Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач к практическим занятиям по темам Кратные интегралы, Криволинейные и поверхностные интегралы, Векторный анализ, Ряды Фурье для студентов инженерно-технических вузов всех форм обучения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

497.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

4. Вычисление тройных интегралов в цилиндрических и сферических координатах

При переходе от декартовых координат х, y, z к цилиндрическим координатам

	Z	M(r, , z)
	Z

	0	y
x			Y
x		M
X		M
r, , z (см.рис.), cвязанными с х, y, z соотношениями				x r cos , y r sin , z z

формула преобразования тройного интеграла к цилиндрическим координатам имеет вид:

	2	r2	z2
f (x, y, z)dxdydz d rdr				f (r cos , r sin , z)dz
V	1	r1	z1

При переходе от декартовых координат х, y, z к сферическим координатам r, ,

M(r, , z)

		0	r	y
	x			Y
			M
	X
(см.рис.), связанными с х,y,z соотношениями x r sin cos , y r sin sin ,
z z cos формула	преобразования			тройного интеграла к сферическим
координатам имеет вид	2	2	r2

f (x, y, z)dxdydz d		sin d r 2		f (r sin cos , r sin sin , r cos )dr
V	1	1	r1

Задачи для решения в аудитории.

Пример 1. Вычислить интеграл ydv , где тело V ограничено поверхностями

y 0, y 2x x2 , z 0, z a.

Решение. Тело V представляет собой половину кругового цилиндра

		D	2	y
		x
(x 1)2	y 2	1, ограниченного сверху	плоскостью z a , а снизу плоскостью

z 0; его проекция D на плоскость OXY –это полуокружность с центром в точке (1; 0) и радиусом 1, имеющая в полярных координатах уравнение r 2 cos ,

причем изменяется от 0 до 2 .Следовательно, границы изменения переменных

для области V : 0 2 ;0 r 2 cos ;0 z a. Тогда, переходя к цилиндрическим координатам,

												a
												a

ydv 2 sin d				2 cos		a		2 sin d	2 cos			a 2 sin d					2 cos
ydv 2 sin d				r 2 dr dz				2 sin d	r 2 dr(z)			a 2 sin d					r 2 dr
V	0			0		0		0	0				0				0
			2 cos									0
												0



2		r 3			8	2	3			8a	cos4			2	2
a sin d						a cos		sin d								a.
a sin d		3			3	a cos		sin d		3		4			3	a.
0		3			3	0				3		4		0	3
0			0			0								0

Пример 2. Вычислить интеграл (z 2)dv, где тело V ограничено поверхнос-

тями x2 y2 z2 R12 , x2 y2 z2 R22; R2 R1; z 0.

Решение. Тело V ограничено двумя полусферами радиуса R1 и R2 и плоскостью z 0. Проекция тела на плоскость OXY представляет собой окружность радиуса R2. Таким образом пределы изменения переменных для тела V определяются

неравенствами					0		,0 2 , R						r R				2.	Тогда,	переходя			к сферическим
							2				1						2.
координатам							2
координатам
							R																			R2
			2			2		2				2			2			2		4	cos		2r	3
			2			2		2							2			2		4				3
(z 2)dv d sin d (r cos											2)r								r
(z 2)dv d sin d (r cos											2)r			dr d sin d							4		3
V			0			0	R								0			0			4		3			R
								1																		R
																									1

2	2	4			4				3		3		)
	R2			R1					2(R2	R1			)
d						cos sin									sin	d
d			4			cos sin				3					sin	d
0	0		4							3

			(R 4	R 4 ) sin 2							2(R3	R3 )
2			(R 4	R 4 ) sin 2					2		2(R3	R3 )				2
d			2		1						2		1	( cos )
d				4		2						3		( cos )
0				4		2		0				3				0

	4		4		3	3	)		2				4	4	2			3	3
R2		R1			2(R2	R1	)					R2		R1	2			3	3
										d 2							(R2		R1	) .
		8				3				d 2				8	3		(R2		R1	) .
		8				3				0				8	3

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1 - 5 требуется вычислить тройные интегралы, перейдя к цилиндрическим координатам.

