Домашнее задание
8.8. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в цель при одном выстреле из I, II, III орудия батареи равны соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по некоторой цели один раз. Случайная величина X – число попаданий в цель. Составить закон распределения СВ X, построить многоугольник распределения, найти функцию распределения и построить ее график.
8.9. Дана функция распределения
|
|
0 |
|
при |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
||||
|
F(x) |
|
|
|
|
при |
0 < x ≤1, |
|
|
|
|
||
|
= ax3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
при x >1. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти a, f(x), |
P(−∞ < X <1/ 2) , построить графики f(x), F(x). |
|||||||||||
|
8.10. Дана функция распределения |
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
при |
x <1, |
|
|
|
|
||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a |
|
при |
x ≥1. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти a, F(x), |
P(2 < X < 3) , построить графики f(x), F(x). |
|||||||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0,36 |
|
|
|
|
|
0,48 |
|
0,16 |
|
|
||
|
|
0, |
|
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 < x ≤1, |
|
|
|
|
|||
|
F(x) |
0,36, |
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
1 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
||||
|
|
0,84, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
1, |
|
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
0,001 |
|
|
|
|
0,009 |
|
|
0,09 |
0,9 |
|||
112
0, |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 < x ≤1, |
|
|
|
|
|
||
0,001, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
|
||
F(x) = 0,01, |
|
|
|
|
|
|||||
0,1, |
|
2 < x ≤ 3, |
|
|
|
|
|
|||
|
x ≥ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
0,294 |
|
|
0,448 |
|
|
0,222 |
|
0,036 |
||
0, |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 < x ≤1, |
|
|
|
|
|||
0,294, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 < x ≤ 2, |
|
|
|
|
|||
F(x) = 0,742, |
|
|
|
|
||||||
0,964, |
2 < x ≤ 3, |
|
|
|
|
|||||
|
x > 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
при |
x ≤ 5, |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8.4. a =1. |
|
|
|
, |
при |
5 < x ≤10, |
P(4 < X < 6) = 0,2 . |
|||
f (x) = |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
при |
x >10. |
|
|
||
|
|
|
0, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.5.a = 12 .
8.6.a = 32 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0, |
|
|
|
π |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
< x ≤ |
, |
|
|
||||
f (x) = sin 2x, |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x > |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
0, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x < − |
π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
(sin3x +1), |
− |
≤ x ≤ |
, |
|||||||||
F(x) = |
2 |
6 |
6 |
||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x > |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < X < |
π |
= |
1 |
. |
|
P |
4 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
||
|
0 < X < |
π |
= |
1 |
. |
|
P |
4 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
||
113
|
|
|
0, |
x ≤ 0, |
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
8.7. a = |
. |
|
(1− cos x), 0 < x ≤ π, |
|||
2 |
F(x) = |
2 |
||||
|
|
|
|
x > π. |
||
|
|
|
1, |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
8.9. 1; 1/8. 8.10. 1; 1/6.
З а н я т и е 9
Математическое ожидание и дисперсия
Аудиторная работа
9.1. Дискретная СВ X задана рядом распределения. Найти числовые характеристики M(X), D(X), σ(X ) .
|
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
2 |
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
Pi |
|
0,1 |
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
3 |
|
5 |
7 |
9 |
|
|||||
|
|
Pi |
0,2 |
|
0,1 |
0,4 |
|
|
|
||||
|
в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
0,1 |
|
2 |
10 |
20 |
|
||||
|
|
Pi |
|
0,4 |
|
0,2 |
0,15 |
|
|
|
|||
9.2. По мишени производится три выстрела, вероятности попадания при каждом выстреле равны соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий при трех выстрелах,
найти M(X), D(X), σ(X ) .
9.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. Случайная величина X – число библиотек, которые посетит студент. Построить ряд распределения, найти M(X), D(X), σ(X ) .
114
9.4. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятности того, что в течение часа I, II, III станок не потребует внимания рабочего, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Случайная величина X – число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа. Построить ряд распределения, найти M(X), D(X), σ(X ) .
9.5. Дана f(x). Найти M(X), D(X), σ(X ) .
а.
0, |
|
|
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x, 0 < x ≤1, |
|
||||||||||||
f (x) = 2 − |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≤ |
π |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0, |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x ≤ |
, |
|||||||
f (x) = 3sin3x, |
|
6 |
3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x > |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0, |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cos2 x, |
|
|
x |
|
≤ |
π |
, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
> π. |
|
|
|
|
|
||||||||
0, |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
x <1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) = |
|
, |
|
|
|
x ≥1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9.6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
xi |
1 |
2 |
Pi |
0,4 |
0,6 |
Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядков СВ X.
115