Сборник задач к практическим занятиям по темам Кратные интегралы, Криволинейные и поверхностные интегралы, Векторный анализ, Ряды Фурье для студентов инженерно-технических вузов всех форм обучения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x 2 y 2 z 2 в точке М(2; 3; 2). (Ответ.cos

Задача 6. В каких точках плоскости хОу градиент поля U x2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

497.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

		Задача 2. Вычислить интеграл (z 2x 4 y)ds , где Q часть плоскости
	x		y		z	S	3
	x		y		z	1, (x 0, y 0, z 0). (Ответ: 4	61 ).
2						1, (x 0, y 0, z 0). (Ответ: 4	61 ).
2		3		4
		Задача 3. Вычислить интеграл xds , где S поверхность сферы x2 y 2 z 2						4,
						S
заключенная в первом октанте. (Ответ:2 ).
		Задача 4. Вычислить интеграл (x2 y 2 )ds , где S часть конической поверх-
						S
ности z						x 2 y 2 , заключенная между плоскостями z 0, z 1. (Ответ:		2	).
ности z						x 2 y 2 , заключенная между плоскостями z 0, z 1. (Ответ:			).
							2
		Задача 5. Вычислить интеграл ds , где S парболоид, вырезанный цилиндром
						S
						3
	x	2 y 2 a 2 . (Ответ: ((1 4a 2 ) 2 1)).
						6

8. Поверхностные интегралы II рода

Рассмотрим двухстороннюю поверхность и выберем на ней определенную сторону S. Если Dxy проекция поверхности S заданной уравнением z f (x, y) на

плоскость Oxy ,то

R(x, y, z)dxdy R(x, yf (x, y))dxdy ,

Dxy

где знак + берется в том случае , когда на выбранной стороне поверхности cos 0, а знак - берется в случае, когда cos 0, где угол между нормалью

к поверхности и положительным направлением оси Oz.

Аналогично , если Dxy проекция поверхности S, заданной уравнением

y (x, z) , то Q(x, y, z)dxdz Q(x, (x, z), z)dxdz ,

S Dxz

где знак в формуле определяется по знаку cos , где угол между нормалью к

поверхности и положительным направлением оси Oy.

Если Dxy проекция поверхности S, заданной уравнением x ( y, z) , то

P(x, y, z)dydz P( ( y, z), y, z)dydz ,

S Dyz

где знак определяется по знаку cos , где угол между нормалью к поверхнос-

ти и положительным направлением оси Ox.

Для вычисления поверхностного интеграла II рода более общего вида

P(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dxdz R(x, y, z)dxdy

используются те же формулы.
Пример. Вычислить 4 x2	y 2 dxdy ,
S
где S нижняя сторона круга x2		y 2 a2 .

Решение. Поверхность S совпадает со своей проекцией Dxy на плоскость Oxy . Поэтому

		2	a	3	4
4	x2 y2 dxdy 4	x2 y2 dxdy d r 2 dr			4	a5 .
S	Dxy	0	0		5
S	Dxy	0	0

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Вычислить yzdydz xzdxdz xydxdy , где Q	верхняя сторона
Q
треугольника, образованного плоскостями x y z 2; x 0; y 0; z 0 .
(Ответ: 2).

	Задача 2. Вычислить x2 dydz , где Q внешняя часть поверхности параболои-
	Q
да	z 5 (x 2 y 2 ) , ограниченного плоскостями x 0, y 0, z 5 и удовлетворяю-
	4
щего условиям x 0, y 0 z 5.(Ответ: 32 ).
	3
	Задача 3. Вычислить интеграл x2 dydz , где Q внешняя часть сферической
	Q
поверхности x2 y 2 z 2 R2 ,ограниченной плоскостями				x 0; y 0; z 0 и
удовлетворяющая условиям x 0, y 0, z 0.(Ответ:		R 4	).
удовлетворяющая условиям x 0, y 0, z 0.(Ответ:		8	).
		8

Геометрические приложения двойных, тройных, криволинейных и поверхностных интегралов.

Площадь S плоской области D :

S dxdy

в полярных координатах.

S rdrd

Объем V:

V dxdydz

в сферических координатах

V r 2 sin drd d

в цилиндрических координатах

V rdrd dz

Длина l дуги L

l dl

Площадь Q поверхности S

Q ds

Задачи для самостоятельного решения

Задача

Вычислить площадь фигуры D,

ограниченной кривыми

y 4 x. (Ответ: 18).

Задача 2. Вычислить площадь фигуры D,

ограниченной кривыми

2x y 2 ,

x y 0.

(Ответ: 2 ).

Задача

ограниченной кривыми xy 1,

Вычислить

площадь фигуры

x y 2 , y 5.

