13.15. Выяснить, является ли векторное поле a(M )= (x + y)i + + (y + z) j + (x + z)k гармоническим.
Домашнее задание
13.16. Дано векторно-параметрическое уравнение движения точ-
ки |
M : |
r = r (t)= (2t2 +3)i −3t2 j + (4t2 −5)k . Вычислить скорость |
||||
|
|
|
и ускорение |
|
движения точки в момент времени t = 0,5 . |
|
|
ν |
|
ω |
|||
13.17. Записать каноническое уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к линии, заданной векторно-параметри-
ческим уравнением r = cos2 ti +sin2 tj +tgtk , в точке t = π4 .
13.18. Найти производную функцию z = x3 −3x2 y +3xy2 +1 в точке М(3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6, 5).
13.19.Дана функция z = x2 + y2 . Найти grad z в точке (3, 2).
13.20.Вычислить поток Π векторного поля a(M )= xi +3yj + 2zk через верхнюю часть плоскости x + y + z =1, расположенную в пер-
вом октанте.
13.21.Найти div(xyi + yzj + xzk ).
13.22.Выяснить, является ли векторное поле a(M )= yzi + xzj + xyk
потенциальным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13.23. Найти циркуляцию вектора a = −yi + xj + k вдоль окруж- |
|||||||||||||||
ности x2 + y2 =1, z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x −3 |
|
y −9 |
|
|
z −27 |
|
|
|
||
13.1. 12i |
+ |
2 |
j |
+k. |
13.2. |
|
= |
|
= |
|
|
, x + 6y + 27z − 786 = 0. |
|||
1 |
6 |
27 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
13.3. −11. |
13.4. |
2i |
+ 2k. 13.5. |
tgϕ =8, ϕ =83°. 13.6. Круговые пара- |
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
болоиды. 13.7. Гиперболы. 13.8. x2 = C y, |
z = C |
2 |
. 13.9. 0. 13.10. –1. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
13.11. −3i −3 j − k. 13.12. − 4π. 13.13. Да. 13.14. Нет. 13.15. Нет.
38
|
|
|
|
|
|
|
x −0,5 |
|
y −0,5 |
|
z −1 |
|
13.16. |
29, |
|
= |
= |
; x − y − 2z + 2 =0. |
|||||||
ν = |
ω = 2 29. 13.17. |
|
|
|
||||||||
−1 1 2
13.18.0. 13.19. 6i + 4 j. 13.20. 1. 13.21. x + y + z. 13.22. Да. 13.23. 2π .
З а н я т и е 1 4
Функция комплексной переменной. Предел. Производная. Условия Коши–Римана
Аудиторная работа
14.1. Описать области, заданные следующими соотношениями:
а. z − z0 < R.
б. 1 < z −i < 2.
Записать с помощью неравенств следующие открытые множества точек комплексной плоскости:
в. Первый квадрант.
г. Левая полуплоскость.
Найти действительную и мнимую части функции f (z):
д. f (z)= iz + 2z2.
е. f (z)= Re(z2 +i)+i Im(z2 −i).
Найти образы указанных точек при заданных отображениях:
ж. z0 =1 + i, ω= z2 + i .
з. z0 = |
|
1 + i |
, ω= (z − i)2. |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислить следующие пределы: |
|
|
|
|
|
||||||||
и. |
lim |
|
z2 − 4iz − 3 |
. |
|
к. |
lim |
cos z |
. |
|
|||
|
|
|
z − i |
|
|
|
|||||||
|
z→i |
|
|
|
|
|
z→0 ch i z |
|
|
||||
л. |
lim |
|
|
sini z |
|
. |
м. |
lim |
e2iz +1 |
. |
|||
|
|
|
|
|
eiz +i |
||||||||
|
z→πi ch z + ish z |
|
|
z→π |
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
39
14.2. Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае их выполнения найти f ′(z):
а. f (z)= e3z .
б. f (z)= sh z.
Проверить гармоничность приведенных ниже функций в указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее действительной или мнимой части:
а. u(x, y)= x3 − 3xy2 , 0 ≤ z < +∞.
б. V (x, y)= 2ex sin y, 0 ≤ z < +∞.
Домашнее задание
14.3.Описать область, заданную соотношением z − z0 > R.
14.4.Записать с помощью неравенства открытое множество точек комплексной плоскости – полосу, состоящую из точек, отстоя-
щих от мнимой оси на расстояние, меньшее трех.
Найти действительную и мнимую части функции f (z):
14.5. f (z)= 2i − z +iz2 .
14.6. f (z)= iz2 − z.
14.7. Вычислить |
lim |
z2 |
+ 3zi − 2 |
. |
|
z + i |
|||
|
z→−i |
|
|
14.8.Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае их выполнения найти f ′(z): f (z)= cos z.
14.9.Проверить гармоничность функции в указанной области и найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее
действительной части:
u(x, y)= 2xy + 3, 0 ≤ z < +∞.
40
Ответы
14.1. а. Внутренность круга с центром в точке z0 радиуса R. б. Внутренность кольца между окружностями радиусов 1 и 2 с цен-
тром |
в точке |
z0 = i. в. |
Re z > 0, |
Im z > 0. г. |
Re z < 0. |
||
д. u = y + 2x2 − 2y2 , v = x + 4xy. |
е. u = x2 − y2 , v = 2xy −1. |
ж. 3i. |
|||||
з. − |
i |
. |
и. − 2i. |
к. 1. л. ∞. |
м. 0. |
14.а2..3e3z . |
б. ch z. |
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
в. v(x, y)=3x2 y − y3 +C, f (z)= (x +iy)3 +Ci = z3 +Ci. г. u(x, y)= 2ex cos y +C, f (z)= 2ex (cos y +isin y)+C = 2ez +C. 14.3. Внешность круга ради-
уса R с центром в точке z0 . |
14.4. |
|
Re z |
|
< 3. 14.5. u(x, y)= −x − 2xy; |
|
|
||||
v(x, y)= 2 − y + x2 − y2. 14.6. |
u(x, y)= −x(1+ 2y);v(x, y)= x2 − y2 + y. |
||||
14.7. i . 14.8. (cos z)′ = −sin z. 14.9. ∆ u ≡ 0; v(x, y)= −x2 + y2 +c; |
|||||
f (z)= −i(x2 − y2 + 2xyi)+ 3 + ci = −iz2 + 3 + ci . |
|||||
З а н я т и е 1 5 |
|||||
Интеграл от функции комплексной переменной |
|||||
|
|
|
|
Аудиторная работа |
||||||||||
15.1. Вычислить интегралы по заданным контурам: |
||||||||||||||
а. |
∫Im zdz, l = |
{(x, y) |
|
|
|
y = 2x2 , 0 ≤ x ≤1}. |
||||||||
|
|
|||||||||||||
б. |
l∫Re(z + z2 )dz, l = |
|
|
|
{(x, y) |
|
y = 2x2 , 0 ≤ x ≤1}. |
|||||||
|
|
|
||||||||||||
|
∫l (z 2 − z)dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в. |
l = {z |
|
|
|
z |
|
=1, π ≤ arg z ≤ 2π}. |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г. ∫Im z2 Re z3dz, l = {(x, y) |
|
y = 3x2 , 0 ≤ x ≤1}. |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15.2. Применяя |
формулу ∫ f (η)dη = F(z2 )− F(z1 ), вычислить |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
||
интегралы:
41