a2 −x2 −y2

a

a2 −x2

∫dx

∫dy

∫zdz .

0

0

0

Ответы

π

1

2

π

π(5

5 −1)≈ 21,232.

8.1.

а.

.

б.

2

ln 2 −

2

≈

0,303.

в.

2

3

8.2. а. 2π. б.

128π

.

в. 24π.

г.

π2

.

8.3. а.

π a2h2

. б.

π a

.

в.

π a

4

3

6

2

2

4

.

2

.

16π

.

π

.

π

a2

а. 0.

πa3

8.4. а.

6π a

б.

5

в.

8

8.5.

e

−1 .

8.6.

б.

.

6

4

а. ∫

dl

,

если L

–

отрезок прямой

y =

1 x − 2,

заключенный

L x − y

2

между точками A(0, − 2) и B(4, 0).

б. ∫ ydl,

где

L –

дуга параболы

y2 = x ,

отсеченная параболой

L

y = x2 .

в. ∫

dl,

если

L

– первая

арка

циклоиды

x = a(t − sint),

2y

L

y = a(1 − cost), a > 0.

г. ∫xyz dl

если L – отрезок прямой между точками А(1, 0, 1) и

L

В(2, 2, 3).

б. ∫(x2 + y2 + z2 )dl ,

где

L

–

дуга

кривой x = cost, y = sin t,

L

z =

3

t, 0 ≤ t ≤ 2π.

9.4. Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

а. ∫∫(6x + 4y +3z)dS,

где S

–

часть плоскости

x + 2y +3z = 6 ,

S

расположенная в первом октанте.

б. ∫∫

x2 + y2

dS,

если

S

–

часть

поверхности

конуса

S

x2

+

y2

=

z2

,

расположенная между плоскостями z = 0

и z = 3.

16

16

9

Ответы

1

(5

−1).

1

9.1.

а.

ln 2. б.

в. 4πa

. г. 12.

д.

е.

.

5

5

a

2.

12

2

5 .

2

π

24

+ 4 π.

9.2.

а.

3

.

б.

в.

2

.

г. 0.

д. 4π.

е.

3

120

3

2

15

3 +

4π(1+ 4π2 ). 9.4. а. 54

. б. 160π .

9.3. а.

ln

5

. б.

14

2

3

З а н я т и е 1 0

Вычисление криволинейных и поверхностных

интегралов второго рода

Аудиторная работа

10.1. Вычислить данные криволинейные интегралы второго рода:

а.

∫

(x2 + y2 )dx + 2xydy,

где

LOA

– дуга кубической параболы

LOA

y = x3

от точки O(0, 0) до точки A(1,1).

б.

∫(xy −1)dx + x2 ydy

от точки

A(1; 0)

до точки

B(0; 2)

по пря-

L

мой 2x + y = 2 .

в.

∫(xy −1)dx + x2 ydy , где LAB – дуга эллипса x = cos t ,

y = 2sin t

L

от точки A(1; 0) до точки B(0;2).

г. ∫(x + 2y)dx +(x − y)dy , L

– окружность x = 2cost ,

y = 2sin t

L

при положительном направлении обхода.

д.

∫xdx + ydy + (x + y −1)dz , где

LAB – отрезок прямой, соеди-

LAB

няющий точки A(1,1,1) и B(2, 3, 4).

е.

∫2xydx + y2dy + z2dz , где LAB

– дуга одного витка винтовой

LAB

A(1, 0, 0); B(1, 0, 4π).

линии x = cost, y = sin t, z = 2t;

лежащей в первом октанте.

в. ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy ,

где

S

–

верхняя часть поверхности

S

x + 2y + z −6 = 0 , расположенная в первом октанте.

е. ∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy ,

где

S

–

внешняя сторона цилиндра

S