(Ответ: 124

ln 5 ).

y 2 ax,

Задача 4. Вычислить площадь фигуры D,

ограниченной кривыми

x2 ay, (a 0) (Ответ:

5a 2

ограниченной кривыми x y 2

Задача 5. Вычислить площадь фигуры D,

x 5

y 2

, ( y 0). ( Ответ:8).

В задачах 6-9 требуется вычислить площадь фигуры D, перейдя к полярным координатам.

Задача 6. Вычислить площадь фигуры D, ограниченной кривой

r cos 3 .

(Ответ: 4 ).

Задача

Вычислить

площадь

фигуры

D, ограниченной

кривыми

r a(1 cos ), r a (вне кардиоиды).( Ответ: a 2 (2 4) ).

Задача 8. Вычислить площадь фигуры D, ограниченной кривыми x2

y 2

2x,

y 2 4x, y x, y 0.( Ответ:

3 ).

y 2

Задача 9. Вычислить площадь фигуры D, ограниченной кривыми

a 2

3x.( Ответ: ab ).

y 0, y

Задача 10. Вычислить объем тела V, ограниченного параболоидом

z 2a 2 x2

y 2 и плоскостью z =

0. (Ответ: a 4 ).

Задача 11. Вычислить объем тела V, ограниченного цилиндром

y 2 2x и плоскостями 2x – z = 0, 4x – z = 0.(Ответ: 2 ).

Задача 12. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями

x + y = R , x + y = z, z = 0.(Ответ:

Задача 13. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями z x, y 4,

x2 + y2 = 25, x 0, ( y 0, z 0). (Ответ: 118 ).

Задача 14. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями

x y 2, z x2

y 2 , (x 0, y 0, z 0) .(Ответ: 8/3).

Задача 15. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями

x y 2 , x 2y 2

1, z 1 y 2 , (z 0).(Ответ: 8/5).

Задача

16.

Вычислить

длину

дуги циклоиды

x t sin t, y 1 cos t ,

если

0 t . (Ответ: 4).

Задача 17. Вычислить длину витка винтовой линии x cos t, y sin t, z

3t ,

если 0 t 2

.(Ответ:8 ).

y ,если 0 y

Задача 18. Вычислить длину дуги кривой x sin

. (Ответ: 2).

Задача 19. Найти площадь части конуса z 2 2xy ,расположенного в первом

октанте между плоскостями x 2, y 4 .(Ответ: 16).
Задача 20. Найти площадь части сферы x2 y 2	z 2	R2 ,расположенной
внутри цилиндра x2 y 2 Rx . (Ответ: 2R2( - 2 )).

9. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

9.І. Скалярные и векторные поля

Область W Rn вместе с заданной в каждой ее точке М скалярной функцией U(M) называется скалярным полем (СП) U. Функцию U(M) называют потен-

циалом поля.

При n = 3 СП задается функцией вида U = U(x, y, z); при n = 2 U = U(x, y) и поле U называется плоским.

Пространственные (плоские) поля графически изображаются поверхностями (линиями) уровня, уравнения которых имеют вид:

U(x, y, z) = С, С = const, (U(x, y) = С, С = const).

Пусть n = 3, W R3, точка М(xo , yo , zo ) W , l l1i l2 j l3k - некоторый вектор. Тогда единичный вектор по направлению l :

cos i

cos j cos k ,

где

l 2

cos

Производная СП U в точке М по направлению l , обозначаемая U (lM ) , опре-

деляется соотношением:

U (lM ) U (xo cos , yo cos , zo cos ' 0

и характеризует скорость изменения функции U в направлении l .

Производная		U (M )	вычисляется по формуле:
Производная		l	вычисляется по формуле:
		l
	U (M )		U (M ) cos	U (M ) cos			U (M ) cos .
		l	x		y		z
Градиентом СП U в точке М называется вектор
		grad U (M ) U (M ) i			U (M )		U (M ) k	.
		grad U (M ) U (M ) i			U (M )	j	U (M ) k	.
			x		y		z

Связь между производной по направлению и градиентом выражается формулой:

U (lM ) (gradU (M ),lo ) gradU (M ) cos ,

где - угол между векторами grad U(M) и l .

Из последней формулы следует, что max	U (M )	gradU (M )	и достигается
Из последней формулы следует, что max	U (M )	gradU (M )	и достигается
	l
	l

при = 0, т.е. градиент направлен в сторону наибольшего возрастания потенциала U (по нормали к поверхности уровня в точке М), а модуль градиента равен максимальной скорости возрастания.

Область W Rn вместе с заданной в каждой ее точке М вектор-функцией a(M ) называется векторным полем (ВП) a .

При n = 3 ВП задается функцией вида:

a(M ) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

При n = 2: a(M ) P(x, y)i Q(x, y) j и ВП называется плоским.

Векторной линией поля a называется ориентированная линия, в каждой точке М которой вектор касательной l (M ) сонаправлен вектору поля a(M ) .