Задача 1. Вычислить интеграл z 2 dv, где область V

ограничена поверх-

ноcтями x2 y 2 4, z 2, z 0 .(Ответ:

Задача 2. Вычислите интеграл (x2

y 2 z 2 )dv,

где область V ограничена

поверхностями x2 z 2 1, y 0, y 1. (Ответ:

Задача 3. Вычислите интеграл

zdv, где область

ограничена поверх-

ностями 4 z x 2 y 2 , z 0. (Ответ:

Задача 4. Вычислите интеграл

xzdxdydz , где область V ограничена поверх-

x 2

y 2

ностью

z 2(x2 y 2 ) ,плоскостями

z 18, y 0, y

отвечает условию

0 y

x .(Ответ: 81).

Задача 5. Вычислить интеграл

x2 y 2 dxdydz,

где область V ограничена

поверхностью x2 y 2 2x , плоскостями x z 2, z 0 и отвечает условию z 0. (Ответ: 12845 ).

В задачах 6 - 9 требуется вычислить тройной интеграл, перейдя к сферическим координатам.

Задача 6. Вычислить интеграл (x2 y 2 z 2 )dxdydz, где область V ограничена

		V
поверхностью	x2 y 2 z 2 9 ,плоскостями					x 0, y 0, z 0 и отвечает
условиям x 0, y 0, z 0. (Ответ:			243		).

		10
Задача 7. Вычислить интеграл ydxdydz,						где область V ограничена поверх-
		V
ностью y 2 x 2	z 2 , плоскостью y 2 и отвечает условию y > 0. (Ответ: 4 ).
Задача 8. Вычислить интеграл z				x 2 y 2 dxdydz,			где область V ограничена
		V
сферическими поверхностями		x2 y 2		z 2 1, x2 y 2			z 2 4 и удовлетворяю-
щая условию z > 0.( Ответ: 31		).
	5

Задача 9. Вычислить интеграл xdxdydz, где область V ограничена поверх-

	V
ностью x2 2( y 2	z 2 ) , плоскостями	x 0, x 4 и отвечает условию	0 x 4.
(Ответ: 32 ).

5.Криволинейный интеграл I рода

1.Если плоская кривая L задана в декартовых координатах уравнением L:

y = (x); x a, b], то dl =	1 ( (x))	2	dx , а f (P) f (x, y) f (x, (x)),
		2
тогда	b
	b
f (P)dl f (x, (x))				1 (		2	dx
f (P)dl f (x, (x))				1 (	(x))		dx

2.Если плоская кривая L задана уравнением L: x ( y), y [c, d], то

		d
	f (P)dl f ( ( y), y)				2	dy
	f (P)dl f ( ( y), y)			1 ( ( y))		dy
	L	c
3.Если кривая L задана параметрически на плоскости, т.е.
x x(t)			t1
L :	, t [t0 ,t1 ], то	f (P)dl f (x(t), y(t))				(xt )2 ( yt )2 dt .
y y(t)		L	t0

4. Если кривая L задана параметрически в пространстве , т.е.

x x(t)			t1
	, t1 , то		t1
		f (P)dl f (x(t), y(t), z(t))		(xt )2 ( yt )2 (zt )2 dt.
L : y y(t),t t0		f (P)dl f (x(t), y(t), z(t))		(xt )2 ( yt )2 (zt )2 dt.
		L	t0
z z(t)

5. Если кривая L задана в полярных координатах L: r r( ), , то


f (P)dl f (r, )			r	2			2	d .
f (P)dl f (r, )			r		(r )			d .
L
Задачи для решения в аудитории
Пример 1. Вычислить	интеграл		dl					, где L – отрезок прямой,
Пример 1. Вычислить	интеграл	x2	y2			4		, где L – отрезок прямой,
	L	x2	y2			4

соединяющей точки О(0, 0) и А(1, 2).

Решение. Нарисуем отрезок ОА и найдем уравнение L: y = 2x , x [0, 1].

