Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

З а н я т и е 3

Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды

Аудиторная работа

3.1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

а.

в.

д.

∞ 2n n !				2n
n∑=1			x		.
n∑=1	(2n)!		x		.
∞
∑lnn x.
n=1
∞ n !
∑		.
∑		.
n=1xn

б.	∞	(x +8)3n
	∑				.
		n2
	n=1
	∞
			n
г.	∑			.

	n=1(x −2)n

3.2. Найти область равномерной сходимости следующих рядов:

а.	∞	cos nx	.	∞ sin nx		.
а.	∑	n3	.	б. ∑	n !	.
	n=1	n3		n=1	n !
в.	∞	cos nx	.
в.	∑	2n	.
	n=1	2n

3.3. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

а. ∞ xn .

n∑=1n2

в. ∑∞ 10n xn .

n=1 n

д. ∑∞ n ! xn.

n=1

∞ (x −2)n

ж. n∑=1 2n .

б.

г.

е.

з.

∞ (n +1)2 xn .

n∑=1 2n

∞ n ! xn

∑ nn .

n=1

∞ xn n∑=1nn .

∞ (x +8)n

∑ n2 .

n=1

и.

л.

∞ (x −1)n .

n∑=12n (n +3)

∞ (x −3)2n

n∑=1(n +1)ln(n +1).

∞	n 3
∞	n 3		n + 2	n
к. ∑	(−1)			(x −2) .
к. ∑	(−1)	n +1		(x −2) .
n=0		n +1

Домашнее задание

3.4. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

	∞	n		∞	x3n
а.	∑	(lg x) .	б.	∑		.
а.	∑	(lg x) .	б.	∑	8n	.
в.	n=1			n=1	8n
в.	∑	1 .
	∞

n=1n ! xn

3.5. Найти область сходимости следующих степенных рядов:

	∞	xn
а.	∑		.

	n=15n
в. ∑∞ n(n +1)xn.
	n=1	(x −1)n
	∞
д.	n∑=1			.
		2n ln(n +1)

б.

г.

е.

∑∞ 2n xn .

n=1 n

∞ (x −5)n

n∑=1 5n n2 .

∞ (x −2)n

n∑=1(2n −1) 2n .

Ответы

3.1.

а.

(−∞;+ ∞).

б.

[−9; −7]. в.

< x < e.

(−∞; + ∞).

(−∞;

д.

3.2.

а.

б. (−∞; + ∞).

в.

б. (− 2; 2).

г. (−e; e).

в.

−

;

д. 0. е.

з.

[−9; −7]. и.

[−1; 3). к.

(1; 3]. л.

(2; 4). 3.4. а.

в.

(− ∞; 0) (0; + ∞)

3.5. а. (−5;5).

б.

;

−

д. [−1;3). е. [0;4).

г. (− ∞;1) (3; + ∞).

+ ∞). 3.3. а. [−1;1].

(−∞; + ∞). ж. (0; 4).

1					(−2;2).
		;10	.	б.
	10

. в. (−1;1). г. [0;10].

З а н я т и е 4

Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

Аудиторная работа

4.1. В следующих задачах найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд функции f (x) по степеням x − x0 .

а.	f (x)= ex , x0 = −2.			б.	f (x)= cos x, x0 = π.
					2
в.	f (x)= shx, x0 =1.			г.	f (x)= cos2 x, x0 =	π.
		x				4
д.	f (x)=	x	, x0 =1.
д.	f (x)=	2 − x	, x0 =1.
		2 − x
4.2. В следующих задачах разложить функцию f (x)						в ряд Те й-

лора в окрестности указанной точки x0 . Найти область сходимости полученного ряда к этой функции.

а. f (x)=	1 , x0 = −2.			б. f (x)= ex , x0 =1.
	x
в. f (x)=	1	, x0 = −2 .		г. f (x)=	1		, x0 = −2.
в. f (x)=	x + 3	, x0 = −2 .		г. f (x)=	x2 − 4x + 3		, x0 = −2.
	x + 3				x2 − 4x + 3
д. f (x)=	1		, x0 = 3.
д. f (x)=	2x + 5		, x0 = 3.			f (x) в ряд Мак-
	2x + 5
4.3. В следующих задачах разложить функцию

лорена, используя разложения основных элементарных функций.
Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.
а.	f (x)= ln(1+ x).			б.	f (x)= cos5x.
		x
в.	f (x)= sin x2 .			г.	f (x)= sin2 x cos2 x.
д. f (x)= 3			.	е. f (x)=		3x −5	.
		8 + x				3x −5
		8 + x				x2 −4x +3
						x2 −4x +3
ж. f (x)= ln(2 + x).
				з.				2
				з.	f (x)= ln x + 1+ x				.

Домашнее задание

4.4. Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд функции f (x) по степеням x − x0 .

а.	f (x)= ln(x +1), x0			= 2.	б.	f (x)= sin2 x, x0	=	π.
		1						4
в.	f (x)=	1	, x0 =	2.
в.	f (x)=	x +1	, x0 =	2.
		x +1

4.5. Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора в окрестности указанной точки x 0 . Найти область сходимости полученного ряда к этой функции.

а.	f (x)= ln(5x + 3), x0	= −	2	.	б. f (x)=	1	, x0 = −3.
			5
						4 + x

4.6. Разложить функцию f (x) в ряд Маклорена, используя раз-

ложение основных элементарных функций. Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

а. f (x)= x2e2x.

б.

f (x)=

в.

f (x)= cos(x + α).

1− x

Ответы

4.1. а. ex = e−

(x +

2)+

(x + 2)

+.... .

π 3

π 5

π 7

б. cos x = − x

−

x −

−

x −

−...

в.

shx = sh1 + ch1(x −1)+

sh1

(x −1)2 + ch3!1(x −1)3 +...

г.

cos

π 5

+...

x =

−

x −

−

x −

д.

=1+ 2(x −1)+ 2(x −1)+ 2(x

−1)

+ 2(x −1)

+...

2 − x

4.2. а.

= − ∑

(x + 2)n

;

− 4 < x < 0.

n=0

2n+1

б.

= e 1+ (x −1)

−1)

+...

(x −1)

+... ,

x R.

в.

∑∞ (−1)n (x + 2)n , −3 < x < −1.

x +3

n=0

∞

г.

∑

−

(x + 2) , −5 < x <1.

x2 − 4x +3

6 3n

n=0

∞

2n−1

n−1

д.

= n∑=1

(x −3)

−

< x < 2 .

2x +5

11n

ln(1+ x)

n−1 xn−1

4.3. а.

−

−... + (−1)

+...,

−1 < x ≤1.

б.

∞

(−1)n 52n x2n

cos5x = ∑

< ∞.

(2n)!

n=0

x4n+2

в.

sin x2 = x2 −

x10

−... +

(−1)n

+...,

x R.

(2n +1)!

44 x4

42n x2n

г.

sin2 x cos2 x

x2 −

+... + (−1)n

+..., x R.

(2n)!

1 2

5 x

д.

3 8 + x

= 2 1 + 1

−

−... +

3 8

2! 8

3! 8

+ (−1)n 1 2 5 ... (n + 3)

+...,

−8 < x <8.

3x −

∞

е.

∑

−1−

<1.

x2 − 4x +3

3 3n

n=0

ж.

n−1

ln(2 + x)= ln 2 + 2 − 22 2 + 23 3 −... + (−1)

2n n +...,

− 2 < x ≤ 2.

<<< < Предыдущая 12 / 292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]