Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по математике для студентов инженерных специальностей. В 2 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

						1
Пример 2. Найти линии уровня функции z								.
							4x2 y2
Решение. В соответствии с формулой						f x, y c уравнение ли-
нии уровня данной функции можно записать в виде
		1			c
		4x2 y2
или c 4x2 y2 1						c 0 ,
	x2		y2	1 c 0 .
1/ 4c
		1/ c

Линии уровня являются эллипсами.

Пример 3. Найти поверхности уровня функции u x2 y2 z2.

Решение. Уравнение поверхностей уровня можно записать в ви-

де x2 y2 z2 c. Исходя из данного уравнения, поверхностями уровня являются: однополостные гиперболоиды при с > 0; конус при с = 0; двухполостные гиперболоиды при с < 0.

Пример 4. Вычислить lim . x 0 3 xy 9

y 0

Решение. Преобразовав выражение под знаком предела, получим:

xy 3

xy 9

lim

xy 9

xy 9)(3

x 0

xy 9

y 0

xy 3

lim

xy 3

lim 3

6 .

lim

xy 9

9 (xy 9)

x 0

y 0

Пример 5. Найти разрывы функции z	x2	2y 4
				.
	y2
			2x

Решение. Функция z непрерывна как отношение многочленов во всех точках, где знаменатель не обращается в нуль. Точки разрыва

расположены на линии y2 2x 0 или y2 2x , т.е. на параболе. При приближении точки Р(х,у) к какой-либо точке этой параболы данная функция бесконечно возрастает.

Пример 6. Найти

если

z cos x2

y xy2 .

постоянным и дифференцируя по x ,

Решение. Считая сначала y

получаем:

sin

x2 y 2x y2 .

Считая x постоянным и дифференцируя по y , находим:

sin x2 y 1 2xy sin x2

y 2xy.

, если u x

Пример 7. Найти

Решение. Находим:

x z

x z ;

u 1 x yz ln x;

y z

u y x yz ln x.z z2

Пример 8. Найти

2 z

;

2 z

;

2 z

. , если z x3 y2 sin xy 1 .

x y

Решение. Последовательно находим:

3x2 y2

y cos xy 1 ;

2x3 y xcos xy 1 ;

2 z

y cos xy 1 x 6xy

sin xy 1 ;

2 z

(3x2 y2 ycos(xy 1))'y

6x2 y cos(xy 1) yxsin(xy 1);

x y

2 z

(2x

y xcos(xy 1))x 6x

y cos(xy 1) xysin( xy 1);

y x

2 z

(2x3 y xcos(xy 1))' 2x3

x2 sin( xy 1).

Пример 9. Найти dz , если z x2 y y2 x.

Решение.

I способ. Находим частные производные:

y y

x)x 2xy y

;

y y

x)y x

2xy.

Имеем:

dz (2xy y2 )dx (x2

2xy)dy.

II способ. Полный дифференциал можно найти по-другому, используя правила дифференцирования:

dz d(x2 y y2 x) d(x2 y) d(y2 x) yd(x2 ) x2dy xd(y2 ) y2dx 2xydx x2dy 2xydy y2dx (2xy y2 )dx (x2 2xy)dy.

Пример 10. Найти d2 z , если z 3x2 y 2xy y2 1.

Решение. Находим первые и вторые частные производные:

6xy 2y;

3x2 2x 2y;

2 z

(6xy 2y)

6y;

(6xy 2y)

6x 2;

x y

2 z

(3x

2x 2y)

Следовательно,

d 2 z 6ydx2

2(6x 2)dxdy 2dy2.

Пример 11. Вычислить приближенно 1,023,01.

Решение.Рассмотримфункцию z x y .Тогда 1,023,01 x x y y ,

где x 1, x 0,02; y 3, y 0,01.

Найдем zx и zy :

zx xy x y x y 1, zy x y y xy ln x.

Воспользовавшись формулой

f x x; y y f x, y fx x; y x f y x; y y. ,

получим:

1,023,01 13

3 13 1 0,02 13 ln1 0,01, т.е.

1,023,01 1,06 .

Для сравнения, используя микрокалькулятор, находим:

1,023.01 1,061418168 .

Пример 12. Найти

, если z arcsin

где y

1 x2

Решение. Имеем:

arcsin

y2 x2

Полная производная

вычисляется по формуле

z dy

y dx

y2 x2

dx x

2 1 x2

y2 x2

1 x2

Поскольку y

1 x2

, то y2 x2

1 и

1 x2

1 x2 1 x2

1 x2

Пример

13.

Найти

, dz ,

если

z ln(u2

2 ),

; x y.

