Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика
.pdfУравнение Майера
Cp = Cv + R.
Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) имеет вид
рV = const, TV –1 = const, Т р 1– = const,
где = |
С p |
= |
i 2 |
– показатель адиабаты. |
|
Сv |
i |
||||
|
|
|
Уравнение изотермического процесса
рV = const.
Уравнение политропного процесса
|
|
|
|
рV n = const, |
|
где n |
С |
р |
Сn |
– показатель политропы; |
|
|
|
|
|||
Cv |
Cn |
||||
|
|
||||
Cn – теплоемкость при данном процессе.
Работа газа а) при изобарном процессе
A = р(V2 –V1) или A = R(T2 – T1);
б) при изотермическом процессе |
|
|
||
A = RT ln |
V 2 |
или A = RT ln |
р1 |
; |
|
|
|||
V1 |
|
р2 |
|
|
в) в случае адиабатного процесса A = Cv(T1 –T2) или
151
|
RT1m |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
р1V1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
V1 |
|
|
|
|
1 |
V1 |
|
|
|
|
|||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||
|
V |
|
|
1 |
V |
|
|
||||||||||||
|
( 1)M |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где Т1, Т2, V1, V2 – соответственно начальные и конечные температуры и объемы газа;
г) при политропном процессе
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
|||||
|
RT |
|
р2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
A |
|
1 |
|
|
|
. |
|||
(n 1) |
р1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины
|
A |
|
Q1 Q2 |
1 |
Q2 |
, |
|
|
|
||||
|
Q1 |
|
Q1 |
|
Q1 |
|
где A – работа, совершенная рабочим веществом в течение цикла; Q1 – количество теплоты, полученной от нагревателя;
Q2 – количество теплоты, отданное им холодильнику.
Коэффициент полезного действия (КПД) идеальной тепло-
вой машины, работающей по циклу Карно
T1 T2 1 T2 ,
T1 T1
где Т1 и Т2 – температуры нагревателя и холодильника, соответственно.
Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе, переводящем его из состояния А в состояние В:
B Q
SB SA A T ,
152
где Q – элементарное количество теплоты, полученное веществом при температуре Т.
Связь между энтропией и термодинамической вероятностью
(статистическим весом )
S = k ln ,
где k – постоянная Больцмана.
Примеры решения задач
Задача 1. В закрытом сосуде объемом 10 л находится воздух при давлении 0,1 МПа. Какое количество теплоты надо сообщить воздуху, чтобы повысить давление в сосуде в 5 раз?
Дано: |
Решение. Согласно первому началу |
|
V = 10 10–3 м3; |
термодинамики, количество теплоты |
|
р1= 0,1 106 Па; |
Q U A . |
|
р2 = 5р1 |
||
|
|
|
Найти: Q |
Внутренняя энергия идеального газа |
|
|
|
пропорциональна температуре: |
U CV T ,
где СV – теплоемкость при постоянном объеме: CV 2i R ;
i – число степеней свободы молекулы вещества. Для воздуха i = 5.
Выразим начальную температуру T1 из уравнения состояния идеального газа
T1 р1V .
R
Температуру Т2 выразим из закона Гей-Люссака
153
р1 |
|
р2 |
, |
T2 |
|
р2 |
, |
T T . |
|
|
|
|
|
||||||
T1 T2 |
T1 |
|
р1 |
|
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
||||||
Тогда
Q Cv (T2 T1 ) 2i ( 1) р1V 25 4 105 10 2 10000 Дж
10,0 кДж.
Ответ. Q = 10,0 кДж.
Задача 2. Азот (N2), адиабатически расширяясь, совершает работу, равную 480 кДж. Определить конечную температуру газа, если до расширения он имел температуру Т1 = 362 К. Масса азота m = 12 кг. Теплоемкость газа считать постоянной.
