Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по математике для студентов инженерных специальностей. В 2 ч. Ч. 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

		1														x	1 2x x2									2 x 1 x								3
dx(x 1 x x2 1 x																x										2 x 1 x
dx(x 1 x x2 1 x
		0										2																	6
			2 x			3		1		1			1								x	3		2 x				3		2
								1		1	x) x x2										x									2		dx
					6						x) x x2													6								dx
					6		2		2										2					6					3
													0
	x	2		x	3	x	4		2 x			4		2				1		1			1		1		1				16		2			1
												4

															x
									24						x
	2 3 8								24			3						0	2 3 8 24 24 3 4
																																			.
																																			.

Пример 5. Переходя к цилиндрическим координатам, вычислить

zdxdydz , где V – область, ограниченная верхней частью конуса

x2 y2 z2 и плоскостью z 1.

z=1

D Y

Рис. 5

Решение. Построим область интегрирования V (рис. 5). Запишем данный тройной интеграл в цилиндрических координатах поформуле

f x, y, z dxdydz f r cos ;r sin ; z rd drdz

V V

120

получим:

zdxdydz zrd drdz

								V								V
		Вычислим, используя формулу
														β		r2				z2 , r
f r cos ,r sin , z rd drdz d																			rdr			f r cos ,r sin , z dz
V														α		r1				z1 , r
		В нашем			случае						0, 2 , r1( ) 0, r2 ( ) 1, z1( , r) r,
z	2	( , r) 1,		z2( , r) r2 sin2 r2 cos2															r2		z ( , r) r												(из урав-
	2			1																			1
нения конуса).
		Тогда
										2 π			1			1				2 π	1						z	2		1
										2 π			1			1				2 π	1							2		1
			zrd drdz									d rdr zdz d rdr																			r
			zrd drdz									d rdr zdz d rdr														2					r
			V						0				0			r			0		0
			V						0				0			r			0		0
		2 π	1			1	r	2				2π		1			r	3			2 π				r	2					r	4		1
		2 π	1					2				2π		1				3			2 π					2						4		1
			d rdr									d			r					dr	d													0
			d rdr									d								dr	d													0
		0	0		2 2							0		0 2 2							0			4					8
		0	0		2 2							0		0 2 2							0			4					8
					2 π				1			1		1		2 π			1			2π		π
					2 π				1			1		1		2 π			1			2π		π
				d												d						0					.
				d												d						0					.
					0				4			8		8		0			8					4
					0				4			8		8		0			8					4
		Пример 6. Вычислить										x2dxdydz								где V – шар, определяемый
												V
по формуле x2 y2							z2 r2 (рис. 6).
		Решение. Перейдя к сферическим координатам по формуле
								f x, y, z dxdydz
										V
		f r sin θcos ,r sinθsin ,r cosθ r 2 sinθdrd dθ
			V																														,

121

получим:

x 2dxdydz r 2 sin 2 θcos 2 θr 2 sinθdrd dθ

V V

r 4 sin 3 θcos2 drd dθ

r y

Рис. 6

Вычислим интеграл по формуле

f r sin θcos ,r sinθsin ,r cosθ r 2 sinθdrd dθ

β1

r2 , θ

d d

f r sin θcos ,r sinθsin ,r cosθ

r 2 sinθdr.

α1

r1 , θ

В нашем случае 0, 2 , 1

0, 1 , r1 0, r2

R. Тогда

2 π

r4 sin3 θcos2 drd dθ

d dθ r4 sin3 θcos2 dr

2 π

2π

d dθsin3

θcos2

cos2 sin2 θsinθdθ=

122

			2 π							R				5							π
		d								R						cos2			1 cos2								θ d(cosθ)
		d														cos2			1 cos2								θ d(cosθ)
			0									5								0
					2 π							R5															cos3				π
					2 π
		d																2
																	cos					cos									0
													5				cos					cos						3			0
2 π			0																													cos3 θ
			0
				R5																			cos3 π
d				R5								2											cos3 π
						cos								cos π													cosθ
						cos								cos π										3			cosθ						3
0			5																					3									3
2 π					R5								2						4					4 R5			2 π	1 cos 2
d							cos																											d
d							cos																	3		5			2					d
	0		5																3					3		5	0		2
			2								5				1											2 π		4	5
			2								5				1											2 π		4	5
								R												sin 2									πR			.
								R												sin 2								15	πR			.
			12												2											0		15
		Криволинейные интегралы первого рода
Пример 7.			Вычислить xy2dl ,																					где l			– отрезок прямой между
																	l
точками О (0; 0) и А (4; 3).																				l															y (x),
Решение.			Если						кривая											l		задана					уравнениями								y (x),
x a, b , то
																	b
		f x, y dl f x, x																									1 yx 2 dx								(3)
		l															a
Уравнение прямой ОА есть y																								3	x,		0 x 4.						Согласно фор-
Уравнение прямой ОА есть y																								4	x,		0 x 4.						Согласно фор-
муле (3)																								4
муле (3)

	2		4					3							2							3 2						45	4			3
xy		dl	x									x						1						dx						x			dx 45.
xy		dl	x					4				x						1						dx				64		x			dx 45.
l			0					4														4						64	0

123


Пример 8. Вычислить		dl		, где l – первый виток вин-
		2 y2
	l x		z2
товой линии x a cost,	y a sin t,		z bt .

