Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по математике для студентов инженерных специальностей. В 2 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Решение.

2	1	4 4 0,	1	3	5 6 1.
4	2		2	5

Найден минор второго порядка, отличный от нуля. Вычислим окаймляющие его миноры третьего порядка:

1	3	2
2 5		1		40 3 4 10 1 48 0,
1	1	8
1	3	4
1	3	4
2 5		7	10 21 8 20 12 7 0,
1	1	2
2	1	3
2	1	3
4	2	5	4 10 12 12 4 10 0.
2	1	1

Так как не существует миноров третьего порядка, отличных от нуля, а окаймляющий минор второго порядка отличный от нуля, то rА = 2.

Пример 10. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

	1		2	3	1	2
A		4 1		1 2		3
							.
		5	8	11	7	12

Решение. Первую строку матрицы умножим на –4 и прибавим ко второй, затем умножим первую строку на –5 и прибавим к третьей строке:

1		2	3	1	2
	0	9	13	6	11
						.
	0	18	26	12	22

Затем вторую строку полученной матрицы умножим на –2 и при-

	1		2	3	1	2		1	2
бавим к третьей:		0	9	13	6		. Минор			9 0 .
						11		0	9
		0	0	0	0	0

Миноров третьего порядка, отличных от нуля, нет. Следовательно,

rA 2.

Пример 11. С помощью метода последовательных исключений Жордана – Гаусса решить вопрос о совместности данной системы и в случае совместности решить ее:

x1 2x2 3x3 4x4 0,
7x1 14x2 20x3 27x4 0,
7x1 14x2 20x3 27x4 0,
5x 10x 16x 19x 2,
1		2	3	4
3x 5x 6x 13x 5.
1	2	3		4

Решение. Составим расширенную матрицу В и проведем необходимые элементарные преобразования строк:

	1		2 3 4			0		1 2							3 4		0		S2	и S4 поменяем
								S	2	7S
		7	14	20 27		0				1	0		0		1	1	0
B																		местами,
	5		10 16 19			2 S3				5S1 0			0		1 1		2
		3	5 6 13			5	S4 3S1				0		1		3 1		5	S4 1 .

			1		2	3		4 0						1 2 3				4 0
				0	1	3	1			5					0	1 3		1		5
					0	1	1			S			S			0 1		1		.
			0							2		4		3 0						2
				0	0	1	1								0	0 0		2
										0										2

Система совместна, так как ранг исходной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен 4. Последней матрице соответствует система, эквивалентная исходной:

x1 2x2 3x3 4x4 0,

x2 3x3 x4 5,

x3 x4 2,2x4 2.

Двигаясь снизу вверх, последовательно находим:

x4 1,

x3 2 x4 1,

x2 5 x4 3x3 5 1 3 1, x1 2x2 3x3 4x4 2 3 4 1.

Итак, система совместна, ее решение единственное:

r n 4 :

x1 1,

x2 1,

x3 1,

x4 1.

Пример 12. Решить произвольную систему линейных уравнений

x1 2x2 3x3 x4 2,
4x1 x2 x3 2x4 3,
4x1 x2 x3 2x4 3,

5x1 8x2 11x3 7x4 12.

Решение. Составим расширенную матрицу данной системы и

найдем rA и r~ c помощью элементарных преобразований:

	1		2	3 1	2	1		2	3	1	2
A		4 1		1 2	3		0 9		13	6
											11
		5	8	11 7	12		0	0	0	0	0

(Промежуточные действия описаны в рассмотренном примере выше).

Минор	1	2	9 0	, отсюда r	r~	2 , т.е. система совме-
	0	9		A	A
	0	9

стна.

Исходная система равносильна следующей:

x1 2x2 3x3 x4 2,

9x2 13x3 6x4 11.

В качестве базисных неизвестных возьмем x1 , x2 . Тогда x3 , x4 –

свободные неизвестные. Перенося их в правую часть, получаем:

x1 2x2 2 3x3 x4 ,

9x2 11 13x3 6x4.

