Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

д. ∫	sin	1 dz, где C ={z	z	= r > 0}.

C +		z

18.5. При помощи вычетов вычислить определенные интегралы:

а.

2π

б.

+∞

x −1

dx.

∫

2 + cos x

2 +1)2

−∞

Домашнее задание

18.6. Найти вычеты:

а.

б.

z +

−1

z3 +

в.

г. cos z .

(z2 +1)2

д.

z cos2 π.

18.7. Вычислить интегралы:

а.

∫

dz, где C ={z

= 3}.

+ 4

б.

∫tgzdz.

в.

2π

∫

3 + cos x

г.

+∞

∫

−∞

(x2 +1)2 (x2 +16)

Ответы

[f (z); 2]= 5.

18.1.а. выч

б. выч [f (z); 0]=1,

выч [f (z);1]= −

выч

[f (z); −1]= −

1 .

в. выч [f (z); 2i]= −2,

выч [f (z); − 2i]= −2.

г. выч [f (z);1]=1,

выч [f (z); 0]= 0.

д. выч [f

(z); −1]= −

cos 2.

е. выч [f (z); kπ]= 0, k Z .

ж. выч [f

(z); 0]= −

. 18.3. а. –1. б. − e−1.

18.2. а. 1. б. 1. в. 0. г.

18.4. а.

2πi .

б. πi . в.

πi . г. 0. д. 2πi.

18.5. а.

2π

. б. −

π.

1 .

18.6. а. выч (f (z);1)= выч

(f (z);−1)=

(z);0)= 1 ; выч (f (z);2i)= −1

б. выч (f

− 1 i ;

выч (f (z);−2i)= −

1 i.

в. выч (f

(z);i)= −

1 i ; выч

(f (z);−i)=

1 i.

г. 0. д. π2. 18.7. а. πsh2i = πi sin 2 . б. − 4πi . в.

. г.

π.

100

Т и п о в о й р а с ч е т № 1

Ряды

Взадачах 1, 2 исследовать сходимость числового ряда.

Взадаче 3 исследовать сходимость знакочередующегося ряда.

Вслучае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость.

Взадачах 4, 5 определить область сходимости степенных рядов.

Взадаче 6 найти четыре первых, отличных от нуля, члена разло-

жения в ряд функции f (x) по степеням x − x0 .

В задаче 7 разложить функцию f (x) в ряд по степеням x , используя разложения основных элементарных функций.

Взадаче 8 вычислить с помощью ряда определенный интеграл с точностью до 0,001.

Взадаче 9 найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения при указанных начальных условиях.

Взадаче 10 разложить в ряд Фурье функцию f (x) на интервале [−π;π].

Вариант 1

	∞		n +1					∞	1 2			n
1.	∑			.			2.	∑				.
1.	∑			.			2.	∑				.
n=1n + 2								n=1n 5
	∞		(−1)n+1					∞		xn
3.	∑					.	4.	∑				.
3.	∑		3n +1			.	4.	∑				.
n=1			3n +1				6.	n=1n n
5.	∑ n +1(x +1)n .						6.	f (x) = 1 , x =1.
	∞
n=1												x 0
n=1		n 3n										x 0
								1		x2
7.	f (x) = sin2 x cos2 x .						8.	∫e−			dx .
7.	f (x) = sin2 x cos2 x .						8.	∫e−		2	dx .
								0
9.	y′ = x + y2, y(1) =1,k = 3
10.					π+ x,−π ≤ x < 0,
10.	f (x) =					0, 0 ≤ x ≤ π.
						0, 0 ≤ x ≤ π.

									Вариант 2
	∞	n	+1								∞		2n −1
1.	∑			.						2.	∑						.
1.	∑		+1	.						2.	∑						.
	n=1n2		+1							n=1( 2)n
	∞	(−1)n−1									∞			x	n
3.	∑					.				4.	∑n				.
3.	∑					.				4.	∑n				.
	n=1	n n								n=1				2
	∞	(x −3)n									f (x) = ex , x = −2 .
5.	∑					.				6.
5.	∑					.				6.
	n=1		n2															0
	n=1		n2
7.	f (x) =				x			.		8.	0			dx			.
					x						∫			dx
												3
				1− x			4					3		8 − x		3
				1− x						−1				8 − x
9.	y′ = 2x + y3, y(1)								=1,k = 3 .	10.		f (x) =				2x −1,−π ≤ x ≤ 0,
9.	y′ = 2x + y3, y(1)								=1,k = 3 .	10.		f (x) =						0, 0 < x ≤ π.
																		0, 0 < x ≤ π.

