Сборник задач по общему курсу физики. В 2 ч. Ч. 1 Механика. Статистическая физика и термодинамика

по горизонтали от отверстия до места, куда попадет струя воды.

Ответ. S = 0,70 м.

7.16Широкий сосуд с небольшим отверстием в дне наполнен во-

дой плотностью 1 = 1,0·103 кг/м3 и керосином плотностью

2 = 0,8 103 кг/м3. Пренебрегая вязкостью, найти скорость вытекающей воды, если толщина слоя воды h1 = = 30 см, а слоя керосина h2 = 20 см.

7.17Шарик всплывает с постоянной скоростью в жидкости,

плотность которой в три раза больше плотности материала шарика. Определить от-

трубки имеет небольшое отверстие и находится на высоте h0 = 12,0 см. На какую высоту h будет подниматься струя воды, вытекающая из отверстия?

Ответ. h v2 2g h0 0,2 м.

7–8 баллов

7.19Бак цилиндрической формы с площадью основания 10,0 м2 и объемом 100,0 м3 заполнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определить время, необходимое для полного опорож-

101

7.23По суживающемуся трубопроводу (рис. 7.7) протекает вода в количестве Q = 27,0 м3/ч. Определить давление в точке О2,

102

если в точке О1 давление р1 = 2,50 105 Па. Диаметры трубопровода d1 = 80,0 мм, d2 = 40,0 мм, длина а = 10,0 м, угол наклона оси трубопровода к горизонту = 30 . Трением пренебречь.

Ответ. p = 1,84 105 Па.

7.24По трубопроводу, размеры которого указаны на рис. 7.8,

р1 = 2,00 105 Па. Определите давление и режим течения воды в трубопроводе после сужения. Кинематическая вязкость

7.25На столе стоит широкий цилиндрический сосуд высотой 50 см, который наполнен водой. Пренебрегая вязкостью, найти, на какой высоте от дна сосуда следует сделать небольшое отверстие, чтобы струя из него била по поверхно-

сти стола на максимальное расстояние lмакс от сосуда. Чему равно lмакс?

Ответ. h = 0,25 м; lмакс = 0,50 м.

7.26Какой наибольшей скорости может достичь капля воды радиусом r, свободно падающая в воздухе? Динамическая вязкость воздуха .

Ответ. v 2 gr 2 .

9

7.27Смесь свинцовых дробинок (плотность с = 11,3 г/см3) диаметром 4 мм и 2 мм одновременно опускают в широкий со-

суд глубиной h = 1,5 м с глицерином (плотность = = 1,26 г/см3, динамическая вязкость = 1,48 Па с). Определить, на сколько больше времени потребуется дробинкам меньшего размера, чтобы достичь дна сосуда.

Ответ. На t = 73 с.

103

7.28При движении шарика радиусом r1 = 1,2 мм в глицерине

(плотность 1 = 1,26 103 кг/м3) ламинарное течение жидкости наблюдается при скорости шарика, не превышающей v1 = 23 см/с. При какой минимальной скорости v2 шарика радиуса r2 = 5,5 см в воде (плотность 2 = 103 кг/м3) обтекание станет турбулентным? Вязкости глицерина и воды

1 = 1,39 Па с, 2 = 1,1 мПа с.

Ответ. v2 = (v1r1 1 2)/(r2 2 1) = 5,0 10–6 м/с.

7.29Свинцовый шарик плотностью = 11,3 103 кг/м3 равномерно

При каком наибольшем диаметре шарика его обтекание еще остается ламинарным? Известно, что переход к турбулентному обтеканию соответствует числу Рейнольдса Re = 0,5. За характерный размер шарика принять его диаметр.

7.30В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность = 1,26 г/см3, динамическая вязкость = 1,48 Па с), падает свинцовый шарик (плотность = 11,3 г/см3). Считая, что при числе Рейнольдса Re 0,5 выполняется формула Стокса (при вычислении Re в качестве характерного размера берется диаметр шарика), определить предельный диаметр шарика.

Рейнольдса Reкр = 0,5, определить характер движения масла, обусловленный падением в нем шарика.

Ответ. Re = 2,2 > Reкр , движение турбулентное.

104

v = 1,50 см/с. Определить для касторового масла: 1) динами-

ческую вязкость ; 2) кинематическую вязкость ν.

Ответ. η = 0,99 Па с; ν = 1,0 10–3м2/с.