Находим решение полученной системы по формулам Крамера:

							x			1		2 x3 x4					2
							x
							1			9		11 13x3 6x4					9
										9		11 13x3 6x4					9
		1	22 26x3 12x4 18 27x3 9x4															1		x3 3x4 4 ,
			22 26x3 12x4 18 27x3 9x4																	x3 3x4 4 ,
	9																		9
				x2	1	1			2 x3 x4						1	11 13x3 6x4 .
					1				2 x3 x4						1
					9
					9	0 11 13x3 6x4								9
Пусть x3 C1,							x4	C2 , где C1,					C2 R . Тогда решениеимеет вид
1	C1							1			11 13C1			6C2						T
				3C2 4													C1		C2 ,		C1, C2 R
9				3C2 4				9									C1		C2 ,		C1, C2 R
9								9

Таким образом, исходная система имеет бесконечное множество решений.

Пример 13. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений. Записать фундаментальное и общее решение.

x1 2x2 4x3 3x4 0,

3x1 5x2 6x3 4x4 0,

4x1 5x2 2x3 3x4 0,

3x1 8x2 24x3 19x4 0.

Решение. Так как

	1	2	4	1	2	4
3	3	5	6	0	1	6	18 18 0,	rangA 2,	n 4.
	4	5	2	0	3	18

Система имеет бесчисленное множество решений.

В качестве базисного минора выберем M2												1	2	0.
В качестве базисного минора выберем M2												3	5	0.
												3	5
				x 2x 3x 4x ,
			1				2	4	3
			3x1 5x2 4x4 6x3. .
В качестве базисных неизвестных возьмем												x1	и x2 ; положим
x3 C1,	x4 C2 – свободные переменные.
Решим последнюю систему по формулам Крамера:
						1	2	5 6 1,
						1	2
						3	5
						3	5
		x			3C2 4C1			2		8C 7C ,
					3C2 4C1			2		8C 7C ,
					4C2 6C1			5			1	2
		1			4C2 6C1			5
		1

x			8C1 7C2		8C 7C				,
x					8C 7C				,
	1			1		1		2
				1
x		1		3C2 4C1			6C 5C			,
		1		3C2 4C1			6C 5C			,
		3		4C2 6C1				1	2
2		3		4C2 6C1
2

x2 6C1 5C2 6C1 5C2 .

Общее решение:

	8C1 7C2
x C1,C2	6C 5C
x C1,C2	1	2 .
	C1
	C1
	C2
	C2

Фундаментальное решение:
		8				7
		6					5
E1	x 1,0	6	,	E2 x 0,1			5		,
		1				0

		0					1
		0					1
					8		7
					6			5
x C1,C2 C1E1		C2E2		C1	6	C2		5		.
					1			0

					0			1
					0			1

1.2. Задания для практических занятий

1.2.1. Вычислить определители второго порядка:

a 1

b c

cos2 - sin2

2cos sin

a2 1

ab ac

2cos sin

cos2 - sin2

cosα

-sinα

a b

sinα

cosα

a b

1.2.2. Решить уравнения:

x2 4x 4

4sin x

0 .

2 x

x 2

cos x

1.2.3. Решить неравенства:

x2 7

x2 3

5 .

1.2.4. Вычислить определители третьего порядка:

	2	5	1			4	16	8			4	3	8
1.	8	4	2	.	2.	7	3	1	.	3.	5	9 4		.
	1 0		9			2	5	7			3	3	2

1.2.5. Решить уравнения:

	2	1	2			1	2	3
1.	3	5	3	0 .	2.	1	3 x	3	.
	1	6	x 5			1	2	5 x

1.2.6. Вычислить определители путем накопления нулей в строке или в столбце:

