Сборник задач по математике для студентов инженерных специальностей. В 2 ч. Ч. 1

МинистерствообразованияРеспублики Беларусь БЕЛОРУССКИЙНАЦИОНАЛЬНЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра инженерной математики

Сборник задач по математике

для студентов инженерных специальностей

2частях

Ча с т ь 1

Минск 2005

УДК 501 517.9 519.62

Данное издание адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения занятий и практического изучения материала по дисциплине «Математика».

Часть 1 содержит теоретические сведения, набор задач и решение наиболее типичных примеров, изучаемых студентами инженерных специальностей 1-го курса приборостроительного и меха- нико-технологического факультетов.

Составители:

Р.В. Михнова, Л.В. Бокуть, Е.А. Глинская, Н.А. Кондратьева, Н.К. Прихач, С.В. Стрельцов, А.Н. Мелешко, О.Г. Вишневская.

Рецензенты:

В.Ф. Бубнов, И.Н. Мелешко

Михнова Р.В., Бокуть Л.В., Глинская Е.А. и др., составление, 2005

1.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1.Решение типовых задач

Определители второго и третьего порядков

Детерминантом матрицы В третьего порядка называется выражение det B:

=α1 β2γ3 -β3γ2 α2 β1γ3 -β3γ1 +α3 β1γ2 -β2γ1

Он найден с помощью теоремы о разложении определителя по элементам ряда.

Пример 2. Вычислить:

3

1 2 3 4 2 2 3 3

2 4 1 3 2 12 4 9 8 3 6

Определителем третьего порядка числовой матрицы В называется число

α1 α2 α3

det B β1 β2 β3 =α1β2 γ3 +α2β3γ1 +α3β1γ2 -α3β2 γ1 -α2β1γ3 -α1β3γ2 . γ1 γ2 γ3

Пример 3. Вычислить:

2 3 0 1 1 5 2 1 7 3 5 4 1 2 0 1 0 4 1 3 7 2 2 5 73

4 2 7

Пример 4. Вычислить определитель путём накопления нулей в строке или столбце.

Решение. Прибавим к первому столбцу третий, умноженный на

–2, ко второму – третий, умноженный на 5, и к четвёртому – третий, умноженный на –2:

4

Разложим полученный определитель по элементам первой строки:

Прибавив к первой строке последнего определителя вторую, умноженную на –2, получим:

3 0 0

D 1 1 3 .

2 1 0

Разложив по элементам третьего столбца, запишем:

Матрицы и операции над ними. Нахождение обратной матрицы

Операции сложения и вычитания вводятся только для матриц одинаковых размеров. Произведение матрицы А на матрицу В вводится только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. если А – матрица размеров m n, а В – размеров n k. Произведением АВ матрицы Аm n на матрицу Вn k называется матрица Сm k, элементы которой Сij находятся по формуле

n

Cij aiS bSj .

S 1

5

Выяснить, существуют ли произведения АВ и ВА, и если существуют, найти их.

Решение. Произведение АВ существует, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Произведение ВА также существует, так как число столбцов матрицы В равно числу строк матрицы А.

6

Невырожденные системы линейных уравнений. Матричный метод решения. Правило Крамера

Если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных уравнений, отличен от нуля, то система называется невырожденной. Невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера:

где j – определитель, полученный из определителя исходной сис-

темы заменой j-гостолбца столбцом из свободных членов системы. Решение невырожденной системы линейных уравнений можно

записать в матричном виде:

X A 1B ,

гдеА-1 – матрица, обратная матрицеА; В– столбец свободных членов. Пример 8. Дана система уравнений

2x1 3x2 7x3 16, 5x1 2x2 x3 16.

Решить её: а) матричным методом, б) по формулам Крамера.

8

т.е. x1 = 3, x2 = 1, x3 = -1;

9

По формулам Крамера имеем:

х1 = 6/2 = 3, х2 = 2/2 = 1, х3 = -2/2 = -1.

Вычисление ранга матриц. Решение произвольных линейных систем.

Однородные линейные системы

Рангом матрицы А (обозначается rА) называется наибольший порядок r отличных от нуля миноров матрицы А, а базисным минором – любой минор порядка r, отличный от нуля. Если в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка k , а все миноры порядка k + 1 равны нулю, то ранг матрицы А равен k.

Для нахождения ранга матрицы А применяют метод окаймляющих миноров. Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы. Любую матрицу можно привести к виду, когда каждый её ряд будет состоять только из нулей или из нулей и одной единицы. Тогда число оставшихся единиц и определит ранг исходной матрицы, так как полученная матрица будет эквивалентна исходной.

Пример 9. Найти рангматрицыА методом окаймляющих миноров:

10