Сборник задач по математике для студентов инженерных специальностей. В 2 ч. Ч. 1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Поверхности второго порядка

Пример9. Назватьипостроить поверхность 3 x 1 2

Преобразуем

поверхности

3 x 1 2 2 y 1 2 6 или

1. Выполним па-

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>


	2 1			3	2 1					2			3 5			1 1
3.		3	4	2	1	0			4.		3		2		1	1	0
								.										.
		1	3	4	1						1		1		4	2 3
						1
	2 1 3				2 5					2			3	1		1 0
5.		1	1 2		2	0			6.			3	2		1	2 2
							.										.
		4	1 7		2	5						7	8	1		0 1

1.2.16. Решить произвольные системы:

4x1 2x2 x3 0,

1. x1 2x2 x3 1,x2 x3 3.

3x1 2x2 x3 0,

3. 5x1 4x2 3x3 0,

4x1 3x2 2x3 0.

2x1 x2 3x3 2x4 4,

5. 3x1 3x2 3x3 2x4 6,3x1 x2 x3 2x4 6,

3x1 x2 3x3 x4 6.

7x1 5x2 3x3 x4 0,

7. 3x1 2x2 3x3 2x4 0,

x1 x2 3x3 3x4 0.

3x1 x2 x3 1,

2. 2x1 3x2 2x3 2,

x1 2x2 x3 3.

2x1 3x2 4x3 x4 1,

3x1 2x2 x3 2x4 2.

3x 2y 4z 3,

6. 4x 2y z 3,

2x 6y 9z 1.

2x1 2x2 12x3 0,

8. 5x2 3x3 0,

5x2 7x3 0.

3x 2y z 1,

9. 2x y 3z 2,x 4y 7z 0.

2.ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2.1.Решение типовых задач

Операции над векторами. Разложение вектора по базису

Пример 1. Даны радиусы-векторы r1, r2 , r3 трех последователь-

ных вершин А, В, С параллелограмма АВСD. Найти радиус-вектор четвертой вершины D (см. рисунок.

B C

Решение. Из векторного треугольника ОСD: r3 CD rD , .

CD BA..

Из векторного треугольника ОАВ: r1 AB r2

AB r2 r1;

, поэтому

Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение векторов

Пример 2. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, по-

строенного на векторах	a 2m n и	b m 2n, где m,n – еди-


ничные векторы, m , n	60 .

Решение. Пусть d1 и d2 - диагонали параллелограмма. Тогда

d1 a b 2m n m 2n 3m n; d2 a b 2m n m 2n m 3n;

	2			2		2
d		(3m n,3m n) 9	m	6(m, n)	n	9 1 6 1 1cos60
1

1 7;			d1		7,
	d2		(m 3n, m 3n) m 6(m, n) 9 n 1 6 1
		2					2	2
								2
9 1 13;								2

				d2		13.

Пример 3. Радиус-вектор точки М составляет с осью ОY угол в

60 ; а с осью OZ – 45 . OM 8. Найти координаты точки М, если её абсцисса отрицательная.

Решение. Координаты единичного вектора a , совпадающего по направлению с вектором OM , – это направляющие косинусы век-

тора OM .

	cosα;cosβ;cosγ			1	2
a				1	2

		cosα;cos60 ;cos45	cosα;	;	2	.
				2	2

cos2 α

cosα

Так

как

1, то

Но

абсцисса

точки

отрицательная. Значит,

cosα

; поэтому

;

a 4;4;4

2 , т.е. M 4;4;4

2 .

2 2

Векторное и смешанное произведения векторов

Пример 4.

Даны точки

A 2;3; 4 ,

B 3; 2;5 , C 1; 1;2 ,

D 3; 2; 4 . Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины

D на грань АВС.

Решение.

												V								1	V											1					,			,					.
																				1												1		AB				AC			AD
																																		AB				AC			AD
														пир		6							парал-да								6
																6								1							6					1			1
С другой стороны, V																									S						H															,							H , поэтому

																																										AB					AC
																																										AB					AC
																	пир				3								осн							3 2
																					3															3 2
																																																				,					,
1			,					,											1			AB				,								H ,т.е. H														AB				,	AC				,	AD	.
	AB					AC					AD																	AC


6																6																																		AB					,	AC
6																6																																		AB					,	AC

Найдем векторы																		5; 1;9 ;																	3; 4;6 ;														5; 1;0 :
Найдем векторы															AB			5; 1;9 ;												AC					3; 4;6 ;											AD			5; 1;0 :
																	5						1		9
																	5						1		9
				,			,										3						4		6									30 27 180 30																				153;
		AB			AC					AD
		AB			AC					AD
																	5						1		0
																	5						1		0
																							i
																							i				j						k
												,											5		1							9		30i 3										17							;
									AB			,	AC										5		1							9		30i 3									j	17					k		;
																							3		4						6
																							3		4						6


AB, AC	302 32 172	1198;

H 153 . 1198

Плоскость

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через


точку М(2,-3,1) параллельно векторам a1 3;2; 1 , a2														1;2;3 .
Решение. Нормальный				вектор плоскости								n	a1	и	n	a2	,
поэтому
		i
		i		j		k
		3	2		1		8i 8		8		.
	n	3	2		1		8i 8	j	8	k	.
		1	2		3

Ищем уравнение плоскости в виде:

A x x0 B y y0 C z z0 0;

8 x 2 8 y 3 8 z 1 0, x y z 2 0.

Прямая на плоскости

Пример 6. Составить канонические уравнения прямой, проходя-

щей через точку A 2, 1 перпендикулярно к прямой y 3x 1.

