4.4. а. ln(x +1)= ln 3 + 13 (x − 2)−181 (x − 2)2 + 811 (x − 2)3 −

З а н я т и е 5

Разложение функций в степенные ряды. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям

Аудиторная работа

5.1. Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности δ, воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

14

5.2. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

д. 1∫arctg x22 dx.

0

5.3. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать при первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

5.4. Методом последовательного дифференцирования найти пер-

вые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

а. y′′ = e y sin y′, y(π)=1, y′(π)= π2 , k = 3.

5.5. Найти частное решение дифференциального уравнения по методу неопределенных коэффициентов.

а. y′ − 2xy = 0, y(0)=1.

б. y′′ − xy′ + y −1 = 0, y(0)= y′(0)= 0.

15

Домашнее задание

5.6.Вычислить приближенно с точностью до 0,001 cos 2 .

5.7.Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью

до 0,001.

5.8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = 2cos x − xy2 , y(0)=1.

5.9. Методом последовательного дифференцирования найти первые 6 членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях:

y′′′ = yex − x(y′)2 , y(0)= y′(0)= y′′(0)=1.

5.10. Найти частное решение дифференциального уравнения по методу неопределенных коэффициентов:

y′ − y = 0, y(0)=1.

16

З а н я т и е 6

Разложение функций в ряд Фурье на интервале [−π;π], четных и нечетных функций

Аудиторная работа

6.1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2π ) функцию f (x), заданную на отрезке [−π;π]:

17