Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 295 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

7.5. Вычислить	∫∫∫x2 y2 z dx dy dz ,			если область V	определяется
	V
неравенствами 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ xy.
7.6. Вычислить	∫∫∫V	dxdydz	,	если область V	ограничена
		(1+ x + y + z)3

плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z =1.

Домашнее задание

7.7. Вычислить повторные интегралы:

а. 2∫dx3∫(x2 + 2xy)dy.

в. c∫dzb∫dya∫(x2 + y2 + z2 )dx.

0 0 0

	1	y			x
	1	y
б.	∫dy∫e y dx.
	0	0
	1					2−2x
г.	1		x			2−2x
г.	∫dx	∫		ydy		∫dz.
	0	0				1−x

7.8. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла ∫∫ f (x, y)dxdy , если известно, что область

интегрирования D является треугольной областью с вершинами в точках О (0,0), А (1,3), В (1,5).

4 4

7.9.Изменить порядок интегрирования ∫dy∫ f (x, y)dx.

2 y

7.10. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

а. ∫∫(x + 2y)dxdy; x = 0; y = 2; x = y2.

б. ∫∫xdxdy; y = x2 , y = 2x.

7.11. Вычислить ∫∫∫xz2dxdydz , если область V ограничена по-

верхностями y = 0, y = 2, x = 2, x = 2y − y2 , z = 0, z = 3.

Ответы	14 .							26								40
7.1. а.						б.		26		.					в.	40	.	г.
7.1. а.						б.	105			.					в.	3	.	г.
	3						105									3
	4			y										2	3		6	3
7.2. а.	∫dy		∫ f (x, y)dx.										б.	∫dx∫ f (x,			y)dy + ∫dx ∫		f
	0		−		y									0	1		2	x
в. Параболический цилиндр.																		2
в. Параболический цилиндр.
1	3−x						2					y				3	3−y
1	3−x	f (x, y)dy					2					2	f (x,			3	3−y
г. ∫dx	∫	f (x, y)dy					= ∫dy					∫	f (x,	y)dx + ∫dy ∫ f (x, y)dx.
0	2x						0					0				2	0
7.3. а. 90.						б.			33		.				в.	1 .
7.3. а. 90.						б.	140				.				в.	1 .
							140									2

17285 .

(x, y)dy.

	6	12−2x 12−2x−3y
	6	3	4	f (x, y, z)dz.		1			1			5
7.4.	∫dx	∫dy	∫		7.5.		.	7.6.	2	ln 2	−	8	.
7.4.	∫dx	∫dy	∫		7.5.	100	.	7.6.		ln 2	−		.
	0	0	0			100

7.7. а. 26.			б.	e −1		.	в.	abc (a2	+b2		+c2 ).
7.7. а. 26.			б.			.	в.	abc (a2	+b2		+c2 ).
	1				2			3
г.		.	7.8.		1	5x	f (x, y)dy.	7.9.		4	x	f (x, y)dy.
					∫dx ∫					∫dx∫
					∫dx ∫					∫dx∫
12					0	3x				2	2
7.10. а. 11,2.			б.	4 .			7.11. 30.
				3

З а н я т и е 8

Вычисление кратных интегралов в криволинейных координатах

Аудиторная работа

8.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить следующие интегралы:

а.

3−x2

б.

1−x2

ln(1+ x2 + y2 )dy.

∫dx

∫

∫dx

∫

1+ x2

+ y2

−


	2		4−y2
в.	2		4−y2		1+ x2 + y2 dx.
в.	∫	dy ∫			1+ x2 + y2 dx.
	−2	−		4−y2

8.2. Преобразовать к полярным координатам, а затем вычислить двойной интеграл по указанной области D :

а.

∫∫

dxdy

; 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4.

x2 + y2

9 ≤ x2 + y2 ≤ 25.

б.

∫∫

x2 + y2 −9

dxdy;

в.

∫∫(x2 + y2 )dxdy;

область

ограничена окружностью

x2 + y2 = 4x

г.

∫∫arctg

dxdy;

D –

часть кольца, ограниченного линиями

x2 + y2 =1, x2 + y2 = 9, y =

y =

8.3. Вычислить тройной интеграл, перейдя к цилиндрическим координатам:

а. ∫∫∫zdxdydz; область V ограничена поверхностями, x2 + y2 = a2 ,

z = 0, z = h.

11−x2 a

б. ∫dx

∫dy ∫dz.

0−1−x2 0

в. ∫∫∫zdxdydz , область

ограничена поверхностями,

x2 + y2 = z2 , z = a.

8.4. Вычислить тройнойинтеграл с помощью сферических координат:

а. ∫∫∫				dxdydz			; область V – сферический слой между по-

			x2 + y2 + z2
	V		x2 + y2 + z2
верхностями x2 + y2						+ z2 = a2 , x2 + y2 + z2 = 4a2.
б.	∫∫∫	(x2 + y2 + z2 )dxdydz; V : x2 + y2 + z2 = 4,
	V
	x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

					1−x2 −y2
	1			1−x2
в.	1			1−x2				x2 + y2 + z2 dz.
в.	∫dx			∫dy	∫			x2 + y2 + z2 dz.
	0		0		0