7.33Парашют массой 32 кг в раскрытом состоянии имеет форму полусферы диаметром 12,0 м. Если масса парашютиста 65 кг, какова будет максимальная скорость его движения на па-

рашюте? Коэффициент лобового сопротивления Сх = 1,3; плотность воздуха 1,29 кг/м3.

Ответ. vmax = 3,2 м/с.

7.34Автомобиль с наибольшей площадью сечения в направлении, перпендикулярном скорости S = 2,2 м2 (миделево сече-

ние), коэффициентом лобового сопротивления Сх = 0,4 и максимальной мощностью Р = 45,0 кВт может на горизонтальных участках дороги развивать скорость до 140 км/ч.

При реконструкции автомобиля уменьшают миделево сечение до S1 = 2 м2, оставляя Сх прежним. Принимая силу сцепления колес автомобиля с поверхностью дороги постоянной, определить, какую максимальную мощность должен иметь

автомобиль, чтобы он развил на горизонтальных участках дороги скорость до 160 км/ч. Плотность воздуха − 1,29 кг/м3.

Ответ. P = 58,5 кВт.

7.35Расход нефти по трубопроводу Q = 160 м3/ч. Диаметр трубопровода d = 70 мм, кинематическая вязкость = 2,5 10–4 м2/c. Установить режим течения, а также вычислить, при каком максимальном расходе нефти режим течения будет еще ла-

минарным (критическое число Re = 2300).

Ответ. Qmax = 114 м3/ч.

9–10 баллов

7.36Открытый сосуд, имеющий неизменную по высоте площадь сечения, стоит на горизонтальной площадке (рис. 7.9). Вода вытекает из него через отверстие в боковой стенке, распо-

105

7.37Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на поршень (рис. 7.10), выдавить из горизонтально расположенного цилиндра всю воду за время t?

Объем воды в цилиндре равен V0, площадь сечения отверстия – S, причем S значительно меньше площади поршня,

плотность воды . Трение поршня о стенки и вязкость воды

l вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси О, проходящей через конец А (рис. 7.11). В трубке находится идеальная жидкость. Конец А трубки открыт, а в закрытом конце В имеется очень малое отверстие. С какой скоростью относительно трубки будет вытекать жидкость в зависимости от длины ее столба h?

106

8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Краткие теоретические сведения

Смещение x, скорость v и ускорение a при гармоническом колебании определяются уравнениями

xAsin t 0 ,

vx A cos t 0 ,

a v x ω2 Asin t 0 2 x ,

где А – амплитуда колебания;

– циклическая частота;

0 – начальная фаза.

Циклическая частота , период колебаний Т и частота n свя-

заны соотношениями

2 2 n .

Т

При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода получается гармоническое коле-

бание того же периода, амплитуда которого А и начальная фаза 0 определяются уравнениями

A A12 A22 2A1 A2 cos 2 1 ,

где А1 и А2 – амплитуды слагаемых колебаний;1 и 2 – их начальные фазы.

107

Условие гармоничности колебаний: результирующая сила F,

действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению x и направлена в сторону, противоположную смещению:

F ma m 02 x kx ,

где k m 02 – коэффициент квазиупругой силы, численно равный

силе, вызывающей смещение х равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота0 свободных гармонических колебаний (собственная частота) и период колебаний Т0 определяются соотношениями

0 mk , T0 2 mk .

Период колебаний математического маятника длиной l

T0 2 gl .

Период колебаний физического маятника

где I – момент инерции маятника относительно оси качания; d – расстояние от оси до его центра тяжести.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, постоянна

108

Уравнение для смещения x затухающих колебаний при нали-

чии силы сопротивления Fсопр , пропорциональной скорости

( Fсопр rv , где r – коэффициент сопротивления), имеет вид

x A0e t sin t 0 ,

где A0e t – убывающая по времени амплитуда смещения;

– коэффициент затухания;

– циклическая частота затухающих колебаний;

А0, 0 – начальные амплитуда и фаза (определяется из началь-

ных условий).

Значения , выражаются через параметры значения величин r, m, k формулами

β 2rm ,

Логарифмический декремент затухания колебаний

где А1 и А2 – амплитуды двух последовательных колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний

109

где f0 − отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела;0 – собственная циклическая частота;– циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота при вынужденных колебаниях

рез 02 2 2 .

Примеры решения задач

Задача 1. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т0 = 2 с. Полная энергия колеблющейся ча-

где 0 2 – собственная частота колебаний частицы.

T0

Отсюда амплитуда

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением

F kx,

110