Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач к практическим занятиям по темам Кратные интегралы, Криволинейные и поверхностные интегралы, Векторный анализ, Ряды Фурье для студентов инженерно-технических вузов всех форм обучения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

497.88 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство народного образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 2»

СБОРНИК ЗАДАЧ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

по темам «Кратные интегралы», «Криволинейные и поверхностные интегралы», «Векторный анализ», «Ряды Фурье»

(для студентов инженерно-технических вузов всех форм обучения)

М и н с к 2 0 0 3

УДК

В сборнике содержатся краткие теоретические сведения, примеры решения задач для самостоятельного решения по следующим разделам «Кратные интегралы», «Криволинейные и поверхностные интегралы», «Векторный анализ», «Ряды Фурье» для студентов инженерно-технических вузов всех форм обучения, а также для тех, кто самостоятельно изучает курс высшей математики.

Составители: доц. Емеличева Е.В., доц. Лошкарева С.Ю., ст.преп. Матюш Е.С. доц. Шавель Н.А.,

Рецензенты:

(с) Белорусский национальный

технический университет

1. Двойной интеграл в декартовых координатах и методы его вычисления.

Пусть D - плоская область. Назовем ее правильной в направлении ОХ (ОУ), если любая прямая параллельная оси ОХ(ОУ) пересекает границы области D не более двух раз.

		Y
			y = y2(x)		B
					B
				D
			N	D	M
					M
			A	y = y1 (x)

	0		a		b	X
				Рис.1		OY (см.рис.1), y y1 (x) и
				Рис.1
Пусть D – область правильная				в направлении
y y2 (x)	уравнения нижней (АМВ) и верхней (АNB) линии границы области
D, x a, b . В этом случае двойной интеграл выражается через двукратный инте-
грал по формуле				b	y2 (x)
				b	y2 (x)
		f (x, y)dxdy dx			f (x, y)dy.
		D		a	y1(x)

d	B
	x = x1(y)
	D
c	A x = x2 (y)
0	X

Рис.2

Аналогично, если область D правильная в направлении оси OX (см.рис.2), то

	d	x2	( y)
f (x, y)dxdy dy			f (x, y)dx.
D	c	x1( y)

Пример 1. Расставить пределы интегрирования в двойном интегралеf (x, y)dxdy, если область D ограничена линиями y x2 , x a, y 0(a 0) .

Решение. Построим область D.

a2 A

	y = x2	x = a
	D	x = a
	D	B
		B
0	a		X

	a	x2	a2	a
Тогда f (x, y)dxdy dx			f (x, y)dy dy f (x, y)dx .
D	0	0	0	y
				3	x2 1
Пример 2. Изменить пределы интегрирования в интеграле dx					f (x, y)dy.
				1	x 1 2 2

Решение. Проведем прямые x = 1, x = 3 и кривые у1 = -(x - 1)2 + 2 и y2 = x2 + 1 ,

область D (см.рис.).
Y


1 0		B
		y = x 2 + 1
2	A	K
2		K
			X
			X
-2	1	y = - (x -1 )2 + 2
		C
		C

Граница области АВ, заданная по условию как y2 = x2 + 1 может также описы-

ваться уравнением x		y 1. Граница области АС,	заданная уравнени-
ем y (x 1)2	2, может также описываться уравнением		x 1	2 y. Заметим,
1

что область D ограничена слева двумя кривыми, поэтому для изменения порядка

интегрирования следует её разбить прямой АК, параллельной оси ОХ на две области D1 и D2. Тогда

3	x2 1
dx	f (x, y)dy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy
1	(x 1)2 2	D		D1	D2
	2		3	10	3
	dy		f (x, y)dx dy f (x, y)dx.
	2	1 2 y		2	y 1

Пример3. Вычислить интеграл x2 ydxdy, если область D ограничена линиями

y = 0, y = 2x3, x + y = 3.

Решение. Проведим указанные линии; определяем область D и пределы изменений переменных x и y (cм.рис. ниже).

y = 2 x3

2 A

y + x = 3

Область D правильная в направлении оси ОХ, поэтому вначале надо интегрировать по х , а потом по у. Тогда двойной интеграл по области D выражается одним двукратным интегралом

		2	3 y							2			3 y						2					3 y				2		(3 y)3							y
			3 y										3 y											3 y
	2						2											2			x3

x		ydxdy dy x						ydx ydy x dx ydy
x		ydxdy dy x						ydx ydy x dx ydy														3				y	y						3			6		dy
D		0		y						0						y			0					3		y		0
D		0		y						0						y			0					3				0
			3											3											2
			3	2										3	2
				2											2
		2			2				3		y	4			y		2			9y	2	9y			3			3y	4		y	5		y	3	2			154
		2										4					2				2				3				4			5			3	2
		(9y 9y
						3y												)dy																						.
						3y				3					6			)dy		2			3					4		15				18					45	.
		0								3					6					2			3					4		15				18		0			45
		0																																		0

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1 - 6 расставьте пределы интегрирования в интеграле f (x, y)dxdy,

если :

Задача 1. D прямоугольник ABCD с вершинами А(-2, -1), В(-2, 3), С(5, 3), D(5, -1).

