Домашнее задание
12.18. Найти законы распределения составляющих дискретной двумерной СВ, заданной законом распределения.
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
|
yi |
||||
|
|
|
||
y1 |
0,12 |
0,18 |
0,10 |
|
y2 |
0,10 |
0,11 |
0,39 |
12.19.Один раз подбрасывается игральная кость. СВ (X, Y): Х – индикатор четного числа выпавших очков (Х = 1, если выпало четное число очков, и Х = 0 в противном случае), Y – индикатор числа очков, кратного трем (Y = 1, если выпало число очков, кратное трем,
иY = 0 в противном случае). Описать закон распределения СВ (X, Y)
иее составляющих.
12.20.Найти дифференциальную функцию СВ (X, Y) по известной
интегральной функции F(x, y) = (1−e−2x ) (1−e−3y ) (x ≥ 0, y ≥ 0) .
12.21.Задана функция распределения двумерной СВ (X, Y) F(x, y) =
=(1− e−x ) (1− e−y ), x ≥ 0, y ≥ 0 . Найти вероятность того, что в ре-
зультате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно X < 2, Y < 4 .
12.22. Дифференциальная функция СВ (X, Y) |
|
C |
|
f (x, y) = |
|
. |
|
(4 + x2 ) (9 + y2 ) |
|||
Найти: а) величину С; б) интегральную функцию.
12.23. Двумерная СВ (X, Y) определена законом распределения
|
|
|
|
|
Y |
X |
-1 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1/12 |
1/2 |
1/12 |
2 |
|
1/12 |
1/6 |
1/12 |
Найти математические ожидания составляющих M(X), M(Y), условное математическое ожидание Мx(X/Y = 2), дисперсии составля-
ющих, корреляционный момент σxy , коэффициент корреляции rxy .
128
12.24. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид
0,5cos x, |
x |
− |
π, |
π |
, |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) = |
|
|
π |
|
π |
|
|
|
x |
, |
|
||||
0, |
− |
2 |
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Найти корреляционный момент СВ Х и Y=Х2.
Ответы
12.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
||
|
Pi |
0,26 |
|
0,38 |
|
0,36 |
||
12.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
||
|
Pi |
|
0,333 |
0,333 |
0,334 |
|
||
|
yi |
|
|
y1 |
|
y2 |
|||
|
Pi |
|
|
0,56 |
0,44 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
yi |
|
y1 |
|
y2 |
|
y3 |
|||
Pi |
|
0,250 |
|
0,346 |
|
0,404 |
|
||
12.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xi |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
xi |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
yi |
0 |
1 |
||||||||
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
0,94 |
0,02 |
|
|
|
|
Pi |
|
|
0,97 |
0,03 |
|
|
|
Pi |
0,96 |
0,04 |
|||||||||
1 |
|
|
0,03 |
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12.4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xi |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
xi |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
yi |
0 |
1 |
||||||||
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0,56 |
0,14 |
|
|
|
|
Pi |
|
0,8 |
0,2 |
|
|
|
|
Pi |
0,7 |
0,3 |
||||||||
1 |
|
|
|
0,24 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xi |
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
xi |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
yi |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|||
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0,49 |
|
Pi |
|
0,09 |
|
0,42 |
|
0,49 |
|
|
Pi |
|
0,49 |
|
0,42 |
|
0,09 |
||||||
1 |
|
0 |
0,42 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
0,09 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
129
12.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
0 |
1 |
|
xi |
0 |
1 |
|
yi |
0 |
1 |
yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,6 |
0,2 |
|
Pi |
0,75 |
0,25 |
|
Pi |
0,8 |
0,2 |
1 |
0,15 |
0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x− y |
, |
x |
> 0, y > 0 |
|
|
|||
12.7. |
e |
|
|
|
|||||
f (x, y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ 0, |
y ≤ 0. |
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
|
||||
12.8. |
f (x, y) = cos x cos y |
|
0 ≤ x ≤ |
π |
; 0 ≤ y ≤ |
π |
|||
|
2 |
2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12.9. 2. 12.10. А = 20. F(x, y) = |
|
1 |
arctg |
x |
|
1 1 |
arctg |
y |
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
. |
|||||||||||
π |
4 |
|
|
5 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 π |
|
|
|
||||||||
12.11. а) С = 0,5; б) 0,5(sin x +sin y −sin(x + y)) . 12.12. |
