 см/с2. Через какое время t после начала движения модуль центростреми-

тельного ускорения аn точки будет а) равен модулю тангенциальному; б) вдвое больше модуля тангенциального.

Ответ. t1 = 2 с; t2 = 2,8 с.

2.12Точка движется по окружности радиусом R с постоянным

тангенциальным ускорением а = 0,5 м/с2. Через время t = 2,1 с после начала движения модуль нормального ускорения точки аn = 0,6а . Найти радиус окружности.

Ответ. R = 3,7 м.

2.13Колесо радиусом R = 0,10 м вращается с угловым ускорением = 3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость; б) модуль линейной скорости v; в) модуль тангенциально-

го ускорения а ; г) модуль нормального ускорения аn; д) модуль полного ускорения а; е) угол , составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ. а) = 3,14 рад/с; б) v = 0,31 м/с;

в) а = 0,31 м/с2; г) аn = 0,99 м/с2;

д) а = 1,03 м/с2; е) sin = 0,30, = 17 46 .

2.14Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением 0,5t 2 . Определить к концу второй секунды

после начала движения: 1) модуль угловой скорости диска; 2) модуль углового ускорения диска; 3) для точки, находящейся на расстоянии 0,8 м от оси вращения модули танген-

циального а , нормального аn и полного а ускорения.

29

2.15Автомобиль движется по горизонтальной дороге со скоростью 90 км/ч. Чему равен модуль скорости точки обода, лежащей на одном уровне с осью колеса, относительно поверхности Земли.

Ответ. v = 35,25 м/с.

2.16Определить модуль полного ускорения а точки, находящейся на ободе колеса радиусом R = 0,5 м, вращающегося со-

гласно уравнению Аt Вt 3 (рад), где А = 2,0 рад/с;

В = 0,2 рад/с3, в момент времени t = 3 с.

Ответ. а = 27,4 м/с2.

2.17Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиу-

С = 1,0 рад/с2, D = 1,0 рад/с3. Найти радиус колеса R, если известно, что к концу второй секунды движения для точек, лежащих на ободе колеса, модуль нормального ускорения

аn = 3,46 102 м/с2.

Ответ. R = 1,20 м.

2.18 Диск радиусом R = 0,2 м вращается согласно уравнениюА Вt Сt 3 (рад), где А = 3,0 рад; В = –1,0 рад/с;

С = 0,1 рад/с3. Определить модули тангенциального а ,, нормального аn и полного а ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

Ответ. а = 1,2 м/с2; аn = 168,2 м/с 2; а = 168,2 м/с2.

2.19Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением

А Вt Сt 3 (рад), где В = 2,0 рад/с; С = 1,0 рад/с3. Для

точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения: 1) угловую скорость; 2) модуль линейной скорости; 3) модуль углового ускорения; 4) модуль тангенциального ускорения; 5) модуль нормального ускорения.

30