Задача 2. D		треугольник ABC с вершинами А(-3,1), В(3, 4), С(3,1).
Задача 3. D		треугольник, ограниченный прямыми 2y – x =0; 3y + 2x -7=0;
5y+x-14=0.
Задача 4. D область, ограниченная линиями xy = 4; x = 1; y = 1/2.
Задача 5. D область, ограниченная линиями y					27	; y	x2	; x 0.
Задача 5. D область, ограниченная линиями y				x	2 9	; y	2	; x 0.
				x	2 9		2
Задача 6. D область, ограниченная линиями x = y2 + 2y; x – y = 2.
Задача 7. Вычислить интеграл ln ydxdy,если область D ограничена линиями
			D
y e x ; y e; x 0. (Ответ: е ).
Задача 8. Вычислить интеграл (2x y 2 )dxdy, если					D трапеция АВСD с
			D
вершинами А(2; 0), В(1; 1), С(0; 1), D(0; 0). (Ответ: 1 11 ).
				12
Задача 9. Вычислите интеграл (x 2y )dxdy,где область							D ограничена ли-
			D
ниями y	x2	; y	x. (Ответ: 10 2 1,6 ).
ниями y	2	; y	x. (Ответ: 10 2 1,6 ).
	2

2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Если область D ограничена лучами , и кривыми		r r1 ( ), r r2 ( )
	r2 ( )
(см.рис.ниже), то f (x, y)dxdy d	f (r cos , r sin )rdr
D	r1 ( )

Полярные координаты r и связаны с прямоугольными координатами соотношениями x r cos , y r sin , очевидно , что r x 2 y 2 .

	y
		r = r2( )
		D
		r =r1( )
0			x

Задачи для решения в аудитории.

Пример1. Вычислить, перейдя к полярным координатам интеграл xdxdy , где

область D ограничена линией x2 y 2 2x .

Решение. Преобразуем к каноническому виду уравнение границы D x2 2x y2 0; x2 2x 1 y2 1 0;(x 1)2 y2 1.

Таким образом, область D – окружность с центром в точке (1,0) и радиусом 1.

								1						x
														x
								0	1

Выразим уравнение границы D в полярных координатах
	r2 cos2 r2 sin2 2r cos ;r2									2r cos ; т.к. r 0 , то r 2cos .
Для области D								;0 r 2cos .Поэтому
			2			2
			2cos									2cos														2cos
																										2cos

		2							2									2						3
		2							2						2			2						3
	xdxdy d			r cos rdr d cos									r		2	dr						r
	xdxdy d			r cos rdr d cos									r			dr			d cos				3
	D			0									0										3
		2							2									2								0
		2							2									2								0
										2
	16	2		16	2	1 cos 2				2	d		4		2
	3	cos4 d		3				2			d		3		(1 2 cos 2 cos2 2 )d
	3			3				2					3
		2			2										2

	4	2			1		cos 4				4	3				sin 2				sin 4
	4	2			1		cos 4		)d		4	3				sin 2				sin 4				2		2 .
		(1 2 cos 2			2			2	)d		3	2					2				8					2 .
	3				2			2			3	2					2				8
		2																							2
		2

Пример 2.Вычислить (x y)dxdy ,где область D – часть кольца, ограниченного

D			.
окружностями x2 + y2 = 1 и x2 + y2 = 9 и лучами 1		, 2	.
	6		3

Решение . Так как уравнение границ области D в полярных координатах


													3
r1 1,r2	3, 1		, 2				, то (x y)dxdy 3 d (r cos r sin )rdr
		6				3		D					1
												6	3



3			3	2			3					3		26	3
3							3					3			3
(cos sin )d r					dr					r					(cos sin )d
(cos sin )d r					dr		(cos sin )d				3			3	(cos sin )d
			1								3			3
6							6						1		6
6							6						1		6
						26					26
								sin cos	3				3.
								sin cos	3				3.
						3					3
						3					3
									6

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1-5 требуется, перейдя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы .

Задача 1.

Задача 2.

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5.

4 x2

tg(x2 y2 )dy . (Ответ:

cos

a2 x2

(2a2

(1 x2

y2 )dy . (Ответ:

a4 ) ).

3 x2

e ( x2 y2 ) dy . (Ответ: (1 e 3 )).

3 x2

25 x

tg5 ).

. (Ответ:

x 2

y 2

cos2 ( x 2

y 2 )

xydy

R 2

. (Ответ:

2 x

Задача 6. Вычислить интеграл					sin	x2 y 2
							dxdy , где область D ограничена
							dxdy , где область D ограничена
				D		x 2 y 2
линиями x2 y 2		2	; x2	y 2 2 . (Ответ: -2 ) .
линиями x2 y 2		4	; x2	y 2 2 . (Ответ: -2 ) .
		4			(1 xy)dxdy , где область D ограничена
Задача	7. Вычислить			интеграл	(1 xy)dxdy , где область D ограничена
					D
линией x2	y 2 2x. (Ответ: ).

Задача 8. Вычислить интеграл

dxdy

, где область D ограничена кривы-

2 2

миx2 y 2

1; x2 y 2 9. (Ответ: 2 ln3) .

Задача 9. Вычислить интеграл (4 x y)dxdy ,

где область D ограничена

кривой x2

y 2

8; (x 0; y 0). (Ответ: 8 -

32 2

) .

Задача

10.

Вычислить интеграл

arctg

dxdy ,

где область

ограничена

3 ).

кривыми x2 y 2 4x; x2 y 2 8x; x y; y

3x.(Ответ: ( 3

3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть область интегрирования V ограничена снизу поверхностью z z1 (x, y) , сверху поверхностью z z2 (x, y) , а с боков цилиндрической поверхностью с об-

разующими, параллельными оси Оz. Dxy проекция области V на плоскость Oxy. Область Dxy определена неравенствами a x b, y1 (x) y y2 (x) .

	z
	z = z2(x,y)
	z = z1(x,y)
0	y
a	y=y1(x)
b	Dxy y = y2(x)
x

Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле

f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz dx

y2 (x) z2	(x, y)
dy	f (x, y, z)dz .

y1 (x) z1 (x, y)

Задачи для решения в аудитории

Пример. Вычислить интеграл								(x y)dv , где тело V , ограничено плоскос-
									V
тямиx 1; y 0; z 0; y x; x y z 4 0 .
Решение. Для заданной области 0 z 4 x y;0 y x;0 x 1. Поэтому
							1				x	4 x y				1	x
(x y)dv (x y)dxdydz dx dy													(x y)dz			dx (x y)dy z					04 x y


V		V					0			0			0			0	0
1	x				1		x
dx (x y)(4 x y)dy dx (4x x2													2xy 4y y 2 )dy
0	0				0		0		x
1							y3					1						x	3


dx(4xy x 2 y xy 2 2y 2								)			(4x 2 x3 x3						2x 2			)dx
dx(4xy x 2 y xy 2 2y 2							3	)			(4x 2 x3 x3						2x 2	3		)dx
0							3		0			0						3
0						1			0			0
1 (	7 x3	6x2 )dx (	7	x4 2x3 )			2			7		17 .



0	3	12				0				12		12
0	3	12				0				12		12
			Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Вычислить интеграл (xz y 2 )dxdydz,																где область V параллеле-
										V
пипед: 1		x 2;0 y 1;1 z 2.(Ответ: 1 ).
													4
Задача 2. Вычислить интеграл (x y z)dxdydz , где область V ограничена
									V
плоскостью x y z a, (x 0; y										0; z 0).				(Ответ:	a 4		).
плоскостью x y z a, (x 0; y										0; z 0).				(Ответ:		8	).
Задача 3. Вычислить интеграл dxdydz																8
Задача 3. Вычислить интеграл dxdydz														, где область V ограничена плоскостя-
									V			y 3
ми y z 3; x 2; (x 0; y 0; z 0). (Ответ: 12ln2 - 6).
Задача		4. Вычислить			интеграл						(2 z)dxdydz ,					где область V ограничена
											V
поверхностью y x2 и плоскостями											y 1; z 0; z 2.( Ответ:8).
Задача 5. Вычислить интеграл										dxdydz, где область V ограничена поверх-
											V	4 x
ностью x2		4 y и плоскостямиx 0; z 0;2z x 4 0. (Ответ: 16 ).
																				3

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]