Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Домашнее задание

2.8. Найти изображение дифференциального выражения при заданных начальных условиях:

′′′	′′	′	′	′′
x (t) + 6x (t) + x (t) − 2x(t);			x(0) = x (0) = 0;	x (0) =1.

2.9.Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображение оригинала tsint .

2.10.Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти

изображение функции ∫cosτdτ .

2.11.Используя теорему интегрирования изображения, найти изображение функции sht t .

2.12.Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти

изображение функции

∫τet−τ sin(t − τ)dτ.

2.13. Найти оригиналы для заданных функций:

а.

б.

( p +1)( p −3)

p2 + p +1

в.

4 − p

г.

p + 2

p2 + 9

p3 + 3p

2 p + 3

д.

е.

p4 + 2 p2 − 3

p3 + 4 p2 + 3p

Ответы

2.1. а. (p2 +5p −7)X (p)+

−α p −α.

б. (p4 + 4 p3 + 2 p2 −3p)X (p)−

2.2. а.					(p −1)2 −1		б.
						.
				((p −1)2 +1)2
2.3. а. 1−cost.							б.
					p
2.5. а.				(p + 2)(p2 +1).			б.
б.	tn.						в.
д.	1	e	−t		sin 2t.		е.
	2

ж. cos2t − 2η(t −1) ch2(t

1	2(p −1)		2(p +1)
2		−		.
	((p −1)2 +1)2		((p +1)2 +1)2
et −t −1.		2.4. π − arctg p.
	2	2
		2.6. а. tet .
p2 (p2 + 4).
e3t −et .		г. e−2tsh t.
e2t	+η(t −1)+η(t −4)sin 3(t −4).

−1). з. 2e3t cos 3t + 113 e3t sin 3t.

																																								1				1				1
	1					−2t								11							2				−2t					11												t				t				−2t
и.	1					−2t								11							2				−2t					11									к.		te	t			e	t			e	−2t
				3e				cos										t +13						e			sin						t .										−				+
				3e				cos										t +13						e			sin						t .										−				+
	2													2							11									2										3				9				9
	2													2							11									2										3				9				9
л.	3		− 3 e2t					cost −									4		e−2t sint.							м.		1	+ et			+				3		e−2t .				2.7. а.					1	(e3t		−
л.	5		− 3 e2t					cost −									5		e−2t sint.							м.		2	+ et			+			2			e−2t .				2.7. а.					2	(e3t		−
	5			5													5											2							2					1							2
б. 1−cost.																					в. t −sint.																		г.	1	(sht −sin t).
																																		2 p						2						1
2.8. ( p3 + 6 p2 + p − 2)X ( p) −1 . 2.9.																																		2 p						. 2.10.						1			.
2.8. ( p3 + 6 p2 + p − 2)X ( p) −1 . 2.9.																															( p2 +1)2									. 2.10.					p2		+1		.
																															( p2 +1)2										1				p2		+1
2.11.				1 ln			p +1							. 2.12.												1						. 2.13. а.									1		(e3t		− e−t ) .
2.11.				1 ln			p −1							. 2.12.						p2 ( p2 − 2 p + 2)												. 2.13. а.									4		(e3t		− e−t ) .
				2			p −1													p2 ( p2 − 2 p + 2)																					4
					−t																													4
б.		2			−t								3		t .															в.							sin3t −cos3t .
		2			e 2 sin								3
					e 2 sin																												3
	2		3		2 cos							2				1																	3
г.			−								t +								sin				t .
									3													3
	3								3													3
	3			3													3
	1																									1				1
д.										3										. е. 1 −							e	−t	−				e		−3t				.
			(sh t −							3		sin							3t)									−t							−3t
	4		(sh t −					3				sin							3t)							2				2
	4							3																		2				2

et ).

З а н я т и е 3

Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

Аудиторная работа

3.1. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

а.

x′ + 3x = e−2t ;

x(0) = 0 .

б.

′

x(0) = 0 .

x + x = 2sin t;

в.

′′

′

+ x =1; x(0) = 0, x (0) =1 .

г.

′′

′

−5x + 4x = 4; x(0) = 0, x (0) = 2 .

д.

′′

+ 4x

′

+ 4x =

−2t

′

; x(0) =1, x (0) =1.

е.

′′

′

+ x = e

−t

;

x(0) =

′

+ 2x

1, x (0) = 0 .

ж.

′′

′

+ 4x = sin 2t; x(0) =1, x (0) = −2 .

з.

′′′

′

′′

+ x = 0; x(0) = 0, x (0) = −1, x (0) = 2 .

и.

′′′

′′

′

′′

− x

= 0; x(0) =1, x (0) = 3, x (0) = 2 .

к.

− x = sht; x(0)

′

′′

′′′

= x (0)

= x (0) = 0, x

(0) =1.

3.2. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

а.	′′	′	2t	.	б.	′′	′	t	.
а.	x	− 4x + 4x = e		.	б.	x	+ x − 2x = e		.

3.3. Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

а.	x′		+ y = 0,	x(0) =1,			y(0) = −1.

	x + y′ = 0;
	′		+ x − y	t	,
б.	x			= e		x(0) = y(0) =1.
		′		t
			+ y − x		;
	y			= e
в.	x′		+ 2y = 3t,			x(0) = 2,	y(0) = 3 .
			− 2x = 4;
	y′

г.	x′′+ y =1,	x(0)	′			′	0 .
г.		x(0)	= y(0) = x	(0)		= y (0) =	0 .
	y′′+ x = 0;
д.	x′′− y = 0,	x(0)	= y(0) =1,			′	′
д.		x(0)	= y(0) =1,		x (0) = 2,		y (0) = 0 .
	y′′− x = 0;
е.	x′′− y′ = 0,		x(0) = −1,		′		′
е.			x(0) = −1,		x (0) = y(0)		= y (0) =1.
	x − y′′ = 2sint;

ж. 2x′′+ x − y′ = −3sint,x + y′ = −sint;

x′+ 2y′+ x + y + z = 0, з. x′+ y′+ x + z = 0,

z′− 2y′− y = 0;

x(0) = 0,	′
	x (0) =1, y(0) = 0 .

x(0) = y(0) =1, z(0) = −2 .

е. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

x′′+ y′ = t,y′′− x′ = 0.

Домашнее задание

3.5. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

а. x′ − x = cost −sin t, x(0) = 0 .

б. x′′−5x′+ 6x =12; x(0) = 2, x′(0) = 0 . в. x′′+ 4x′+3x =1; x(0) = 3, x′(0) = −2 .

г. x′′+3x′ = e−3t ; x(0) = 0, x′(0) = −1 .

3.6. Найти общее решение дифференциального уравнения x′′+9x = cos3t .

3.7. Найти решения систем дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях:

а.	x′+ x − 2y = 0,	x(0) = y(0) =1.
а.		x(0) = y(0) =1.
	y′+ x + 4y = 0;

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2914 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]