	∞	n +1
1.	∑				.
1.	∑				.
	n=13n + 2
	∞			n−1 2n −1
3.	∑(−1)								.
3.	∑(−1)					n(n		+1)	.
	n=1					n(n		+1)
	∞		(x −5)n
5.	∑						.

			n n
	n=1		n n
7.	f (x) = ln(1+ x) .
						x

Вариант 3

	∞	1
2.	∑	1		.
2.	∑			.
	n=2 nln n
	∞ n +1 x				n
4.	∑				.
4.	∑		n	3	.
	n=1		n	3
6.	f (x) = cos x, x0					=	π .
							2
8.	0,2
8.	∫		xe−xdx .
	0

				1											1	, − π ≤ x	≤ 0	,
				1							− x +					, − π ≤ x	≤ 0	,
9.	y′	= x +				, y(0)	=1, k = 5.	10.	f (x) =						2
9.	y′	= x +		y		, y(0)	=1, k = 5.	10.	f (x) =						2
				y										0, 0 < x ≤ π.
														0, 0 < x ≤ π.
							Вариант 4
	∞	3n +	1						∞	4 + n2				2
1.	∑				.			2.	∑				.
1.	∑				.			2.	∑			2	.
	n=1 n3n									1	+ n	2
	n=1 n3n							n=1		1	+ n

	∞	n 2n +1	n
3.	∑(−1)		.

	n=1	3n +1
5.	∞
	∑nn (x + 3)n .

n=1

7.f (x)= x ch x .

4.	∞	3n −1				x		n	.
	∑		2n
	n=1
6.	f (x)=						x(0)= 4 .
					x,
8.	0,2			cos x dx .
	∫		x
	0

9.	y′ = 2x −0,1y2, y(0)=1,							k = 3 .	10.	f (x)= 2x +3,						−π ≤ x ≤ 0,
													0	,		0 < x ≤ π.
								Вариант 5
	∞ 2n −		1							∞		n + 2 n
1.	∑			.					2.	∑			.
1.	∑	4n		.					2.	∑		2n −1	.
	n=1	4n							n=1			2n −1
	∞	(−1)n								∞	(n +1)n xn
3.	∑					.			4.	∑				.
3.	∑					.			4.	∑		2n		.
	n=12n −1								n=1			2n
	∞									f (x) = cos2 x, x0						= π .
5.	∑(2 + x)n .								6.	f (x) = cos2 x, x0						= π .
	n=1															4
									0,5
	f (x) = 3								0,5			1+ x2 dx .
7.	f (x) = 3				8 + x		.		8.	∫		1+ x2 dx .
										0
9.	y′ = x2 − xy, y(0) = 0,1k							= 3 .	10.			x −		2,−π ≤ x ≤ 0,
9.	y′ = x2 − xy, y(0) = 0,1k							= 3 .	10.	f (x) =				0,	0 < x ≤ π.
														0,	0 < x ≤ π.

	∞	n +1
1.	∑		.

3.	n=110n +1
	∑ (−1)n ln .
	∞
	n=2		n

∞(x + 3)n

5.n∑=1 n2 .

Вариант 6

∞n3

2.n∑=1(2n)! .

4. ∑∞ 2n xn .

n=1 n

6. f (x) = e3x , x0 =1.

f (x) = cos2 x .

0,5

∫

= 2yy , y(0) = 0, y (0) =1, k = 3 .

0 1+ x5

′′

′

10. f (x) =

0,− π ≤ x < 0,

4x −3, 0 ≤ x ≤ π.

Вариант 7

∞

n +3

∞

∑

−

n=1n

n=13 (2n +1)

∞

∑(−1)n

∑

n +10

n=1

n=1n 3n

∞

(x − 2)

= π .

