Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика

но упругим, найти период колебаний такого маятника.

Ответ. T 2 l g 2 arcsin / .

8.39Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью v, попадает в подвешенный на невесомой нити шар массой M и застревает в нем. Определить период колебаний шара, если максимальный угол отклонения нити от вертикали равен α. Сопротивление воздуха не учитывать.

121

9. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. ЗВУК

Краткие теоретические сведения

Скорость v распространения волны, длина волны , частота n,

период Т связаны соотношением

S (x, t) Asin t kx 0 ,

где S(x,t) – смещение колеблющейся точки, находящейся на расстоянии х от источника колебаний;

– циклическая частота; φ0 – начальная фаза колебаний;

А – амплитуда колебаний частиц среды;

k 2 − волновое число.

Разность фаз Δφ колебаний двух точек среды, расстояние между которыми х = x2 − x1,

2 x ,

где x1, x2 – координаты двух точек среды.

Скорость распространения звуковых волн в упругой среде:

122

поперечных: v G ,

где Е – модуль Юнга; G – модуль сдвига;

ρ – плотность среды.

Скорость распространения звуковых волн в газах

где С p – отношение молярных теплоемкостей газов при по-

Сv

стоянном давлении и при постоянном объеме; R – универсальная газовая постоянная;

Т – абсолютная температура; М – молярная масса газа.

Частота основного тона струны

где l – длина струны;

ρ – плотность вещества струны;

S – площадь поперечного сечения струны; F – сила натяжения струны.

Фазовая v и групповая u скорости, а также формула связи между ними

123

Уравнение стоячей волны

S(x,t) 2Acos 2 x cos t 2A coskx cos t .

Координаты пучностей и узлов при отражении от менее плот-

ной среды

где – длина бегущей волны; m = 0, 1, 2, … .

Примеры решения задач

Задача 1. Плоская синусоидальная волна распространяется со скоростью v = 15 м/с вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси х в среде, не поглощающей энергию. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии х1 = 5 м и х2 = 5,5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз

5 . Амплитуда волны А = 4 см. Определить: 1) длину волны;

2) уравнение волны; 3) смещение S1 первой точки в момент време-

ни t = 3 c.

124

2 v .

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х:

Чтобы найти смещение S1, надо в это уравнение подставить зна-

чения t и х1. Вычисляя, получим

125

Задача 2. Средняя молярная кинетическая энергия поступательного движения молекул азота 3400 Дж/моль. Найти скорость распространения звука в азоте.

где R – универсальная газовая постоянная;= 1,4 – показатель адиабаты для азота; Т – абсолютная температура; М – молярная масса газа.

Средняя молярная кинетическая энергия поступательного движения молекул азота

Тогда из (9.2) можно определить абсолютную температуру Т

Ответ. v = 337 м/с.

Задача 3. При наложении двух когерентных бегущих волн с длиной волны 12 см возникает стоячая волна. Найти положение узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит от менее плотной среды.

126

Подставляя в (9.4) и (9.5) значения для m и , получим положения узлов хузл = 3, 9, 15 см…; положения пучностей хп = 0, 6, 12 см…

Ответ. Положения узлов хузл = 0,03; 0,09; 0,15 м…; положения пучностей хп = 0; 0,06; 0,12 м…

За д а ч и

4 балла

9.1С какой скоростью распространяется волна длиной = 300 м

ипериодом Т = 10 с в среде?

Ответ. v = 30 м/с.

А, циклическая частота, волновое число?

Ответ. А = 10 м; = 4 рад/с; k = 0,2 м–1.

9.3Найти скорость распространения звука в воздухе при температуре 300 К. Молярная масса воздуха М = 29 10–3 кг/моль, показатель адиабаты = 1,4.

Ответ. v = 357 м/с.

127

9.4Длина волны = 5 м, частота колебаний n = 2 Гц. Чему равна скорость распространения волны?

Ответ. v = 10 м/с.

9.5Струна натянута силой F = 10 Н. Плотность материала стру-

ны = 4 103 кг/м3, площадь поперечного сечения струны S = 1,0·10–4 м2, длина струны l = 1 м. Чему равна частота основного тона струны?

Ответ. n = 2,5 Гц.

9.6Найти разность фаз колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии х = 0,2 м друг от друга. Длина волны

= 314 м.

Ответ. = 0,004 рад.

9.7Найти смещение точки стоячей волны в момент времени t = T/6, если амплитуда колебаний А = 0,1 м, расстояние от источника колебаний х = 2 м, волновое число k = 5 .

Ответ. S(x,t) = 0,1 м.

9.8Записать уравнение плоской бегущей волны, если амплитуда колебаний точки А = 0,05 м, период Т = 2 с, длина волны 6 м.

Ответ. S = 0,05 cos( t - /3 х) м.

9.9Чему равно волновое число k для волны с = 2м?

Ответ. k = м–1.

9.10Записать уравнение стоячей волны, если амплитуда колебаний А = 0,1 м, волновое число k = 0,004 м–1, период колебаний Т = 2 с.

Ответ. S = 0,2cos(0,004x)cos( t).

5–6 баллов

9.11Определить длину волны , если значение волнового числа k

= 0,02512 см –1.

Ответ. = 2,5 м.

128

9.12Определить скорость v распространения волн в упругой сре-

де, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на х = 15 см, равна /2. Частота колебаний n = 25 Гц.

Ответ. v = 15 м/с.

9.13Найти разность фаз колебаний двух точек среды, находящихся на расстоянии 10 м и 16 м от источника колебаний. Период колебаний 0,004 с, скорость распространения волны

300 м/с.

Ответ. Δφ = 10 рад.

9.14Волны в упругой среде распространяются со скоростью равной 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на расстоянии 3 м от источника колебаний, через 4 с от начала

колебаний? Период колебаний 1 с, амплитуда колебаний 2 см.

Ответ. S = 0,62 см.

9.15Найти смещение из положения равновесия точки среды, находящейся на расстоянии от источника /12 в момент времени t = T/6. Амплитуда колебаний А = 0,050 м.

Ответ. S = 0,025 м.

9.16Определить скорость распространения волны в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на расстоянии 20 см, равна /3. Частота колебаний 50 Гц.

Ответ. v = 60 м/с.

9.17Скорость распространения звука в воздухе 340 м/с. Ухо человека имеет наибольшую чувствительность на длине волны 17 см. Чему равна частота этой волны?

Ответ. n = 2 кГц.

9.18Скорость звука в стержне из дюралюминия 5100 м/с. Опре-

Ответ. E = 7·1010 Па.

129

9.19Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v = 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, период колебаний Т = 1 с. Записать уравнение волны и определить: 1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии х = 9 см от источника колебаний в момент времени t = 2,5 с.

9.20 Уравнение незатухающих колебаний точек среды имеет вид x 4 sin(600 t) см . Найти смещение из положения равно-

весия на расстоянии 75 см от источника колебаний, через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.

Ответ. S = 0,04 м.

9.21Найти отношение скоростей звука в водороде и углекислом газе при одинаковой температуре.

Ответ. v1 = 4,8. v2

Ответ. Δφ = 1,25 рад.

9.23Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 10 м/с. Период колебаний точек шнура 1 с, амплитуда 1,5 см. Определить длину волны, скорость и ускорение точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии 20,0 см, в момент времени 5 с.

Ответ. = 0,10 м; v = 1,2·10–2 м/с; а = –8,7·10–2 м/с2.

130