З а н я т и е 1 2

Приложения криволинейных и поверхностных интегралов

Аудиторная работа

12.1. Найти длину дуги кривой:

а. y2 = x3 (от точки O(0, 0) до A(4, 8)).

б. первого витка винтовой линии x = acost, y = asint, z = bt.

в. ρ = a(1−cos ϕ).

12.2. Найти массу дуги кривой при заданной плотности:

а. y = ln x , заключенной между точками с абсциссами x = 3 и

x = 8 , если плотность дуги в каждой точке равна квадрату абс-

циссы этой точки.

б. четверти эллипса x = 2cost, y = sint , лежащей в первой чет-

верти, если линейная плотность в каждой ее точке равна произведению координат этой точки.

в. всей лемнискаты Бернулли ρ2 = a2 cos 2ϕ, если плотность в каждой ее точке выражается формулой µ = kρ, где k > 0 – коэффициент пропорциональности.

12.3.Вычислить координаты центра масс однородной дуги первого витка винтовой линии x = cost, y = sin t, z = 2t.

12.4.Вычислить момент инерции относительно начала координат отрезка прямой, заключенного между точками A(2, 0) и B(0,1),

если линейная плотность в каждой его точке равна 1.

34

12.5. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой:

а. x = a cost, y = bsin t.

б. x = a cos3 t, y = a sin3 t (астроида).

12.6. Вычислить работу силы F :

а. F = yi + (x + y)j при перемещении материальной точки из начала координат в точку (1,1) по параболе y = x2 .

б. F = (x + y)i − xj при перемещении материальной точки вдоль окружности x = 2cost, y = 2sin t по ходу часовой стрелки.

12.7. Применяя поверхностный интеграл первого рода, найти:

а. Площадь части поверхности 2x + 2y + z = 8 , заключенной

внутри цилиндра x2 + y2 =1.

б. Определить суммарный электрический заряд, распределенный на части поверхности двуполостного гиперболоида z2 = x2 + y2 +1,

1≤ z ≤ 2 , если плотность заряда в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки (δ = kz).

в. Найти координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки x + y + z =1 (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Домашнее задание

12.8.Найти длину дуги астроиды x = acos3 t, y = asin3 t.

12.9.Найти массу всей координаты ρ = a(1+ cos ϕ), если плот-

ность в каждой ее точке выражается формулой µ = k ρ , где k > 0 –

коэффициент пропорциональности.

12.10. Найти координаты центра тяжести дуги AB винтовой линии x = acost, y = asint, z = bt , если в каждой ее точке линейная

плотность пропорциональна аппликате этой точки; tA = 0, tB = π .

35

12.11.С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь области, ограниченной линиями y = x2 и y = x .

12.12.Вычислить работу силы F = (x − y)i + 2yj , при перемещении материальной точки из начала координат в точку (1,−3) по

параболе y = −3x2 .

12.13. Вычислить массу, распределенную на части конической поверхности x2 + y2 = z2 , расположенной между плоскостями z = 0 и

z = 2 , если плотность в каждой точке поверхности равна x2 + y2 .

12.12.10,5. 12.13. 1632 π.

За н я т и е 1 3

Элементы теории поля

Аудиторная работа

13.1. Найти значение производной вектор функции r = 4(t2 + t)i + arctg t j + ln(1 + t2 )k при t =1.

36

13.2. Записать канонические уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой r = ti +t2 j +t3k в точке t = 3.

13.3. Вычислить производную функции u = ln(3 − x2 )+ xy2 z в точке M1(1, 3, 2) по направлению к точке M 2 (0, 5, 0).

13.4.Найти gradu в точке M0 (1,1,1), если u = x2 yz − xy2z + xyz2 .

13.5.Найти наибольшую крутизну ϕ подъема поверхности

z= 5x2 −2xy + y2 в точке M0 (1,1,4).

13.6.Построить поверхности уровня скалярного поля, определя-

− 2xy2

13.14. Выяснить, является ли векторное поле a(M )= (yz − 2x)i +

+ (xz + zy)

37