∑

f (x) = ctg x, x0

+1)

n=1(n +1)ln(n

0,1 ex −1

dx .

f (x) =

∫

4 + x2

y′ = 2x + cos y, y(0)

= 0, k = 5 . 10.

f (x) =

5 − x,−π ≤ x ≤ 0,

0 < x ≤ π.

Вариант 8

∞

3n + 2

∞

∑

5n +1

∑

n=1

n=2 n(ln n)2

∞

(−1)n−1

∞

∑

n=1

n +5

n=1nn

∞

(x −

4)n

f (x) = sh x, x0 =1 .

∑

n=1

3x −5

0,5

x2 cos3xdx .

f (x) =

∫

x2 −4x +3

9. y′′′ = yex − xy′2 , y(0) = y′(0) = y′′(0) =1, k = 6

0, − π ≤ x < 0,

10.f (x) = 3x −1, 0 ≤ x ≤ π. .

Вариант 9

	∞	1									∞	n +1 n
1.	∑						.			2.	∑		.
1.	∑				+ 5		.			2.	∑		.
	n=1n2 + 2n				+ 5						n=1 3n
	∞					n					∞	n	x	n
3.	∑(−1)n−1								.	4.	∑			.
3.	∑(−1)n−1			6n − 4					.	4.	∑			.
	n=1			6n − 4							n=1n +1		2
	∞ n(x + 5)n
5.	∑					.				6.	f (x) = tg x, x				=
5.	∑					.				6.	f (x) = tg x, x				=
	n=1	n3 +1												0
	n=1	n3 +1									0∫,5 ln(1+ x2 ).
7.	f (x) =		1					.		8.

			9 − x2
			9 − x2								0
9.	y′ = 3x − y2 , y(0) = 2, k = 3 .												3 −2x,
9.	y′ = 3x − y2 , y(0) = 2, k = 3 .									10. f (x) =					0,
															0,

π4 .

−π ≤ x ≤ 0, 0 < x ≤ π.

	∞			π
1.	∑n2 sin			π		.
1.	∑n2 sin					.
	n=1			2n
	∞	(−1)n−1
3.	∑				.

		n n
	n=1	n n
	∞	x	+ 2 n
5.	∑n
5.	∑n		2
	n=1		2

6.f (x) = 3x3 −

7.f (x) = ln(2 +

Вариант 10

2. ∞ 1 . n∑=1(2n +1)!

4. ∑∞ xn .

n=1 n

6x2 + 3, x0 = −1.

x).	0,4	xe−	x
x).	8. ∫	xe−	4	dx .
	0

−π ≤ x < 0,

y′ = x2 −2y, y(0) =1,k = 4 .

10. f (x)

π− x

, 0 ≤ x ≤ π.

Вариант 11

∞

1+ n

∞ n3

∑

n=1 1+ n2

n=1 n!

∞

(−1)n

∞

∑

4. ∑(2n +1)2 xn .

3 n

n=1

∞

(x −3)

∑

6. f (x) = x

, x = 3 .

n=1(2n +1) n +1

f (x) = cos(x +α) .

0,5

1+cos x

dx .

∫

y′

y′′

−

x , y(1) =1, y′(1) = 0, k = 4 .

10. f (x) =

5x +1,−π ≤ x ≤ 0,

0 < x ≤ π.

Вариант 12

∞

1+ n

∞

∑

n=11+ n2

n=1 n!

∞

n −1

∞

∑(−1)n−1

∑

(n +1)

−1

n=1

n=12n

∞

(x + 4)

∑

6. f (x) =

, x = 2 .

n=1

n 3n

x +1

f (x) = xsin2 x .

0,8

1−cos x dx .

∫

y′ = x2 + 0,2y2 , y(0) = 0, k = 3 .

10. f (x)

0,−π ≤ x < 0,

1−4x, 0 ≤ x ≤ π.

1.	∑	1 .
	∞
	n=1	n(n +1)
	∞			3
	∞			3		n
3.	∑(−1)n							.
3.	∑(−1)n			n	+1			.
	n=1			n	+1
5.	∞	3n (x −1)n
5.	∑						.
	n=1		n2 +1

Вариант 13

∞ 2n +1 2. ∑

n=1 3n +1

4. ∞ xn .

n∑=1n 2n

6. f (x) = ch

2 .

x, x0 =1.

f (x) =

∫sin x2dx .

