Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по математике для студентов инженерных специальностей. В 2 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

2. Показать, что предел функции y		5x2	4x 1
				в точке

			x 1
x0 1	равен b 6 . Для данного = 0,1 найти такую окрестность b

точки x0 1, чтобы для всех х, взятых из этой окрестности, выпол-

нялось неравенство: у b .


	3. Показать, что предел функции y			3x2	15x 42
						в точке

			9		x 7
x0	7 равен b 27 . Для данного =				найти такую окрест-
		200

ность b точки x0 7 , чтобы для всех х, взятых из этой окрестно-

сти, выполнялось неравенство: у b .

3.2.4. Пределы

Вычислить следующие пределы:

	lim		3 5x x4											lim			2x3 5x2 7x 15
1.											.	2.																	.
1.					2 x3						.	2.							8 4x2 3x3										.
	x				2 x3									x					8 4x2 3x3
	lim	3 5x x4										4. lim						x2 5› 6										lim			x2 o 2
3.										.																	. 5.								.
3.					2 x			3		.						3		2o				2					. 5.				x	3			.
	x				2 x								x 2 x					2o					o 2					x 1			x		1
	lim			x2 o 12												lim				x3 4o2 7o 6
6.													.	7.																.
6.		3x			2								.	7.							x	3	2o		2					.
	x 4	3x				27o 60										x 2					x		2o			o 2
							3																3	.							x 2			.
8.	lim			o 2			3		.			9. lim						1 2o					3			10.		lim			x 2


	x 7				o 7									x 4					o 2									x 21 3 o
																									1			12
						2› 3						3› 4													1			12
11. lim															.		12.				lim										.
11. lim								o 1							.		12.				lim										.
	x 1							o 1													x 2 o 2							o3 8

												1	2
		o	2	2 o		2	5				lim	1	2
13.	lim								.	14.					.
13.	lim								.	14.			o2		.
	x										x 1 o 1		o2	1

15.					2
15.	lim o				o 5o 8			.
	x

3.2.5. Замечательные пределы

Вычислить следующие пределы

lim

sin 5x sin 3x

lim

cos x cos3x

lim

1 cos x

x 0

sin x

x 0

x 0 x tg

lim

xsin 5x

limsin

x 3

lim

sin x cos x

x 0

1 cos4x

x 0

1 tgx

lim

1 sin x

8. lim

tgx tga

. 9.

lim(1 sin 2x)2cosec2x .

x tg

x a sin x sin a

x 0

5 x

tg2x

10. lim(1 5tg7x)ctg7x . 11.

lim

. 12. lim(1 ctg2x)2

x 0

x 0 5 x

x 0

13. lim x(ln(x 1) ln x) .

14. lim x(ln(x 7) ln x) .

x 0

15. lim

e 4x e2x

2x 3 2x

16.

lim

x 0

2x 3

17. lim (2x 1)(ln(x 3) ln x) .

18. lim

e 3x2

x 0

3.2.6. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентность бесконечно малых функций

При x 0 α x						и β x			являются бесконечно малыми функ-
циями. Сравнить их.
1.	α(x) 2x2 5x3 x5 ,							β(x) 3x2 7x4 .
2.	α(x) 3x 5x2 ,						β(x) x 2x2 .
3.	α(x) sinmx ,					β(x) cosx cos2x
	α(x) 1 cosx ,						β(x)		x3
4.										.

									3 x
5.	α(x)		,		β(x) x .
		3x
6.	α(x)			3,			β(x) x .
		11 x

3.2.7. Замена бесконечно малых функций эквивалентными

Вычислить пределы:

lim

ln(1 5x)

lim

ax a x

lim

3sin x x2

. 2.

sin 5x

x 0 arcsin11x

x 0

x 0 tgx 2sin2 x 5x4

lim

e7x ex

5. lim

cos5x

cos

3 5x

x 0 sin 5x sin x

x 0

tg4

lim

5sin 2x arcsin2 x arctg2x

7. lim

e 4x e2x

20x tg3x

x 0

x 0 arctg3x

lim

cos3x2 1 x3

2tg2x 5arcsin4 x

x 0

3.2.8. Непрерывность функций в точке и на отрезке. Точки разрыва и их классификация

Исследовать на непрерывность и построить график следующих функций:

		1
1.

	f (x) x 2
		x
	e

	cos x
2.
2.	f (x) x2 1
				x
				x

	3
		2

			4 x		2
3.			4 x
3.	f (x)

2 5x

4.f (x) x2 25

x 5

5. f x x 3

6. f (x) x 2

x2 1

7. f (x) x

6 2

при	x 0,
при	x 0.
при	x 0,
при	0 x 2,
при	x 2.
при	-1 x 0,
при	0 x 2.
при		x 0,
	при	x 0.
при		x 0,
при		x 0.
при		x 0,
при		x 0.
при	1 x 2,
при	x 2.

8. Доопределить функцию f x

sin x

в точке х = 0 таким об-

разом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.

9. Доопределить функцию f x

5 x

в точке х = 1 та-

2 x 1

ким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.

10. Возможно ли доопределить функцию

f x

в точке

x 3

х = 3 таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

11. Доопределить функцию f x

ax 5

в точке х = 5 таким

x 5

образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке.

12. Возможно ли доопределить функцию f x

x 3

в точке

x 3

х= –3 таким образом, чтобы она стала непрерывной в этой точке?

4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

4.1.Решение типовых задач

Пример 1. Под каким углом кривая y ex пересекает ось ОY?