Дано: |
|
|
Решение. Вычислим работу газа |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
N2; |
|
|
V2 |
|
|
Q = 0; |
|
|
|
||
|
|
A рdV . |
|
||
A = 480 10 |
3 |
Дж; |
|
||
|
V1 |
|
|||
T1= 362 К; |
|
|
|||
|
|
|
|||
m = 12 кг |
|
|
Учитывая, что адиабатический процесс |
||
|
|
|
|
||
Найти: T2 |
|
|
описывается уравнением вида |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
рV C , |
(11.1) |
|
|
|
|
||
где С = const,
из равенства (11.1) получим
р VC ,
Тогда работа
154
V2 |
C |
V2 |
dV |
|
CV 1 |
|
V2 |
|
CV 1 CV 1 |
|||
|
||||||||||||
A |
|
|
dV C |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
V |
|
V |
V |
|
|
1 |
|
V |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
С учетом (11.1) получаем
V11 р1V1 V1 р1 .
V21 р2V2 V2 р2
Подставляем в (11.2) выражение (11.3)
A |
1 |
р V р V . |
||||
|
||||||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Используя уравнение Менделеева − Клапейрона
|
р V |
m |
|
RT , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 |
|
M |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
р V |
|
m |
RT , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
2 |
|
M |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а также |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cp |
|
|
|
|
i 2 |
|
7 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Cv |
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. (11.2)
(11.3)
получаем выражение для работы
A |
m |
R |
1 |
|
(T T ) . |
|
|
1 |
|||||
|
M |
1 |
2 |
|||
|
|
|
||||
Следовательно, конечная температура газа
T2 T1 A M 1 . m R
155
|
|
|
|
3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
48 104 10 |
|
28 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
T2 |
362 |
|
|
|
|
|
2 |
|
25К. |
|
8,31 |
|
|
|
|||||
|
12 |
|
|
|
|
||||
Ответ. T2 = 25 К.
Задача 3. Воздух массой 1 кг совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Минимальные (начальные) значения
объема и давления газа равны |
0,08 м3 и 1,2 МПа. Максимальное |
давление газа в цикле 1,4 МПа, |
причем Т3 = 423 К. Определить: |
1) координаты пересечения изохор и изобар; 2) работу А, совершенную газом за один цикл; 3) количество теплоты Q1, полученное газом от нагревателя за цикл; 4) КПД цикла. Считать воздух двухатомным газом, имеющим молярную массу М = 0,029 кг/моль. Построить график процесса.
Дано:
V1 = 0,08 м3;
р1 = 1,2 106 Па; р2 = 1,4 106 Па;
T3= 423 К; m =1 кг;
М = 0,029 кг/моль
Найти: T1; T2; V2;
T4; А; Q1;
откуда
В результате
T1
156
Решение. 1. Для двухатомных газов число степеней свободы i = 5, количество вещества газа = m/M.
Внашем случае
= 1/0,029 моль = 34,5 моль.
Согласно условию р4 = р1 и р3 = р2. Запишем уравнение Менделее-
ва − Клапейрона для состояния 1:
р1V1 = RT1 ,
|
|
T |
р1V1 |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
R |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
р V |
|
1,2 106 |
0,08 |
335 |
|
|||||
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
К. |
||
R |
|
|
34,5 |
8,31 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Для изохорного процесса 1 2 справедлив закон Шарля
р1 р2 ,
T1 T2
откуда
T T |
р2 |
|
р2V1 |
|
1,4 106 0,08 |
391К. |
|
|
R |
34,5 8,31 |
|
||||
2 1 |
р |
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Для состояния 3, уравнение Менделеева − Клапейрона имеет вид
р2V2 = RT3,
из которого следует, что
V2 RT3 .