Тогда y	2	и dl			2	dx , dl	1 2	2	dx ; dl 5dx .
Тогда y	2	и dl		1 ( y )		dx , dl	1 2		dx ; dl 5dx .
Ответ: ln		5 3	.
Ответ: ln		2	.
		2
Пример 2. Вычислить интеграл (x y)dl ,									где L контур треугольника АВС

с вершинами в точках A(1, 1) ,B(4, 1) ,C(3, 3) (см.рис.) y

3				C
2
1	A				B
1	A				B
						x
0	1	2	3	4		x
0	1	2	3	4

Решение. Разобьем контур треугольника АВС на отрезки АВ, ВС и СА. Тогда

(x y)dl	(x y)dl	(x y)dl	(x y)dl .
L	( AB)	( BC )	(CA)

Вычислим интеграл по отрезку АВ. Так как уравнение прямой АВ:

y 1; x [1,4], то dl	1 ( y )	2	dx dx , тогда
		2
			4			2		4	9
			4			2		4
				x						.

(x y)dl (x 1)dx					2		x		2
( AB)			1		2			1	2
( AB)			1					1

Вычислим интеграл по отрезку ВС. Подставив в уравнение прямой									y kx b
координаты	точек	В(4,1) и С(3,3), получим, что		уравнение				прямой ВС:
y 2x 9, при этом x меняется от 4 до 3 . Тогда dl				1 ( 2)2 dx				5dx и
	3		3			3x	2		3


(x y)dl (x ( 2x 9)) 5dl			5 (3x 9)dx

					5	2		9x
(BC)	4		4						4

	27	27 24 36	3 5	.
5	2		2

Вычислим интеграл по отрезку СА. Подставив в уравнение прямой y kx b координаты точек С(3,3) и А(1,1) , получим, что уравнение прямой СА: y = x; x

при этом меняется от 3 до 1. Тогда dl 2dx и (x y)dx (x x) 2dx 0.

			CА	3
Суммируя интегралы по отрезкам AB, BC и СА получим , что
		(x y)dl 9 3 5 .
		L	2
Ответ:	9 5	.
Ответ:	2	.	xydl , где L –
	2
Пример	3.Вычислить интеграл			часть винтовой линии

xacost; y a sin t; z bt;t 0, .

Решение. Имеем xt asint; yt acost; zt b .Тогда

(xt )2 ( yt )2 (zt )2 dt

a2 b2 dt и

a 2 b2 dt a 2

a 2 b2

xydl 4

a cos t a sin t

4 sin 2tdt

a 2

cos 2t

a 2

a 2 b2

cos 0)

(cos

Ответ:

a 2

a 2 b2 .

Пример 4. Вычислить интеграл

dl , где L – часть кривой

L cos

r 1 cos , 0, 2 .

Решение . Имеем

(1 cos )

( sin )

2 2 cos d

(r )

2(1 cos )d

2 2 cos2

2 cos .

Тогда 1

2 cos

. ( Ответ: .)

dl 2

2 d 2 02

L cos

cos

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Вычислить интеграл (x y)dl ,

где

L отрезок прямой между

точками О(0,0) и А(4,3).( Ответ: 5 ).

Задача 2. Вычислить интеграл

, где L – отрезок прямой, заключен-

ный между точками А(1, 2) и В(2, 4) . (Ответ:

Задача 3. Вычислить интеграл xydl ,где L – контур прямоугольника ABCD

с вершинами в точках А(0, 0); В(4, 0); С(4, 2); D(0, 2). (Ответ: 24).

Задача 4. Вычислить интеграл

dl,

где L – контур треугольника ABC с

вершинами в точках А(0, 0); В(2, 3); С(3, 1). (Ответ:

2ln 2 2

5 ).

Задача

5. Вычислить интеграл ydl ,

где L

– дуга

x sin y ,

(Ответ: 4

2 2 6 ).

интеграл xydl ,

Задача

Вычислить

где

– часть

окружности

x R cos t

, t

. (Ответ:

y R sin t

		x t	sin t	.
Задача 7. Вычислить интеграл ydl , где L – арка циклоиды				.
	L	y 1	cos t
(Ответ: 10	2 )
	3

Задача 8. Вычислить интеграл z 2 dl , где L – первый виток винтовой линии

x cos t

y sin t ,0 t 2 . (Ответ: 8 32 ).

z t

Задача 9. Вычислить интеграл rdl, где L – кривая, заданная уравнением

r 2sin ;0 . (Ответ: 8).