1− x

′′

= y

′2

+ xy, y(0) = 4,

′

y (0) = −2, k = 5 .

10. f (x) =

3x +

2,−π ≤ x

≤ 0,

0, 0 < x ≤ π.

Вариант 14

∞

∑

∑n tg

+1)

2n+1

n=1(3n − 2)(3n

n=1

∞

+1 n +1

∞

2n xn

∑

(−1)

∑

n=1

n=12n −

∞

−2 n

∑

(3n +1)

f (x) =

, x = −2 .

n=1

x +3

f (x) = ln(x +1), x0 = 2 .

0,1 ln(1+ x)

dx .

∫

0,−π ≤ x < 0,

y′ = xy + y2 , y(0) = 0,1, k = 3 . 10. f (x) =

4 −2x, 0 < x ≤ π.

Вариант 15

∞

∑

n=1(2n −1)2

n=1(5n +8)ln3

(5n +8)

∞

5n xn

∑(−1)n

∑

(2n +1)!

n=1

n=16n 3

∞

(x + 3)n

∑

f (x) =

, x0

= 3 .

n 5n

+ 5

n=1

f (x) = xe−x .

∫cos3

xdx .

y′ = 0,2x + y2 , y(0) =1, k = 3.

х +

− π ≤ x

≤ 0,

10. f (x)

0, 0 < x ≤ π.

Вариант 16

∞

n +1

∞

∑

n=1n2 + 2n

n=12n+1

∞

(x −1)n

∑(−1)n+1

∑

n2 +1

n=1

(x −1)n

n=1

∞

f (x) = sin2 x, x

∑

n=1

f (x) = sh

sin xdx .

∫

′′

= x

+ y

y(−1) = 2,

′

y (−1) = 0,5, k = 4 .

10. f (x)

0,−π ≤ x < 0,

6x −5, 0 ≤ x ≤ π.

Вариант 17

n +1 .

∑

∞

n=1

− n

n=1

2n (n2 +1)

	∞		n+1 n!
3.	∑(−1)				.
3.	∑(−1)			nn	.
	n=1			nn
	∞	(x +1)n
5.	∑				.
5.	∑	n 5n			.
	n=1	n 5n
7.	f (x) = x2e2x .

4. ∑∞ xn .

n=1 n

6. f (x) = sin π4x , x0 = 2 .

0,5 e−2x2

8. ∫ dx .

0 x

y′ = x2 + xy + e−x , y(0) = 0, k = 3 .

10.

f (x) =

7 −3x,−π ≤ x ≤ 0,

0, 0 < x ≤ π.

Вариант 18

∞

n + 3

∑

∑2n sin

n=1

2n +1

n=1

∞

∑(−1)n

∑

n=1

ln(n +1)

n=1 n2

+ 5

∞

(x + 2)

∑

6. f (x) =

, x = −3.

n=1

10n

4 + x

f (x) = (1+ x)cos x .

∫cos

dx .

+ y = 0, y(0) = 0, y (0) =1,

k = 3.

′′

′

0, − π ≤ x < 0,

10.

f (x) =

−

, 0 ≤ x ≤ π.

Вариант 19

∞

2 + n

∞

∑

n=11+ n2

n=1(n +1)!

∞

−

∞

∑

(

∑

xn .

n=1(2n −1)3n

n=1 n!

∞

(x − 4)n

∑

f (x)

, x0 = 2 .

(n +1)2

− x

n=1

f (x) =

0,5 arctg x

dx .

∫

1− x2

′′

= y cos y

′

+ x, y(0) =1, y

′

k = 3.

(0)=

3 ,

6x −2,−π ≤ x ≤ 0,

10. f (x) =

0, 0 < x ≤ π.

Вариант 20

∞

2n −1 n

∑

+13

n=1n2 −4n

n=1

∞

n+1

∞

−1)!

