Домашнее задание

10.4. Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

L

гаемая» в положительном направлении обхода. Результат проверить по формуле Грина.

10.5. Вычислить поверхностные интегралы второго рода:

а. ∫∫ ydxdz , где S – поверхность тетраэдра, ограниченного плос-

S

30

З а н я т и е 1 1

Приложения кратных интегралов

Аудиторная работа

11.1. При помощи двойного интеграла найти площадь области, ограниченной указанными линиями:

а. xy = 4 x + y = 5.

б. y = x, y = 2x, и x = 4.

в. ρ = cos ϕ, ρ = 2cos ϕ.

11.2. При помощи двойного интеграла найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

а. y = x2 , y =1, x + y + z = 4, z = 0.

б. x = 0, y = 0, z = 0, x = 4, y = 4 и z =1 + x2 + y2.

11.3.Вычислить площадь части поверхности конуса z = x2 + y2 , расположенной внутри цилиндра x2 + y2 = 4x.

11.4.Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной

линиями y2 = x, x = 3, если поверхностная плотность в каждой ее точке µ = x.

11.5. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной

линиями y = x2 , y2 = x , если плотность фигуры в каждой ее точке равна xy .

11.6. Вычислить моменты инерции относительно начала координат и осей координат пластины плотностью x2 y , лежащей в плоскости Oxy и ограниченной линиями y = x2 , y =1.

11.7. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

31

а. z = x2 + y2 , 2 − z = x2 + y2.

б. z = x2 , 3x + 2y =12, y = 0, z = 0.

б. x2 = 2y, y + z =1, 2y + z = 2 , если в каждой точке тела объемная плотность численно равна ординате этой точки.

11.9. Найти координаты центра масс части однородного шара радиусом R с центром в начале координат, расположенной выше плоскости Oxy .

11.10. Вычислить момент инерции относительно плоскости Oyz тела, ограниченного плоскостями x + 2y − z = 2, x = 0, y = 0, z = 0 , если его плотность δ(x, y, z)= x.

Домашнее задание

11.11. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями y2 = 4x, x + y = 3, y ≥ 0.

11.12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 , x + y =1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

11.13.Вычислить площадь части плоскости 6x +3y + 2z =12 , которая расположена в первом октанте.

11.14.Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату ее

расстояния до центра кольца.

32

11.15.Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями y2 = x, y = x.

11.16.Вычислить моменты инерции относительно начала координат и осей координат фигуры плотностью µ(x, y)=1, ограничен-

ной линиями x + y = 2, x = 2, y = 2.

11.17. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного цилиндром x = y2 и плоскостями x + z =1, z = 0.

задается формулой δ = x + y + z .

11.19.Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область, ограниченную поверхностями z = 2x2 + y2 , z =8.

11.20.Вычислить момент инерции относительно оси OZ однородного тела, занимающего область, ограниченную поверхностями

33