	Задача 10. Вычислить интеграл			2		1dl, где L – первый виток спирали
	Задача 10. Вычислить интеграл			2		1dl, где L – первый виток спирали
		16		L
		16	3
Архимеда r 2 . (Ответ: 33			+2 ).
	Задача 11. Вычислить интеграл e dl,					где L – дуга логарифмической спирали
			L
r 2e3 ,		; . (Ответ:	10(e2		2
r 2e3 ,		; . (Ответ:	10(e2	e	3	) ).

	3

6.Криволинейные интегралы II рода

1. Если плоская кривая L задана в декартовых координатах уравнением

	b

y (x), x [a,b], то P(x, y)dx Q(x, y)dy (P(x, (x)) Q(x, (x)) (x))dx
L	a

x x(t)

2. Если кривая L задана параметрическими уравнениями, т.е. L: y y(t) t [t1 , t2 ], то

P(x, y)dx Q(x, y)dl (P(x(t), y(t)) x (t) Q(x(t), y(t)) y (t))dt

L	t1
	Задачи для решения в аудитории

Пример1. Вычислить ydx xdy , где L дуга линии y x2						от A(0, 0) до
B(1, 1).	L
					1
	1	1	x	3		1 .

Решение. ydx xdy (x2		x 2x)dx x2 dx

L	0	0	3		0	3

Пример2. Вычислить ydx xdy , где L дуга циклоиды

x 2(t sin t)			L
x 2(t sin t)		,	t [0,2 ].
		,	t [0,2 ].
y 2(1 cos t)
			2
Решение. ydx xdy (2(1 cos t) (2 2 cos t) 2(t sin t) 2 sin t)dt
L			0
2						2	2	2
4 (1 2 cos t		cos2 t t sin t sin 2				t)dt 4(2 dt 2 cos tdt		t sin tdt).
0					0		0	0
Интегрируя третий интеграл по частям, получим
						2
ydx xdy 8t	02		8sin t	02 4t cos t		02 cos tdt 24 .


L					0
			Задачи для самостоятельного решения

Задача1. Вычислить y(x y)dx xdy где:

а) L отрезок прямой	y 2x от точки О(0, 0) до точки А(1, 2),
б) L дуга параболы	y 2 x от точки О(0, 0) до точки А(1, 2).

(Ответ:а) 1 ; б)-				8	).
(Ответ:а) 1 ; б)-			15		).
3			15
Задача2. Вычислить (x2						y 2 )dx (x2	y 2 )dy где L ломаная линия
					L
y	x	от точки А(-1,1) до точки В(2,2). (Ответ: 6).
y	x	от точки А(-1,1) до точки В(2,2). (Ответ: 6).

Задача3. Вычислить zdx xdy ydz , где L дуга кривой заданной пара-

		L
x t			91
		0 t 1.(Ответ:	91	).
метрически L : y t 2 ,		0 t 1.(Ответ:	60	).
	3		60
	3
z t

Задача4. Вычислить yzdx xzdy xydz , где L дуга кривой

x a cos t

L:y a sin t , 0 t 2 .(Ответ: 2 2 a 2 h ).

z ht

7. Вычисление поверхностного интеграла в декартовой системе координат

Если поверхность S задана уравнением z (x, y) , то

f (x, y, z)ds f (x, y, (x, y))

1 ( x )2

( y )2 dxdy , где Dxy

проекция по-

Dxy

верхности Q на плоскость Oxy.

Пример.

Вычислить

, где S

часть

плоскости x y z 1,

S (1 x z)

лежащая в первом октанте.

Решение. Проекцией S на плоскость Oxy является область Dxy (см.рис)

ограниченная линиями x 0, y 0, y 1 x .

y = 1 - x

Dxy

Сама поверхность задана уравнением z 1 x y , поэтому x

1, y 1;

1 ( x )2 ( y )2

3 . Тогда

3dxdy

(1 x z)2

(1 x (1 x y))2

Dxy

3dxdy

1 x

Dxy

(2 y)

2 y

1 x

x 1

3 ln

3 ln 2

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Вычислить интеграл zds , где S полусфера x2

y 2

z 2 9; (z 0).

(Ответ:27 ).

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]