		1	1		4		1									1			2	3	4
	1.	2	1		3		0		.					2.		2			2	3	4
	1.	3	1		2		1		.					2.		3			3	3	4
		3	1		2		1									3			3	3	4
		4	1		1		0									4			4	4	4
		7		0			1				2						3		2		5		1
		7		0			1				2						3		2		5		1
		3		4			2				5	.					0		1		2	2		.
	3.	1		8			3			3		.		4.			3		1		3	1		.
		1		8			3			3							3		1		3	1
		0		2			1				3						7		2		5	4
1.2.7. Вычислить А					B и B A, если:
					2			3			5							1		0
	1. A				2			3			5			,	B			2		3 ;
	1. A					0		1						,	B			2		3 ;
						0		1			1
																			4
																			4	2
					8			1							3			5		4
	2. A					0		2			,		B		3			5		4
	2. A					0		2			,		B					1		2	;
						3		5							0			1		2
						3		5
					3
						1					B 2									8 .
	3. A					1		,			B 2				5 1					8 .
					4

						5
						5
1.2.8. Вычислить A B							C, B A C,								C B A, если это возможно
при:																		0		0	1
							1				1							0		0	1
	4						1				1								1	1	2
1.	4		,	B				2			2			,	C				1	1	2
1.	A		,	B				2			2			,	C					2		;
	1							1			1							2		2	3
								1			1								3	3	4
																			3	3	4

					3		2				2
2. A 2	5 1 ,					2	1		, C
2. A 2	5 1 ,			B		2	1		, C			1		;
						5						3
						5	1					3
2	, B	1		2			C 5			8 1			3 .
3. A	, B		3	4	,		C 5			8 1			3 .
5			3	4
1.2.9. Вычислить 2A2 – 3AB + 2B2 , если:
	A	2	5		B		2		1
	A		1	,	B			4	3	.
		0	1					4	3
1.2.10. Вычислить 3A2 – 2AB + 2B, если:
	2		3	,			3		2
A		0		,	B			5		.
		0	1					5	1
1.2.11. Вычислить 2A2 – 3A + 14, если:
			8		9		0
		A		1	1		2
		A		1	1		2	.
				1	1		3
				1	1		3
1.2.12. Вычислить 7A2 – 2AE +3E, если:
			4		1		0
		A		2	1		2
		A		2	1		2	.
				1	0		1
				1	0		1

1.2.13. Найти обратную матрицу для матриц и доказать, что

A A-1 = E:

					2		7 3				2			5		7
						3 9 4						6 3				4
				1.		3 9 4		.		2.		6 3				4		.
						1 5 3						5		2		3
						1 5 3						5		2		3
					3 1			1				1				2		3
						1	4	2						2		3 4
				3.		1	4	2		.	4.			2		3 4			.
						3 5		6						2		4		6
						3 5		6						2		4		6
1.2.14. Решить невырожденные системы:
1.	2x 3x 1,						2.	3x x 4,							3.		x y 1,
1.			1	2			2.		1		2				3.
	3x1 5x2 4.							2x1 4x2 1.									x y 2.
	4x 2y z 12,											7x 5y 8z 9,
4.										5.
4.	x 2y z 7,									5.		x 3y 5z 5,

	y z 1.											3x y z 7.
	x1 3x2 x3 2,											2x1 2x2 x3 2,
6.				4x2	3x3		3,				7.				5x2 3x3 6,
6.	2x1			4x2	3x3		3,				7.	7x1			5x2 3x3 6,
				2x2	5x3		13.								2x2			x3 2.
	3x1			2x2	5x3		13.					2x1			2x2			x3 2.
	3x1 3x2				4x3		5x4 0,					3x1			5x2			3x3			2x4	12,
	5x			7x	8x		2x	25,				4x			2x			5x			3x	27,
8.		1		2		3	4	22,			9.			1		2		x		3	4
		4x 5x			7x		3x	22,					7x		8x			x		5x 40,
		1		2		3	4							1		2		3			4
	7x			8x	3x		4x	18.				6x			4x			5x			3x	41.
		1		2		3	4							1		2				3	4
1.2.15. Найти ранг матрицы:
	3 5 4						8	1 2							1		2 3 4 5
1.		3		5	3		7	1 2					2.			2	3 -1 0 2
1.		3		5	3		7	1 2			.		2.			2	3 -1 0 2						.
		1		5 10			22	1		2						2	0 1 3 2
		1		5 10			22	1		2						2	0 1 3 2

<<< < Предыдущая 12 / 192 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]