р2
После вычислений получаем
V2 = 34,5 8,31 423 0,087 м 3. 1,4 106
Для изохорного процесса 3 4 закон Шарля имеет вид
р3 р4 ,
T3 T4
откуда следует, что
|
T |
р |
4 |
T |
р |
|
1,2 106 423 |
363К. |
||
T |
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
1,4 106 |
||||||
4 |
3 |
р |
3 |
3 |
р |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Для изохорных процессов 1 2 и 3 4 работа газа равна нулю, т.е. А12 = А34 = 0, поскольку для них V = const. Для изобарных процессов 2 3 и 4 1 работа газа соответственно будет
157
|
А23 = р2(V2 –V1) 0, |
||
|
А14= р1(V1 –V2) < 0. |
||
В итоге работа газа за цикл численно равна площади прямо- |
|||
угольника 1 2 3 4 (рис. 11.1), т.е. |
|
||
А =А12 + А23 + А34 + А41= (р2 – р1) (V2 – V1). |
|||
p |
|
|
|
p2 |
2 |
3 |
|
T2 |
T3 |
||
|
|||
p1 |
T1 |
T4 |
|
1 |
4 |
||
|
V1 |
V |
|
|
V2 |
||
|
Рис.11.1 |
|
|
В результате вычислений получаем |
|
||
А= 0,2 106(0,0866 – 0,08) Дж = 1320 Дж.
3.Количество теплоты Q12, полученное газом при изохорном процессе 1 2:
Q12 = Сv(T2 |
– T1) = |
i |
R (T T ) |
i |
V ( р р |
) . |
|||
|
2 |
||||||||
|
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
||
Вычисления приводят к результату
5
Q12 = 2 0,08 (1,4 106 – 1,2 106) Дж = 40000 Дж.
158
Количество теплоты Q23, полученное газом при изобарическом процессе 2 3:
Q23 = Ср(T3 – T2) = |
i 2 |
R (T T ) |
i 2 |
( RT р V ) . |
|||
|
|
||||||
|
2 |
3 |
2 |
2 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
При расчете получаем
7
Q23 = 2 (34,5 8,31 423 – 1,4 106 0,08) Дж = 32500 Дж.
Учитывая, что Т3 > T2 > T4 > T1, то для изохорного процесса 3 4 и изобарного процесса 4 1 соответственно имеем
Q34 = Сv(Т4 –Т3) < 0 и Q41 = Ср(Т1-Т4) < 0. (11.22)
Очевидно, что
Q34 + Q41= – Q2, |
(11.23) |
где Q2 – количество теплоты, отданное |
холодильнику за цикл |
(Q2 > 0).
В результате за цикл газ получает от нагревателя количество теплоты
Q1 = Q12 + Q23 = (40+32,5) кДж = 72500 Дж. 4. Термический КПД цикла по определению
A .
Q1
В результате вычислений получаем
159
= 725001320 = 0,018 или = 1,8 %.
График процесса имеет вид, показанный на рис. 11.1.
Ответ. T1 = 385 K; T2 = 391 K; V2 = 0,087 м3; T4 = 363 K; A =
=1320 Дж; Q1 = 72500 Дж; = 1,8 %.
За д а ч и
4 балла
11.1Получить выражения первого начала термодинамики для
следующих процессов: а) изохорного; б) изобарного; в) изотермического; г) адиабатного.
11.2Давление идеального газа в зависимости от объема изменяется по закону р = аV2, где а – постоянная величина. Найти ра-
боту, совершенную газом, если его объем изменился от
V1 = 1 м3 до V2 = 2 м3.
Ответ. А = 73 a Дж.
11.3Чему равны молекулярные теплоемкости двухатомного газа при постоянном объеме и давлении?
Ответ. Сv = 20,8 Дж/(моль·K); Сp = 29,1 Дж/(моль·K).
11.4Найти показатель адиабатного одноатомного газа.
Ответ. = 1,7.
11.5Температура плавления алюминия 660 С. Найти изменение энтропии при плавлении 0,2 кг алюминия. Удельная теплота плавления алюминия = 322 103 Дж/кг.
Ответ. S = 69,0 Дж/К.
11.6Чему равно изменение внутренней энергии 1 моль идеального двухатомного газа, если его температура повысилась на
10 К.
Ответ. U = 208 Дж.
160