Уравнения семейства векторных линий пространственного поля a есть общее решение системы дифференциальных уравнений вида

dx	dy	dz
			.
P(x, y, z)	Q(x, y, z)	R(x, y, z)

Уравнения векторных линий плоского поля a определяются общим решением дифференциального уравнения:

	dx		dy
	P(x, y)		Q(x, y)

Задачи для решения в аудитории.

Пример 1. Найти поверхности уровня СП U = 2х2 + у2 + z2 + 4x – 4y + 6z и записать уравнение поверхности уровня, проходящей через точку М(-1; 1; -1).

Решение. Уравнения поверхностей уровня имеют вид

2х2 + у2 + z2 + 4x – 4y + 6z = С, С = const или 2(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = C +15.

Последнее уравнение при различных С > -15 определяет семейство эллипсои-

дов с центром в точке (-1; 2; -3) и полуосями a	C 15	, b c	C 15 .
	2
Поверхность уровня, проходящая через точку М(-1;1;-1), имеет уравнение
U (x, y, z) U (xo , yo , zo ) , т.е. 2х2 + у2 + z2 + 4x – 4y + 6z = 2 +1+1- 4 - 4-6= -10
или
2(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 3)2 = 5.

Пример 2. Для СП U = x2y + xz2 – 2z в точке М(1; 1; -1) определить: а) производную по направлению вектора l i 2 j k ; б) производную по направлению,

идущему от точки М к точке N(2;-1;2);в) производную по направлению, образующему с осями координат острые углы , , , причем = 60о , = 45о; г) про-

изводную по направлению вектора l 1, образующего с градиентом угол = 120о; д) скорость и направление наибольшего возрастания.

Решение. Поле U определено и дифференциремо в любой точке пространства

R3.

2xy z 2

x 2

2xz 2

Таким образом, grad U(M) = (3; 1; -4).

а) Имеем l

2 j k ,

1 4 1 6, lo

(gradU (M ), lo )

U					M		3
x					M		3
U			M 1 .
U
y
U					M		4
U
	z
						1			2				1
		l				1			2				1
								,			,				,
						6		,		6	,		6		,
		l				6				6			6
3				2				4				1		.
6			6					6						.
6			6					6					6


б) l		MN (2 1; 1 1;2 1) (1; 2;3),																				l	MN	14,

			l				1					2			3		U								3			2		12					11
lo			l				1					2			3		U			(gradU (M ), lo )					3			2		12					11
										,			,			,	l		M																	.
										,			,			,																				.
			l				14					14			14										14			14			14				14
																		1						2
в) По условию cos = cos 60o =																		1	, cos		= cos 45o =			2	, cos > 0. Отсюда
в) По условию cos = cos 60o =																		2	, cos		= cos 45o =			2	, cos > 0. Отсюда
																		2						2
											cos				1 cos2			cos2 1 1/ 4 1/ 2									1/ 2.
					U				M			U cos U cos									U cos 3			1 1			2	4	1			2 1		.
					U																						2		1			2 1
						l																				2			2
						l						x				y					z			2		2			2				2
г) U				M				gradU (M )						cos			9 1 16 cos120o							26 ( 1/ 2)						13		.



	l1																														2
	l1																														2
д) max					U		M				gradU (M )						26 .


					l
					l

Направление наибольшего возрастания поля U совпадает с направлением градиента, т.е.

	gradU (M )	1		3		1		4
lo
	gradU (M )		(3;1; 4)		;		;		.
		26		26		26		26

Пример 3. Найти векторную линию ВП a yi xj 3k , проходящую через

точку М(1; 0; 0).

Решение. Уравнения семейства векторных линий определяются системой диф-


ференциальных уравнений:		dx		dy	dz . Интегрируем:		dx	dy , xdx + ydy = 0,
		y					y
				x	3			x
x2 + y2 = С2 ; в параметрическом виде:						x = C1 cos t, y = C1 sin t. С учетом этого
1			C1 cos tdt
уравнение dy	dz примет вид:					dz dz 3dt z 3t C2 .

x	3			C1 cos t		3

Таким образом, х = С1 cos t, y = C1 sin t, z = 3t + C2 – параметрические уравнения векторных линий поля a (винтовые линии). Подставляем координаты точки

М: 1 = С1 cos t, 0 = C1 sin t, 0 = 3t + C2 С1 = 1, С2 = 0	х = cos t, y= sin t, z= 3t
- уравнения искомой линии.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Найти поверхности уровня СП U и уравнение поверхности уровня,

проходящей через точку М, если: а) U arcsin

M (1;0; 1/ 2);

x 2

y 2

б) U ln(x2 y 2 z 2 ),

M (1;1; 1);

в) U

M (1; 2; 3) . (Ответ: а) кону-

x 2

y 2

сы z sin C

y 2

/ 2;

z 1

x 2 y 2 ;

б)

сферыx2 y2 z2 ec ,

y 2 ); z 3

c R;

x2 y2

в) параболоиды вращения z c(x 2

(x2

y 2 )).