Решение. Если пространственная кривая задана уравнениями

x x t ,	y y t ,	z z t , t1 t t2 , то
	t2
	t2		x t 2 y t 2 z t 2 dt
f x, y, z dl f x t , y t , z t			x t 2 y t 2 z t 2 dt
l	t1

Найдем

x2 y2 z2 a2 sin 2 t a2 cos2 t b2 t 2 a2 b2 t 2.

xt 2 yt 2 zt 2

Тогда

l x2 y2 z2

a2 b2 b2

asin t 2 acost 2 b2 a2 b2

2π

a2 b2

a2 b2 2π

2π

a2 b2

2πb

arctg

Криволинейные интегралы второго рода

Пример 9. Вычислить y2dx (x2 z)dy (x y z2 )dz , где

l – отрезок прямой в пространстве от точки А(1; 0; 2) до В(3; 1; 4). Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через А и В:

x 1	y 0	z 2		x 1		y		z 2
3 1	1 0	4 2
			2		1		2

124

или в параметрической форме x 2t 1, y t, z 2t 2 . При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1.

Если l задано функциями x x t , y y t , z z t , t , ,

то

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz

P x t , y t , z t x t Q x t , y t , z t y t

R x t , y t , z t z t dt.

Тогда находим:

y2dx x2 z dy x y z2 dz

2t2 2t 1 2 2t 2 2t 1 t 2t 2 2 2 dt

2t2 4t2 4t 1 2t 2 4t 2 2t 8t2 16t 8 dt

0
1	95
14t2 28t 13 dt	95	.
14t2 28t 13 dt	3	.
0	3

(2;3)

Пример 10. Вычислить (x 3y)dx (y 3x)dy .

(1;1)

(x1;y1)

Решение. Для вычисления интеграла P(x, y)dx Q(x, y)dy

(x0 ;y0 )

не зависящего от контура интегрирования (т.е. условие P Q

y x

выполнено), в качестве пути интегрирования следует выбрать ломаную, соединяющую точки (х0, у0) и (х1, у1), и параллельную осям ОХ и ОY (рис. 7). Найдем:

125

P x 3y 3,y y

Q y 3x 3.x x

Данный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выбираем в качестве пути интегрирования у = 1 на первом участке и х = 2 на втором участке.

Тогда

2,3								2
	x 3y dx y 3x dy x 3 1 dx 1 3x 0
1,1								1
3					2					3					2			2
3					2					3					2			2
2 3y 0 y 6 dy x 3 dx y 6 dy														x			3x
2 3y 0 y 6 dy x 3 dx y 6 dy																	3x
1					1					1			2					1
		y	2			3	1		9		1					1
			2			3
				6y		2 6		3		18		6 20					.
		2		6y		2 6	2	3		18		6 20					.
		2				1	2	2		2					2

0	1	X
	1	2

Рис. 7

126

Поверхностные интегралы первого рода

Пример 1. Вычислить (x 3y 2z)d , где – часть плоско-

сти 4x 3y 2z 4 0 , расположенной в первом октанте (рис. 8, где а – плоскость; б – ее проекция).

z=2-2x-3/2y

4/3

4x+3y-4=0

4/3

Рис. 8

Решение. Запишем уравнение плоскости в виде z 2 2 x

y .

Воспользуемся формулой

f x, y, z dσ f x, y,z x, y

dxdy

1 zx 2

zy 2

Найдем: zx 2, zy

Получим:

x 3y 2z dσ x 3y 2 2 2x

1 4

dxdy

4/ 3 1

4 3x 6y dxdy

4 3x 6y dy

127

									1									y			2			4			1 x
							29
																								3
										dx			4y 3xy 6
							2			dx			4y 3xy 6															0
							2		0										2
					1		16														16
			29		1		16			1 x			4x 1 x								16				1 x						2
																																dx
		2					3																3									dx
		2			0		3																3
								1 x				2				1 x			3								x	2						x	3
	29				16									16																						1


																						4								4
				3																		4								4
2				3					2				3				3									2						3					0
									8				4		16											2


						29														29											29
											2																						.
				2					3		2								2							9			9				.
				2					3				3		9				2							9			9
			8.2. Задания для практических занятий
								8.2.1. Двойной интеграл
Записать двойной интеграл															f x, y dx dy														в виде повторных,

взятых в различных порядках, если область D ограничена кривыми:


1.	y		9 x2 , x 1, x 3, y 0.
2.	y x3, y 2 x2, y 0, x 0.
3.	y		, x2 y2 2 x, y 0.
		x

4.	y	25 x2			,	2x y 10, y 0,		x 0.

5.	x	6 y2		,		y x, y
							3.

6. x y2 4, x y 2.

7. y x2 4 x 3, x y 3, 5y x 3 0.

128

x dx dy (x2 y2 ) , переходя к полярным коор-

8. Вычислить xy2dxdy , если D ограничена кривыми x2 y2 4,

x y 2 , x 0 .

9. Вычислить (x2 y2 )dxdy , если область D определена нера-

D
венствами 0 x 2,	x / 2 y x / 2 .

10. Вычислить cos(x y)dxdy , если область D ограничена

прямыми y x, y , x 0 .

11.	Вычислить xeydxdy , если область D ограничена гипербо-
	D
лой y2 x2 1и прямыми x 1,					x 2, y 0.
12.	Вычислить	xy y2		dxdy ,	если область D – параллело-
	D
грамм с вершинами О(0; 0); А(2; 2), В(2; 10); С(0; 8).
13.	Вычислить dx dy		R2 x2 y2			, переходя к полярным ко-

ординатам, если область D ограничена окружностями x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 и прямыми y x, y 3 x (x 0, y 0) .

14. Вычислить

динатам, если область D ограничена окружностью x2 + y2 = 2, параболой y = x2 и осью OX (x 0) .

15. Вычислить x dx dy , переходя к полярным координатам, ес-

ли область D ограничена окружностью x2 + y2 = 2x и осью OX

(y 0).

16. Вычислить (x2 y2 ) dxdy , переходя к полярным коорди-

натам, если область D ограничена окружностями x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 4 и осью OY (x 0, y 0).

129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1913 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]