∑(−1)

∑

n=1

n=1 2n

∞

(x + 4)

∑

f (x)

x =1.

x +1

n=1

n +1

f (x) = arcsin x .

∫arctg

dx .

9.y′ = cos x + x2 , y(0) = 0, k = 3 .

0,−π ≤ x < 0,

10.f (x) = 4 −9x, 0 ≤ x ≤ π.

			Вариант 21
∞	2n +1		∞	1
1. ∑		.	2. ∑			.
1. ∑		.	2. ∑		(n +1)	.
n=13n + 4			n=1(n +1)ln2		(n +1)

	∞	(−1)n+1
3.	∑		.
		n
	n=1	n 3
	∞	(n +1)(n		+ 2)	(x −3)n .
5.	∑
		(n +3)2
	n=1
7.	f (x) = arctg x .

4. ∞ n xn .

∑ !

n=1

6.f (x) = x +2 2 , x0 =1 .

8.0∫,5 x −arctg x dx .

0 x2

y′− 4y + 2xy2 − e3x = 0, y(0) = 2, k = 4 .

−3, −π ≤ x ≤ 0,

10.

f (x) =

0 < x ≤ π.

Вариант 22

∞

n + 5

∞

10n

∑

−1

+ 2)

n=1n

n=13 (n

∞

(−1)n

∞

∑

n=1n2

n=1n +1

∞

(x + 3)

6. f (x) = xex , x =1.

∑

n=1(n +1)(n + 2)

f (x) = x ln(1+ x2 ) .

0,5

e−x2 dx .

∫

(1− x)y

+ y = 0, y(0) = y (0) =1,

k = 3 .

′′

′

10.

f (x) =

−π ≤ x ≤ 0,

10x −3, 0 < x ≤ π.

Вариант 23

∞ n2

+ 2n

∞

(n +1)3

∑

3n2 + 4

n=1

n=1 (3n)!

	∞		(−1)n																				∞				xn
3.	n∑=1											.										4.	n∑=1							.
3.	n∑=1		n(n +1)									.										4.	n∑=1		2n n					.
	∞		(x +8)n
5.	∑													.								6.	f (x) = ln x, x0 =1.
5.	∑			3n + 2										.								6.	f (x) = ln x, x0 =1.
	n=1			3n + 2																			0,4
										x		2
7.	f (x) =											2					.					8.				1− x3 dx .
																							∫
								1− x2															∫
								1− x2													1		0
9.		2		y		′′														′	1	, k = 3
9.	4x			y			+ y = 0, y(1) =1, y (1) =														2	, k = 3
																	x
10. f (x)							=												,	− π ≤ x ≤ 0,
10. f (x)							=			1−						4			,	− π ≤ x ≤ 0,
																4				0 < x ≤ π.
																0,				0 < x ≤ π.
																				Вариант 24
	∞ n +						1																∞	n +						2	n
1.	∑								.													2.	∑								.
1.	∑			5n					.													2.	∑								.
	n=1			5n																			n=1 2n +1
	∞			(−1)n																			∞		(2n −1)(2n +									1)	xn .
3.	∑											.										4.	∑
3.	∑											.										4.	∑
	n=1				n + 4																		n=1 2n(2n + 2)
	∞		(x +1)n																											1
5.	∑												.									6.	f (x) =									,	x0 = 2 .
5.	∑												.									6.	f (x) =						1− x			,	x0 = 2 .
	n=1n(n +1)																												1− x
7.	f (x) =										x							.				8.	1					cos x dx .
											x												∫		x
									1 + x														∫		x
									1 + x														0
9.	y′ = 2x2 + y3, y(1) =1, k = 3 .
										0,										−π ≤ x ≤ 0,
10. f (x)							=
10. f (x)							=			x					−		2,			0 < x ≤ π.


										5
																				Вариант 25
	∞			1+ 2n n																			∞		n + 2
1.	∑			2 + 3n									.									2.	∑							.
1.	∑												.									2.	∑							.
	n=1																						n=1n 4n

∞

n+1 n

∞

n(n +1)

∑(−1)

∑

−1

2n + 3

n=1

∞ n(x −

2)n

f (x) = ex , x0 = −3 .

∑

n +

n=1

f (x) =

1 sin x

dx .