Задача 2.

U, точки

угол .

Пусть

заданы СП

N, направление

Определить в точке М: производную поля U по направлению l ; производную по-

ля U по направлению MN ; производную по направлению вектора l1 , образующе-

го с gradU (M ) угол ; скорость и направление наибольшего возрастания поля U

в точке М, если:

а) U xy 2 z yz 2

3z, M (0;1;2), N ( 2;3; 1), l

2k , 300 ;

б) U

, M (1; 2;3), N ( 2;1; 1),l

3k , 2250

;

в) U x y

3xyz,

M (1;2;0), N (1;0; 3),l

2k , 600.

(Ответ: а)

0; U

; U

7; max U

;

при l

б)

;

101

2786

; max

1393

;

при l

MN;

18 26

в)

16 ;

; max

при l

MN;

Задача 3. Найти производную СП U x2

y 2

z 2

в точке М(-3; 0; 4)

в направлении нормали к поверхности 2x 2

12x 5y 2 z 2

3z 58 0 ,

образующей острый угол с осью Оz. (Ответ: -4/5)

Задача 4. Вычислить координаты единичного вектора

, перпендикулярно-

го к поверхностям уровня СП U 2x 3y 6z 5 и образующего с осью Oz ту-

	2	;	3	;	6

пой угол. (Ответ. no	7		7		7	)

Задача 5. Найти угол между градиентами полейU1 x yz 2 xz,

а) перпендикулярен к оси Оу; б) параллелен прямой у = -х-1; в) перпендикулярен к прямой у =2х + 3. (Ответ: а) в точках прямой у = х/2; б) в точках прямой у = -х;

в) в точках оси Ох).

Задача 7. Найти уравнения векторных линий ВП:

б) a gradU , если U 1 (x 2 y 2 z 2 ) .

а) a (x y)i

xj xk ;

(Ответ. а) x2 y 2 z 2

C 2 ,

y z C ; б) у = С1х, z = C2x)).

Задача 8. Дано плоское

ВП а и точка М. Найти уравнения семейства

векторных линий и векторной линии, проходящей через точку М, если

а) a (3x y 2 )i

; М(1;1) ;

б) a x ln xi (2y ln x) j; М(e; 2) .

(Ответ: а) х = Су3 + у2, х = у2; б) у = Сln2x - lnx, y = 3ln2x – lnx).

9.2. Поток ВП. Дивергенция ВП. Теорема Остроградского. Вычисление потока.

Пусть в области W R3 заданы ВП a P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k

с непрерывно-дифференцируемыми функциями P, Q, R и некоторая ориентированная поверхность с единичным вектором нормали

n0 cos i cos j cos k .

Потоком ВП а через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл 2-го рода от вектор-функции а по поверхности :

П a (a, n0 )d .

Если – замкнутая поверхность, то ее считают положительно ориентированной при выборе внешней стороны этой поверхности, а поток записывают в виде:

П a (a, n0 )d .

Поток ВП является его суммарной характеристикой, описывающей поле а посредством помещенной в него поверхности. Например, для поля скоростей текущей жидкости поток равен объему жидкости, протекающей за единицу времени через поверхность .

Дивергенцией ВП а в точке М W , обозначаемой через diva(M ) , называет-

ся объемная плотность потока ВП а в этой точке:
diva(M ) lim	П (a)	,
diva(M ) lim	v	,
v 0	v
(Q M )

где v – объем, ограниченный замкнутой поверхностью , стягивающейся в пределе в точку М.

В декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле:

diva(M ) P(M ) Q(M ) R(M ) .

x y z

Если diva(M ) > 0, то говорят, что в точке М находится источник; если diva(M ) < 0, то в точке М находится сток. В случае diva(M ) = 0 в точке М нет ни источника, ни стока. Величина diva(M ) характеризует мощность источника

или стока.

Теорема Остроградского. Поток ВП а через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу по области V, ограниченной поверх-

ностью , от дивергенции ВП:

(a, n0 )d divadv .

Теорема Остроградского позволяет свести задачу вычисления потока ВП через замкнутую поверхность к вычислению тройного интеграла по области V, заключенной внутри .

В случае незамкнутой поверхности способы вычисления потока сводятся к известным способам вычисления поверхностных интегралов (см. соответствую-

щий раздел). В ряде случаев удобно использовать переход к поверхностному ин-

тегралу первого рода с последующим его вычислением.

Пусть, например, поверхность однозначно проектируется на плоскость хОу, и ее уравнение имеет вид: z = z(x, y). Тогда

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]