Решение. Угол между кривой y ex						и осью ОY – это угол меж-
ду касательной к кривой y ex				в точке (0,1) и осью ОY.
Угол между	касательной			и осью		ОХ найдем из	равенства
	tgα (e	x		e	1;	tgα 1; α 45	и угол
tgα y (0) , т.е.	tgα (e		)x 0	e	1;	tgα 1; α 45	и угол
между кривой и осью ОY равен 45 .
Пример 2. Найти xy , y			1 3x5
					.
					.
			1 4x7

Решение. Найдем:

1 3x

15x

1 4x

1 3x

28x

1 4x7

1 4x

24x11 28x6 15x4

1 4x7 2

найдем по формуле

1 4x7 2

24x

28x

15x

Пример 3. Используя предварительное логарифмирование, най-

ти y , если

ex2

x x3 1

2x 3

Решение.

ex2 x3 1

2x 3

;

2 x

x x3 1

2x 3

ln y ln ex2

ln x3 1

ln 2x 3

ln x3 1

ln 2x 3 ;

ln x

1 3x2

ln 2x 3

x3 1

2x2

2x 3

ln x3 1

2x 3

;

x3 1

2x2

x 2x 3

ex2

x x3 1

2x 3

ln x3 1

ln 2x 3

x3 1

2x2

x 2x 3 ;

Пример 4. Найти

, если 2x 2y

2x y.

Решение. Здесь y y(x), поэтому

2x ln 2 2y ln 2 y 2x y ln 2 1 y ;

x y

2y 1

, y

1 2x

Пример 5. Найти dy , если y 23x.

Решение.

ln 2 3dx 3ln 2 2

dx .

dy y dx;

Пример 6. Вычислить приближенно arctg0,97.

Решение.

arctg0,97 – это значение функции y arctgx при x 0,97.

Пусть x0 1, тогда x x x0

0,03. Используем формулу

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x ,

где

f x0 arctg x

x0 1

arctg1

0,785;

f x

arctgx

;

1 x2

x 1

Тогда arctg0,97 0,785 0,5 0,03 0,77.

Пример 7. Найти d2 y , если y																			x			.
Пример 7. Найти d2 y , если y																						.
Решение.																x2 1
Решение.
											x						x	2		1 x 2x								x		2	1
d	2					2		y			x						x			1 x 2x								x			1
							;			2															2							2
		y y dx					;			2	1								x2 1						2		x2			1		2
									x		1								x2 1								x2			1
													x2 1								;
												x2			1 2						;
			x		2	1				2x x				2	1				2	x			2	1 2 x				2	1 2x
					2									2									2					2
y

			(x	2		1)		2													x2		1			4
			(x			1)															x2		1

2x x2 3

;

x2 1 3

d2 y

2x x2 3

dx2.

1 3

Пример 8. Применяя правилоЛопиталя, найти lim

Решение.

x x 1

ln x

lim

x ln x x 1

lim

x 1 ln x

x 1 x 1

ln x

x 1

lim

ln x 1 1

lim

x ln x

lim

ln x 1

x 1

ln x

x 1 x ln x x 1

x 1 ln x 1 1 2

Пример 9. Провести полное исследование функции y x2 x 4

и построить ее график.

Решение. 1. Функция определена, если x2 x 4 0 или

x 0; x 4. Следовательно,

D y : ,0 0, 4 4, .

2.Так как D(y) не является симметричным множеством относительно начала координат, то функция не может быть четной, нечетной и периодической.

3.Найдем точки разрыва функции: х = 0 и х = 4, так как функция

вэтих точках не определена. Исследуем характер точек разрыва, найдя односторонние пределы:

lim	f x lim	4	,
		x 4
x 0 0	x 0 0 x2
lim	f x lim	4	.
		x 4
x 0 0	x 0 0 x2

Значит, х = 0 – точка разрыва второго рода. И ось ОY является вертикальной асимптотой.

lim	f x lim	4	,
		x 4
x 4 0	x 4 0 x2
lim	f x lim	4	.
		x 4
x 4 0	x 4 0 x2

Значит, х = 4 – точка разрыва второго рода и прямая х = 4 – вертикальная асимптота.

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Таких точек нет, так как x 0, y 0.

5. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:


		4			(2x(x 4) x						2		)		3x			2	8x
y		4		4	(2x(x 4) x								)	4	3x				8x
y	2			4			4		2					4		4				2
	2	x				x	4	(x 4)	2						x	4	(x		4)	2
x		x	4			x		(x 4)							x		(x		4)
				4		8 3x			,
				4		x3 (x 4)2			,
						x3 (x 4)2
				y 0		при x				8		.
				y 0		при x						.
									3

y не существует при х = 0 и х = 4, но эти значения не входят в

D(y).

x 8 – точка, подозрительная на экстремум.

Результаты исследования оформим в виде таблицы.

x		(– ;0)		0			(0,8/3)									8/3		(8/3,4)	4		(4;+ )
y'			-	не сущест-					+							0		-	не сущест-		-
				вует																вует
y				не сущест-												max			не сущест-
				вует																вует
												8
На			интервалах ;0										;4			4; функция убывает; на
На			интервалах ;0										;4			4; функция убывает; на
												3
0;	8		– возрастает; при				x				8		функция достигает max.

											3
	3										3
										8						4			9
				y	max	y														.
				y		y														.
								3						64 8					64
																	4
																	4
															6 3
						M	8			;		9
																– точка max.
																– точка max.
							3					64

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]