∫

+ x2

y′ = x2 + xy + y2 , y(0) =1, k = 4 .

10. f (x) =

2x −11,

− π ≤ x ≤ 0,

0 < x ≤ π.

Вариант 26

∞

2n + 3

∞

∑

n=13n + 4

n=1(n +1)ln(n +1)

∞

(−1)n

∞

∑

n=13n −1

n=1n2

∞ n(x +

2)n

∑

f (x) = x, x0 = 9 .

n +

n=1

0,1

f (x) = x5

1+ x

∫

+ y = 0, y(1) = 2, y (1) =1, k = 4

0 1+ x4

′′

′

10. f (x) =

0,−π ≤ x < 0,

8x, 0 ≤ x ≤ π.

3 −

Вариант 27

∞

2n +1

∞

3n +1

∑

+ 2

n=1n

n=1

∞

(−1)

n+1

∞

∑

n=1(n +1)(n + 2)

n=1n(n +1)

∞

(x −3)n

∑

f (x) = 1+ x, x0 = 3 .

2n −3

n=1

f (x) = e

∫x10 sin xdx .

− xy +1 = 0, y(0) =1, y (0) =1, k = 5

′′

′

10. f (x) =

7x −1,−π ≤ x ≤ 0,

0, 0 < x ≤ π.

Вариант 28

∞

n +1

∞

3 n

∑

n=12n + 3

n=1n

∞

(−1)n

∞

∑

∑2n−1 xn .

n=12n +1

n=1

∞

(x + 3)n

f (x) = xex , x =1 .

∑

n=1

n3 +1

f (x)

∫3 x cos xdx .

1− x2

′′

+ y

0, y(1) =1,

′

y (1) =1, k = 5 .

10. f (x) =

0,−π ≤ x < 0,

2x +1, 0 ≤ x ≤ π.

Вариант 29

∞

2n + 3

∞

∑

n=1 n2 +1

n=1(n

+ 4)!

∞

∑(−1)n

∑

ln(n

+1)

n=1

∞

(x −1)n

f (x) = sin 2x,

∑

n=1

f (x) = x cos 2x .

∫e−x2 dx .

− y cos x = 0, y(0) =1, y (0) = 2, k = 5

′′

′

10.

f (x) =

0,−π ≤ x < 0,

x +1, 0 ≤ x ≤ π.

Вариант 30

∞

3n +1 n

∑

4n + 5

n=1n2 + 4n

n=1

∞

(−1)n

∞

∑

∑xn .

(2n)!

n=1

∞

(x + 4)

∑

f (x) = 2 + cos

+ 2)

n=1n(n +1)(n

f (x) =

sin x

1 sin x

dx .

∫

y′ = y cos x + 2 cos y, y(0) = 0, k = 3 .

10.

f (x) =

0,−π < x < 0,

0 ≤ x ≤ π.

x0 = π4 .

x, x0 = π4 .

Т и п о в о й р а с ч е т № 2

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

Вариант 1

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x2 + y2 = 4 и

y2 = 4(1− x) (вне параболы).
2.	Вычислить		массу		тела, ограниченного		поверхностями
x2 + y2 + z2 = 4;		x2 + y2 = 3z , если плотность в каждой точке равна
аппликате точки.				dS			1 x −2
3.	Вычислить	∫		dS		по отрезку прямой y =		от точки
3.	Вычислить	∫				по отрезку прямой y =		от точки
		L		x2 + y2			2
A(0, − 2) до точки B(4, 0).
4.	Вычислить	∫xydx по дуге синусоиды y = sin x от						x = π до
x = 0 .		L
x = 0 .					части поверхности x +6y + 2z =12 , ле-
5.	Вычислить	площадь			части поверхности x +6y + 2z =12 , ле-
жащей в первом октанте.							j + zk
6.	Вычислить поток вектора a = (x + y)i +(y − x)						j + zk	через по-

верхность шара единичного радиуса с центром в начале координат.

	Вариант 2
1.	Найти массу фигуры, ограниченной линиями y = x2; x + y = 2 ,
если плотность ее в каждой точке равна ординате этой точки.
2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =1− x2 − y2;

y = x; y = x3 , расположенного в первом октанте.