Найти отрезки, отсекаемые этой прямой на осях координат.

Решение. y 3x 1 или y 3x 1 0 . Нормальный вектор этой

прямой n 3,1 являетсянаправляющимвектором дляискомой прямой.

x x0

y y0

или

x 2

y 1

x 2 3y 3,

x 5

; –

каноническое

уравнение

прямой

x 0 y

. Тогда

y 0 x 5. – отрезки, отсекаемые на осях координат.

Прямая в пространстве. Прямая и плоскость

Пример 7. Доказать перпендикулярность прямых

x 2t 1,

2x y 4z 2 0,

y 3t 2,

4x y 5z 4 0.

z 6t 1

Решение. Направляющий вектор первой прямой

2;3; 6 .

3;2;2 .

9i 6

или

1 2

Если

прямые

перпендикулярны,

то

S1, S2 2 3 3 2 6 2 0 .

Кривые второго порядка

Пример 8. Определить вид кривой, найти ее вершины, фокусы, эксцентриситет, построить кривую.

8x2 16x 12y2 6 0 .

Решение. Преобразуем уравнение кривой:

8 x2 2x 12y2 6 0, 8 x2 2x 1 1 12y2 6 0,

8 x 1 2	12y2		14,
x 1 2		y2	1.
7 4
	7 6

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам

				2			2
x 1 x ,	. Тогда O 1,0	и	x			y		1 – каноническое уравне-


y y .		7 4			7 6

ние гиперболы в новой системе координат.

	Полуоси						гиперболы a								7			;		b			7	.		Вершины					гиперболы
	Полуоси						гиперболы a											;		b		6		.		Вершины					гиперболы
													2									6
																									7			7	35
		7
A1									7					c2		a2 b2														.
				;0		; A2			7			;0 ;
				;0		; A2						;0 ;
		2							2													4					6 12
		2							2													4					6 12

																			35													35
	Фокусы гиперболы											F1 c,0									;0	; F2					c,0						;0 ;
	Фокусы гиперболы											F1 c,0									;0	; F2					c,0						;0 ;
																			12												12
																			12												12
			c					2									.
E			c			35		2			35 4					5
E					12					12 7
			a		12		7			12 7					3

Построим гиперболу (рис. 1).

A2		A1	X

O	O	F1	X
F2

x 1 x ,

раллельный перенос осей координат по формулам

y 1 y .

Тогда новое начало системы координат O 1; 1 . В ней уравнение

поверхности имеет вид	X	2		Y	2	1. Это гиперболический ци-
	2
			3

линдр (рис. 2).

2.2. Задания для практических занятий

2.2.1. Операции над векторами. Разложение вектора по базису

1. Точки K и L являются серединами сторон ВС и CD параллело-

грамма ABCD. Полагая AK = K и AK e выразить через K и e,

векторы BC и DC.

(Ответ: BC = 1/3(4 e – 2 K ), DC = 1/3(4 K – 2 e )).

2. Даны векторы ОА а и ОВ b. Вектор OC c – медиана треугольника ОАВ. Разложить аналитически и геометрически век-

тор c по векторам а и b , а вектор а по векторам b и c .

(Ответ: c = 1/2( а + b ), а = 2 c – b .)

3. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол ВОА = 60?, ОВ = BC = СА = 2, точки M и N – середины сторон BC и AC. Выразить векторы

AC,OM ,ON , MN через единичные векторы m и n направлений

OA и OB .

(Ответ: AC = 2( n – m ), OM = 2 n + m , ON = 3 m + n ,

MN = 2 m – n .)

4. Даны радиусы векторы r1 ,r2 ,r3 трех последовательных вершин А, В, С параллелограмма ABCD. Найти радиус-вектор четвертой вершины D.

		(Ответ: r1 r3 r2 ).
5.	Даны	векторы	a1 (3;1;2),	a2 (2;1;2),

a3 ( 1;2;5), d (5;0; 1) в некотором базисе. Показать, что век-

торы а1 , а2 , a3 образуют базис, и вычислить координаты вектора

d в этом базисе.

(Ответ: d = 2 a2 a3.) .

6. Даны три вектора: a1 (3; 1),

a2 (1; 2),

a3 ( 1;7) . Най-

ти разложение вектора р = а1 а2 а3 ).

(Ответ: р = 2 a2 3a3.) .

7. Даны векторы a1 (3; 2;1), a2 ( 1;1; 2), a3 (2;1; 3) .

Найти разложение вектора а = (11;-6;5) по базису а1 , а2 , а3 .

(Ответ: а = 2 а1 3 a2 a3.) .

8.На сторонах ОА и ОВ прямоугольника ОАСB отложены векторы

iи j . Точка М– середина ВС, N – середина АС. Выразить через i и j

векторы OA, AC, BO, OC, OM , ON, MN, если OA 3, OB 4.

(Ответ: OA 3i, AC 4 j, BO 4 j, OC 3i 4 j,

OM 3/ 2i 4 j, ON 3i 2 j, MN 3/ 2i 2 j .

2.2.2. Деление отрезка в данном отношении. Скалярное произведение векторов

1. Даны точки M1 (2;4; 2) и M2 2;4;2 . На прямой М1 М2

найти точку М, делящую отрезок М1 М2 в отношении = 3.

(Ответ: М (-1;4;1)).

2. Даны точки А(3;3;3) и В(-1;5;7). Найти координаты точек С и D, делящих отрезок АВ на три равные части.

(Ответ: С (5/3; 11/3; 13/3), D (1/3; 13/3; 17/3)).

<<< < Предыдущая 1 23 / 193 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]