Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика
.pdf9.24Найти показатель преломления звуковых волн на границе раздела «воздух-стекло», если модуль Юнга для стекла 6,900 1010 Па, плотность стекла 2,600 103 кг/м3, температура воздуха 20 С.
Ответ. nср = 0,067.
9.25Определить длину волны , если расстояние l между первым и четвертым узлами стоячей волны 30 см.
Ответ. = 0,20 м.
9.26Найти положение узлов и пучностей, начертить график стоячей волны, если известно, что расстояние между 2-й и 5-й пучностями 0,75 м, а отражение происходит в точке, расположенной на расстоянии 1,5 м от источника. Отражение происходит от более плотной среды.
Ответ. Координаты пучностей 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
1,125; 1,375 (м); координаты узлов 0; 0,25; 0,50; 0,75; 1,0;
1,25; 1,5 (м).
9.27Скорость распространения звуковой волны в газе с моляр-
ной массой М = 2,9 10–2 кг/моль при температуре t = 20 С составляет 343 м/с. Определить отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объеме.
Ответ. γ = 1,4.
9.28Средняя квадратичная скорость молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 480 м/с. Определить скорость v распространения звука в газе при таких же условиях.
Ответ. v = 328 м/с.
9–10 баллов
9.29Для определения скорости звука в воздухе использовали трубу с поршнем и звуковой мембраной, закрывающей один из ее торцов. Найти скорость звука, если расстояние между соседними положениями поршня, при которых наблюдался резонанс на частоте = 2,0 кГц, составляет l = 8,5 см.
Ответ. v = 340 м/c.
131
9.30Определить разность числовых значений фазовой и групповой скоростей для частоты n = 800 Гц, если фазовая скорость
задается выражением v a0 |
n b , где а0 = 24 м/с, |
b = 100 Гц.
Ответ. v = 2,46 м/с.
9.31Два когерентных источника колеблются в одинаковых фазах с частотой n = 400 Гц. Скорость распространения колебаний в среде v = 1,0 км/с. Определить, при какой наименьшей
разности хода будут наблюдаться: 1) максимальное усиление колебаний; 2) максимальное ослабление колебаний.
Ответ. x1 = 2,5 м; x2 = 1,25 м.
9.32Два когерентных источника посылают поперечные волны в одинаковых фазах. Периоды колебаний Т = 0,2 с, скорость распространения волн в среде v = 800 м/с. Определить, при какой разности хода в случае наложения волн будут наблюдаться: 1) ослабление колебаний; 2) усиление колебаний.
Ответ. x1 = 80( 2m 1) м , где (m = 0, 1, 2, …); x2 = 160m м, где (m = 0, 1, 2, …).
132
II.СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ИТЕРМОДИНАМИКА
10.МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Краткие теоретические сведения
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории га-
зов
р 13 nm0 vкв2 23 nЕк nkT ,
где n – число молекул в единице объема газа (концентрация); m0 – масса одной молекулы газа;
р– давление газа на стенку сосуда;
vкв2 – квадрат средней квадратичной скорости молекул;
Ек – средняя кинетическая энергия поступательного движения
одной молекулы газа; Т – абсолютная температура газа;
k – постоянная Больцмана.
Зависимость средней кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул от температуры
Eкпост iпост2 kT ,
Еквр i2вр kT ,
где iпост, iвр – число поступательных и вращательных степеней свободы молекул.
Скорости молекул:
133
средняя квадратичная |
vкв |
|
|
|
3kT |
|
|
|
3RT |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|||
средняя арифметическая |
v |
8kT |
|
|
8RT |
|
, |
|
||||||||
m |
0 |
|
M |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
наиболее вероятная |
vв |
|
|
2kT |
|
|
2RT |
, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|||
где R – универсальная газовая постоянная.
Распределение молекул в поле сил тяжести (распределение Больцмана)
N N |
|
|
|
m0 g |
( h h0 |
) |
N |
|
|
|
Eп |
|
0 |
e |
kT |
0 |
e |
kТ . |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение молекул по скоростям (распределение Максвелла)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3/2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
v |
|
|
|
dN |
|
m0 |
|
|
|
m0v |
|
|
2 |
|
4 |
v |
|
|
|
|
dv |
|
||
|
2kT |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
vв |
|
||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
4 v |
|
dv |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
N |
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
vв |
|
|
|
|
vв |
|
|||||
где dN – число молекул из общего числа N, имеющих при температуре Т скорости в интервале v,v dv .