Решение. Имеем:

;

u2 2

2 xy

;

Используя формулы

;

u x

u y

находим:

2x y

;

u2 2

x2 xy y2

u2 2 2 xy

( 1)

2y x

2 2

x2 xy y2

u2 2 2 xy u

2x y

2y x

dy.

x2 xy y2

Пример 14. Найти

, если cos(x y) ysin x 0.

Решение. По условию имеем:

F(x, y) cos(x y) y sin x 0.

Находим частные производные

sin( x y) y cos x;

sin( x y) sin x.

, получим

Применяя формулу

Fy/

y cos x sin( x y)

sin x sin( x y)

Пример 15. Написать уравнения касательной плоскости и нормали

к поверхности z f x, y в точке М0, если		z 2x2 y2 , М0(1, -1, 3).
Решение. Преобразуем	уравнение	поверхности к		виду
2x2 y2 z 0 и, обозначив	его левую часть		F x, y, z ,	найдем
частные производные: Fx 4x;	Fy 2y;	Fz 1.	Вычислим их зна-

чения в данной точке М0:

F '	M0	4; F'	M0	2; F'	M	1.
x	M0	y	M0	z	M	0

Подставив значения частных производных в уравнения

Fx' M0 x x0 Fy' M0 y y0 Fz' M0 z z0 0

и	x x0	y y0	z z0	,
	Fx M0	Fy M0	Fz M0

получим уравнение касательной плоскости:

4 x 1 2 y 1 z 3 0 или 4x 2y z 3 0 ;

уравнение нормали:

x 1 y 1 z 3.

Пример 16. Найти экстремум функции. z 3x2 y x3 y4.

Решение. Находим частные производные zx, zy и точки, в кото-

рых они равны нулю или не существуют:

zx 6xy 3x2,	zy 3x2 4y3.
		2	0, , найдем стационарные
Решив систему уравнений 6xy 3x			0, , найдем стационарные
3x2	4y3		0,

точки М1(6; 3); М2(0; 0).

Находим частные производные второго порядка данной функции:

					2
	6y 6x;		6x;		12y .
zxx		zxy		zyy

Вточке М1(6; 3) имеем: А= –18, В= 36, С = –108. Отсюда АС – В2 =

=-18∙(–108) – 362= 648, т.е. ∆ > 0. Так как А < 0 ,то в точке М1 функ-

ция имеет локальный максимум: zmax z 6;3 27.

В точке М2(0; 0) имеем: А = 0, В = 0, С = 0. Значит, ∆ = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в

точке М2 равно нулю: z(0; 0) = 0. Можно заметить, что z y4 0

при x 0, y 0; z x3 0 при x 0, y 0. Значит, в окрестности точки М2(0; 0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет.

Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y xy2 xy в замкнутой области, ограниченной линиями

y	1	;	x 1,	x 2,
y	x	;	x 1,	x 2,
	x
				Y

1/2

-3/2

y 1,5. (см. рисунок).

1 2

АЕ

Решение.

1. Найдем:

zx 2xy y2 y, zy x2 2xy x

Находим все критические точки:

y 2x y 1 0,

x x 2y 1 0.

Решением системы являются точки (0; 0); (–1; 0); (0; –1); (–1/3;

–1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D.

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из уча-

стков АВ, ВС, СЕ, ЕА.

На участке АВ

x 1, z y2 2y,

где y	3			zy	2y 2,	2y 2 0,	y 1.
		;1	;
	2

Значения функции z 1 1,		3	3		z 1 3.
	z			;
		2	4

На участке ВС

, z x

где x 1;2 ;

0, x1 1,

x2 1 1;2 .

1 x2 ,

1 x2

Значения функции z 1 3,

z 2 3,5.

На участке СЕ

x 2, z 2y2 6y,

где y

;

6, 4y 6 0, y

							3										1
Значения функции z									4,5; z										3,5.
Значения функции z									4,5; z										3,5.
							2									2
На участке АЕ
			y			3				z				3x2			3			x,
								,
								,							2
						2									2		4
		x		3									3								1
где x 1;2 ;	z		3x		,			3x							0,			x				1;2 .
			4							3		4						4
Значения функции z 1										3	,	z 2 4,5.
Значения функции z 1											,	z 2 4,5.
									4
Сравнивая полученные результаты, имеем:
												1
			M 3,5 z 2;												z C
			M 3,5 z 2;												z C
												2
															3		z E
			m 4,5 z									2;
			m 4,5 z									2;
															2

5.2. Задания для практических занятий

5.2.1. Найти область определения функций:

1. z	1	1 y2	.

	x 1

y2 1

3. z arcsin . x2

5.	z ln( y x2 ) .
			1	.
7.	z	x2 4

			y2 1
9.	z ln( xy) .

2. u		1		.
	ln( x2	y2
			1)

4. u . x2 y2 z 1

6. u x2 y2 4

8. u ln(x2 y2 z2) .

10. u . x2 y2 4z

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]