Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

З а н я т и е 1

Преобразование Лапласа. Изображение элементарных функций. Основные теоремы

Аудиторная работа

Всюду в дальнейшем под заданной с помощью формулы функцией f (t) будем понимать произведение этой функции на функцию

Хевисайда:

1,	t ≥ 0,
1(t) =	t < 0,
0,	t < 0,
т. е. считать f (t) = 0 при t < 0 .

1.1. Проверить, являются ли следующие функции оригиналами:

а. e5t . б.	1		.	в. e4t +1 .
	t −3

1.2. Используя определение изображение оригинала:

	1,		0 ≤ t < 2,
а.
	f (t) = −1, 2 ≤ t < 3,
		0,	3 ≤ t.

г. et3 .	д. t3 .		1
г. et3 .	д. t3 .		е. e t .
преобразования		Лапласа, найти
	t,	0 ≤ t <1,

б. f (t) = 1, 1≤ t < 2,
		2 ≤ t.
	0,	2 ≤ t.

1.3. Пользуясь теоремой подобия, найти изображение оригинала

а. sin 5t . б. cos3t .

1.4. Пользуясь теоремой запаздывания, найти изображение оригинала:

а. sin(t −	π),	t >	π .	б. et−a sin(t − a), a > 0, t > a .
	2		2

1.5. Применяя теорему запаздывания, найти оригинал для функции:

а.	pe−2 p		.	б.	2e−p		.
	p2	+1			p2	− 4

1.6. Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений основных функций, найти изображения заданных функций:

а.	1 t2 +1.	б. e−t +3e−2t +t2 .	в.	2sin t −cos	t	.

	2			2
г.	cos2 t .	д. sh 3t cos 2t .	е.	t3e2t .
ж. t2ch 2t .		з. te−t sh t .

Домашнее задание

1.7. Проверить, являются ли следующие функции оригиналами:

а. sin3t .			t
	б. sh 2t .	в.		.
			t2 −9

1.8. Используя определение преобразования Лапласа, найти изображение оригинала:

	t	,	0 ≤ t <1,
e
f (t) =
	1,		1 ≤ t.

1.9.Пользуясь теоремой подобия, найти изображение оригинала shβt , зная, что sht =•• p21−1 .

1.10.Пользуясь теоремой запаздывания, найти изображение ори-

гинала cos(t − π2), t > π2 .

1.11.Применяя теорему запаздывания, найти оригиналдля функции:

а.	e−2 p	.	б.	e−2 p		.
	p2			( p +	1)3

1.12. Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу изображений основных функций, найти изображения заданных функций:

а. t2 − 12 et .

Ответы

1.1.а. Да.

1.2.а. 1p (1 + e−3 p

б.	sin2 2t .		в. sin3t −t cost .
б. Нет.	в. Да.		г. Нет.	д. Да.	е. Нет.
− 2e−2 p ).	б. −	1	(pe−2 p + e−p +1). 1.3. а.		5	.
		p2			p2 +5

−

πp

e− pa

б.

1.4. а.

б.

. 1.5. а.

cos(t −2). б. sh(2(t −1)).

p2 +9

p2 +1

(p −1)2

+ p2

− 4 p3 +8p2 − 4 p + 2

1.6. а.

p3 .

б.

в.

(p2 +1)(4 p2 +1)

p +1

p + 2

p2 + 2

3(p2

−13)

. е.

2 p(p2 +12)

г.

p(p2 + 4). д.

ж.

(p2 +13)2 −36 p2

(p − 2)4

(p2 −4)3

з.

2(p +1)

e1− p

1.7. а. Да.

б. Да.

в. Нет. 1.8.

−

p2 (p + 2)2

p −1

−

πp

1.9.

(t −

2)e−(t−2) .

1.10.

1а.11.t.− 2 .

б.

p2 −β2

1.12. а.

−

. б.

−

. в.

1− p2

2(p −

2(p2 +16 )

( p2 +1)2

З а н я т и е 2

Дифференцирование и интегрирование оригиналов и изображений. Свертка функций

Аудиторная работа

2.1. Найти изображения дифференциальных выражений при заданных начальных условиях:

а.	′′		′			′
а.	x	(t) + 5x (t) − 7x(t) + 2; x(0) = α; x (0) = 0 .
б.	x	IV	′′′	′′	′	x(0)	′		′′	′′′
б.	x		(t) + 4x (t) + 2x (t) −3x (t) −5;			x(0)	= x	(0)	= x (0)	= x (0) = 0 .

2.2. Пользуясь теоремой смещения и теоремой дифференцирования изображения, найти изображение оригинала:

а. tet cost .

б. t sht sint .

2.3. Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти оригинал по его изображению:

а.	1	.	б.	1	.
	p( p2 +1)			p2 ( p −1)

2.4.Используя теорему интегрирования изображения, найти изображение функции sint t .

2.5.Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти изображение функции:

t	t
а. ∫cos(t − τ)e−2τdτ.	б. ∫(t − τ)2 cos2τdτ .
0	0

2.6. Найти оригиналы для функций:

а.

б.

в.

( p −1)2

pn+1

г.

д.

е.

p2 + 4 p +3

p2 + 2 p +5

ж.

−

2 pe− p

з.

2 p +5

и.

p2 + 4

p2 −4

p2 −6 p +12

к.

л.

2 p +3

м.

( p −1)2 ( p + 2)

p3 + 4 p2 +5p

				2				.
( p −1)( p −3)
		1		+	e−p	+	3e−4 p				.
	p	−2			p		p2			+9

			3p +19						.
	2 p2 +8 p +19

33p2 +2p −21 . p + p − p

2.7. Применяя вторую теорему разложения, найти оригиналы для функций:

а.	1		. б.	1	. в.
	p2 −4 p +3			p3 + p

1	.	г.	1	.
p4 + p2			p4 −1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]