Распределение молекул по составляющим скоростей
dN( vх ,vy ,vz ) |
|
m |
|
3/2 |
|
|
m ( v2 |
v2 |
v2 ) |
||
|
|
|
0 x |
y |
z |
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
|
2kT |
|
dvx dvy dvz , |
||||
N |
|
|
|
||||||||
2 kT |
|
|
|
|
|
|
|
||||
134
где dN( vx ,vy ,vz ) – число молекул из общего числа N, имеющих скорости с составляющими вдоль координатных осей vx, vy, vz, лежащих в интервалах ( vх , vх dvх ) , ( vy , vy dvy ),
(vz , vz dvz ) .
Функция распределения молекул идеального газа по относительным скоростям
f(u) |
4 |
u 2 e u 2 , |
|
|
|||
|
|
где u v – относительная скорость. vв
Функция распределения молекул идеального газа по энергиям теплового движения
f ( ) 2 kT 3 / 2 1/2 e kT .
Число молекул, имеющих кинетическую энергию поступательного движения, заключенную в интервале от до +d
dN = N f ( ) d .
Барометрическая формула, выражающая убывание давления газов с высотой h над поверхностью Земли:
|
m0 gh |
|
Mgh |
р р |
e kT |
р |
e RT . |
0 |
|
0 |
|
135
Примеры решения задач
Задача 1. В сосуде находятся 1,0·10–7 молей кислорода и 1,0·10−6 г азота. Температура смеси 100 С. При этом давление в сосуде 1,0·10–3 мм. рт. ст. Найти: 1) объем сосуда, 2) парциальные давления кислорода и азота, 3) число молекул в 1 см3 этого сосуда.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. 1. Объем сосуда определим |
||||||||||||||||||||||
|
O2 |
1,0 10 7 моль; |
|
|
|
|
|
|
|
по |
|
уравнению |
Менделеева |
− |
Кла- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пейрона, записанного для смеси газов |
||||||||||||||||||||
P = 133·10–3 Па; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
m |
= 1,0·10–9 |
кг; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(азота и кислорода): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рV O |
|
|
|
RT . |
|
|||||||
V = 1,0·10–6 |
|
м3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
(10.1) |
||||||||||||||||||
T = 373 K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы найти количество |
вещества |
||||||||||||||||
Найти: V, РO |
|
, |
РN |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
азота N , определим молярную массу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
азота М N |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
2 14 10 3 28 10 3 |
|
кг |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
моль |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mN |
2 |
|
|
|
|
10 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,57 10 |
8 моль . |
Подставив эти |
||||||||||||||||||
|
|
N2 |
M |
N |
|
|
28 10 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения в (10.1) получим объем сосуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
O2 |
|
|
RT |
|
|
|
|
7 |
3,57 |
|
10 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
8,31 373 3,0 10 3 |
м3 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
133 10 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2. Парциальные давления для кислорода и азота соответственно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
O |
RT |
|
|
|
|
|
O |
p |
|
|
|
|
|
|
10 7 133 10 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
рO2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10 7 3,57 10 8 |
98 10 |
3 |
Па , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
V |
|
|
O |
|
N |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
136
рN2 |
N |
RT |
|
|
N |
p |
|
|
|
3,57 10 8 133 10 3 |
35 10 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
10 7 3,57 10 8 |
|
Па . |
|||||||
V |
O |
|
N |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Концентрацию молекул n найдем из основного уравнения мо-
лекулярно-кинетической теории |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
р nkT , |
|
|
|
|
(10.2) |
||
где k – постоянная Больцмана. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из (10.2) n будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
133 10 3 |
|
|
|
19 |
|
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
2,6 10 |
м |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
kT |
1,38 10 23 373 |
|
|
|
|
|
|||||
Ответ. V = 3,0 10–3 м3; р |
O |
98 10 3 |
Па ; р |
N |
35 10 3 Па ; |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n = 2,6 1019 м–3.
Задача 2. Каким должно быть давление воздуха на дне скважины глубиной 8 км, если считать, что масса одного киломоля воздуха 29 кг, температура по всей высоте постоянна и равна 27 С, а давление воздуха у поверхности Земли равно 1 атм.