3. Вычислить ∫		dl , где L – кривая, x = a(cost + t sin t)
3. Вычислить ∫	x2 + y2	dl , где L – кривая, x = a(cost + t sin t)
L		y = a(sin t −t cost)
(0 ≤ t ≤ 2π).

Найти

функцию

z по ее полному

дифференциалу

dz =

−

dx + 1

−

dy .

Вычислить

∫∫xdyd z + ydxd z + zdxdy , где S

– положительная

сторона поверхности куба, ограниченного плоскостями x = 0; y = 0; z = 0; x = 4; y = 4; z = 4. Вычислить непосредственно и с помощью

формулы Остроградского.
6.	Найти div(grad u), где u = sin(x + y + z).
	Вариант 3
1.	Найти массу фигуры, ограниченной параболой y =1− x2 и
осью Ox , если плотность γ(x, y)= x2 y2 .
2.	Найти объем тела, ограниченного поверхностями x2 + y2 = 2x;

z = x2 + y2; z = 0 .

3. Вычислить ∫xdl по параболе y = x2 от точки (1, 1) до точки (2, 4)

.			L
.			∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , применяя формулу Гри-
4.	Вычислить		∫2(x2 + y2 )dx +(x + y)2 dy , применяя формулу Гри-
			C
на,	где C	–	контур треугольника				с	вершинами в точках
A(1, 1), B(2, 2),C(1, 3)				, пробегаемый против часовой стрелки.

5.	Вычислить		∫∫		x2 + y2 + z2	dS , где	S	– поверхность конуса
			S

z2 = x2 + y2 , ограниченного плоскостями z = h; z = 0 . 6. Найти rotF , если F = y2i − x2 j + z2k .

Вариант 4

1. Найти массу половины круга радиуса R с центром в начале координат, лежащей в области y ≥ 0 , если плотность равна квадра-

ту полярного радиуса.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

z = 4

− y2; y =

; x = 0; z = 0.

Вычислить ∫(3x −5y + z + 2)dl , где l – отрезок прямой между

точками A(4, 1, 6)lи B(5, 3, 8).

. Определить работу при

Поле образовано силой

= yi

+ aj

перемещении массы m по контуру,

образованному осями коорди-

x = a cost

нат и эллипсом y = bsin t , лежащим в I четверти.

Найти площадь поверхности части конуса z =

x2 + y2

, за-

ключенного внутри цилиндра x2 + y2 = 2x .

Найти div[u, v], где u = xi + 2yj − zk

; v = yi −2zj + xk .

Вариант 5

Вычислить ∫∫

dxdy , где D – круг: x2 + y2 = ax .

a2 − x2 − y2

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

z = x2; 3x + 2y =12; z = 0, y = 0.

x = a(t −sin t);

Вычислить

массу

одной

арки

циклоиды

y = a(1− cos t), если плотность в каждой точке кривой равна орди-

нате точки.
4. Вычислить ∫(xy − y2 )dx + xdy от точки A(0, 0)								до точки B(1, 2)
	l
по кривой y = 2		.
по кривой y = 2	x	.
5. Вычислить с помощью формулы Остроградского										∫∫xdydz +
+ ydxdz + zdxdy , где S										S
+ ydxdz + zdxdy , где S				– внешняя сторона поверхности куба, огра-
ниченного плоскостями				x = 0, x =1, y =1,		y = 0, z = 0, z =1.

6. Найти rot(r			, a )r		, где r = xi + yj		+ zk; a	= i	+ j	+ k .

Вариант 6

1.	Вычислить ∫∫		ln (x2 + y2 )					dxdy , где область		D – кольцо между
			x	2	+ y		2
	D
окружностями радиусов e и 1 с центром в начале координат.
2.	Вычислить	массу					тела,		ограниченного		поверхностями
2x + 2y + z − 6 = 0;		x = 0;				y = 0;			z = 0 , если плотность в каждой его
точке равна абсциссе этой точки.
3.	Вычислить		∫sin2 x cos3 x dl , где L							–	дуга кривой
			L

y= ln cos x 0 ≤ x ≤ π .