|
|
9 |
. |
|
||||||||||||||||||
16 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
12.13. |
|
|
(b −a)(d −c) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
f (x, y) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x > b, x < a, y > d, y < c. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
F(x, y) = |
(x −a)(y −c) |
; F(x, y) = F (x) F |
(y), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
(b −a)(d −c) |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0, |
|
|
x ≤ a; |
|
|
|
|
|
|
0, |
y ≤ c; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y −c |
|
|
|
|
|
|
|||||
где F1 |
(x) = |
|
|
, |
a < x < b; |
|
|
|
F2 (y) |
= |
|
|
|
|
, c < y < d; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
b −a |
|
x ≥ b. |
|
|
|
|
|
|
d −c |
y ≥ d . |
|
||||||||||
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.14. М(X) = 0,25, M(Y) = –0,1, Mx(X/Y = 1) = 4/3, D(X) = 6,1875, D(Y) = 0,39, σxy = 0,225, rxy = 0,145. 12.15. М(X) = 1/3, M(Y) = 1,
Mx(X/Y = 2) = 2/3, D(X) = 5/18, D(Y) = 1/2, σxy = 1/6, rxy = 0,447. 12.16. М(X) = π/4, M(Y) = π/4, D(X) = D(Y) = π2/16+π/2–2, σxy =
=π/2–1–π2/16. 12.17. М(X) = 1/5, M(Y) = 1/2, σxy = 1/2. 12.18.
xi |
x1 |
x2 |
x3 |
Pi |
0,22 |
0,29 |
0,49 |
yi |
y1 |
y2 |
Pi |
0,40 |
0,60 |
130
|
12.19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
xi |
|
0 |
|
1 |
|
|
yi |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1/3 |
|
|
1/3 |
|
Pi |
|
1/2 |
|
1/2 |
|
|
Pi |
|
|
2/3 |
|
|
1/3 |
|
|||
1 |
|
|
1/6 |
|
|
1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.20. 6e−(2x+3y) . 12.21. |
0,849. 12.22. а) |
6 |
; б) |
|
1 |
arctg |
x |
+ |
1 |
× |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
π2 |
|
π |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
1 |
arctg |
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
+ |
. 12.23. М(X) = 0, M(Y) = 2/3, Mx(X/Y = |
2) |
= 0, |
||||||||||||||||||
π |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
D(X) = 1/3, D(Y) = 8/9, σxy |
= 0, rxy |
= 0. 12.24. σxy |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
З а н я т и е 1 3
Закон больших чисел
Аудиторная работа
13.1. Неравенство Маркова.
а. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет.
б. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360 г?
в. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру не более 220 молодых специалистов.
г. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет не меньше 900.
д. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2 млн. у.е., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 у.е., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного банка?
13.2. Неравенство Чебышева.
а. Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить
131
вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним вечером, отклоняется от своего математического ожидания по абсолютной величине не менее чем на 200.
б. Оценить вероятность того, что отклонение любой СВ от ее математического ожидания по модулю будет меньше трех средних квадратических отклонений этой величины.
в. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.
г. При изготовлении конической поверхности детали в среднем 75 % деталей укладывается в поле допуска. Оценить вероятность того, что среди 2000 деталей в поле допуска окажутся от 1450 до 1550 деталей включительно.
д. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 100 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.
13.3. Теорема Чебышева.
а. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных 200 электроламп отличается от средней продолжительности горения во всей партии по абсолютной величине меньше, чем на 5 ч, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения любой лампы в каждом ящике меньше 7 ч.
б. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взяли на выборку по 1 м2 с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всемуполю не более чем на 0,25 ц.
в. Дисперсия каждой из 1000 независимых СВ X k (k =1, 2, ..., 1000)
равна 4. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по модулю не превзойдет 0,1.
г. Сколько раз нужно измерять данную величину, истинное значение которой равно т, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0,95,
132