Дано: |
Решение. Определим потенциальную |
m = 29 кг; |
энергию молекулы воздуха, находяще- |
= 103 молей; |
гося на дне скважины, относительно |
T = 300 K; |
поверхности Земли |
р0 1 105 Па; |
|
|
|
|
|
Eп m0 gh , |
||||
h = 8·103 м |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
где m0 – масса одной молекулы. |
|||||||
Найти: p |
||||||||||
|
m0 = |
m |
|
M |
|
m |
. |
|||
N |
N |
|
|
|||||||
|
|
|
|
A |
|
N |
A |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
137
р nkT ,
следует, что давление газа при постоянной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул. Распределение молекул в поле сил тяжести (распределение Больцмана) имеет вид
N N |
|
Eп |
N |
|
|
m0 gh |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
e kT |
0 |
e |
|
kT , |
(10.3) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где k – постоянная Больцмана.
С учетом (10.3), из (10.2) получаем, что давление газа на глубине h определяется как
|
m0 gh |
|
|
|
mgh |
|
29 9,8 8103 |
|
|
р р e |
р |
|
|
1 атм e8,31103 3102 |
1 атм e0,91 |
2,48 атм |
|||
kT |
0 |
e RT |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 105 Па
1 атм 1,013 105 Па.
Ответ. p = 3,0 105 Па.
Задача 3. Используя функцию распределения молекул идеаль-
ного |
газа по относительным скоростям f(u) |
4 |
u2 e u2 , где |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
||
u |
|
v |
, определить число молекул, скорости которых v меньше |
|||
|
|
|||||
|
vв |
|
|
|||
0,002vв, если в объеме газа содержится N = 1,67 1024 молекул.
Дано:
N = 1,670 1024 ; v < 0,002 vв
Найти: N(u)
Решение. Число молекул dN(u), относительные скорости которых заключены в интервале от u и до u + du, можно определить, используя распределение Максвелла
138
dN(u) Nf(u)du |
|
4 |
Nu 2 e u2 |
du , |
(10.4) |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N – число молекул в объеме газа. |
|
|
|
|
|||||
По условию задачи максимальная скорость молекул газа |
|
||||||||
|
|
vmax = 0,002vв. |
|
|
|||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
vmax |
|
0,002 . |
|
(10.5) |
||
max |
vв |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из (10.5) следует, что относительная скорость u << 1. Следова-
тельно, экспоненту e u 2 можно разложить в ряд и пренебречь членом u2 в этом разложении
e u2 |
1 u2 1 . |
(10.6) |
С учетом (10.6) выражение (10.4) будет иметь вид
dN(u) |
4 |
Nu 2du . |
(10.7) |
|
|
||||
|
|
|
Проинтегрировав (10.7) по u от 0 до umax, найдем искомое число молекул газа
|
|
umax |
3 |
|
||
N (umax ) |
4 |
N u2du |
4N |
|
umax |
, |
|
|
|
||||
|
0 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
N (umax ) 4 1,670 1024 0,0023 1,0 1016 . 3,14 3
Ответ. N = 1,0·1016 молекул газа.
139
За д а ч и
4 балла
10.1Чему равна масса водорода в сосуде, если число его молекул 1,4 1022.
Ответ. m = 4,7 ·10–5 кг.
10.2В сосуде объемом 480 см3 при температуре 20 С и давлении 250 кПа находится идеальный газ. Сколько молекул газа находится в сосуде?
Ответ. N = 3 1022.
10.3При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна 500 м/с?
Ответ. T = 321 К.
10.4Идеальный газ находится при температуре 300 К. Чему
равно давление газа, если концентрация молекул n = 1,0·1023 м–3?
Ответ. р = 414 Па.
10.5Найти среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул двухатомного идеального газа при температуре 500 К.
Ответ. Ек = 1,7 10–20 Дж.
10.6Чему равна наиболее вероятная скорость молекул водорода при температуре 900 К?
Ответ. vв = 2735 м/с.
10.7Во сколько раз отличаются концентрации молекул воздуха, находящихся при температуре 200 К на высотах, разность которых h = h − h0 = 1000 м?
Ответ. n = 0,84 раза.
10.8Чему равно давление воздуха на высоте 500 м над поверхностью Земли? Температура воздуха Т = 300 К, давление
на поверхности земли р0 = 1 105 Па. Молекулярную массу воздуха считать равной 28 10–3 кг/моль.
Ответ. р = 94·103 Па.
140