Найти

функцию

z по

ее

полному

дифференциалу

dz = sin(x + y)(dx + dy).

Вычислить

∫∫(y2 + z2 )dxdy , где S

– верхняя сторона поверх-

ности z =

a2 − x2

, отсеченная плоскостями y = 0, y = b .

Найти

циркуляцию

поля

F = yi

по контуру x = b cost,

y = b +bsin t .

Вариант 7

Вычислить

∫∫ex2 +y2 dxdy , где область D – круг радиуса r с

центром в начале координат.

Вычислить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

x2 + 4y2 + z =1; z = 0 .

Вычислить массу

m дуги кривой

L , заданной уравнениями

x =

, y = t,

z =

, 0

≤ t ≤ 2 , если плотность в каждой ее точке

γ = 1+ 4x2 + y2 .

4.	Вычислить	xdx	+		dy			по отрезку циклоиды x = a(t −sin t);
		∫l y
		∫l y		y + a
y = a(1− cos t) от точки t = π								до точки t	2	= π .
			1			6			2	3
						6				3
5.	Вычислить	∫∫x dydz + y dxdz + z dxdy								по верхней поверхности
		S
части плоскости x + y + z = a , лежащей в первом октанте.
								xi + yj + zk
6.	Доказать, что поле F =									является потенциальным.
6.	Доказать, что поле F =								3	является потенциальным.
							(x2 + y2 + z2 )2

Вариант 8

1.С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = ex; y = e−x; y = 2 .

2.Вычислить объем той части шара x2 + y2 + z2 = 4R2 , которая лежит внутри цилиндра x2 + y2 = R2 .

3.Найти массу дуги кривой x = t; y = 12 t2 (0 ≤ t ≤1), если плот-

ность равна 2y .

4.	Вычислить ∫xdx + ydy +(x + y −1)dz , где L – отрезок прямой,
	L
соединяющий точки А(1, 1, 1) и B(2, 3, 4).
5.	Найти площадь части поверхности y = x2 + z2 ,		вырезанной
цилиндром z2 + x2 =1 и расположенной в первом октанте.
6.	Найти поток вектора a = yi + zj + xk	через	плоскость
x + y + z = a , расположенную в первом октанте.
	Вариант 9
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями ρ = 2(1+ cosϕ); ρ = 2cosϕ .

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y = x2; y + z = 2; z = 0 .

3.Найти массу дуги кривой y = 2x3 x от точки O(0, 0) до точки

B 4,163 , если плотность пропорциональна длине дуги.

4. Вычислить ∫	ydx2	− xdy2 , где	L – окружность	x = a cost ,
L	x	+ y

y = asin t (в положительном направлении).

5. С помощью формулы Остроградского вычислить ∫∫xdydz +

+ ydxdz + zdxdy , если S – внешняя сторона цилиндра x2 + y2 = 4 с

основаниями z = 0 и z = 3.
6.	Найти rotF , если F		= y2zi + z2xj + x2 yk .
			Вариант 10
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = 2x − x2; y = x2 .
2.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями x + y + z = a
2.	Найти массу тела, ограниченного поверхностями x + y + z = a						2;
x2 + y2 = a2; z = 0 ,		если	плотность в		каждой	его точке равна
x2 + y2 .		(x2 + y2 + z2 )dl ,
3.	Вычислить ∫	(x2 + y2 + z2 )dl ,		где	L – дуга винтовой линии
	L
x = a cost; y = a sin t; z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π.
4.	Найти функцию		z по	ее	полному	дифференциалу
dz = exy ((1+ xy)dx + x2dy).

5. Применяя формулу Остроградского, вычислить ∫∫x3dydz + y3dxdz +

+ z3dxdy , где S – внешняя сторона поверхности сферы x2 + y2 + z2 = a2 .

6. Найти циркуляцию вектора F = y2i по замкнутой кривой, составленной из верхней половины эллипса x = a cost; y = bsin t и отрезка оси Ox .

Вариант 11

1. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линиями y = 3x ; x2 + y2 =10 , если плотность каждой ее точки равна абсциссе

этой точки.

2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями hz = x2 + y2; z = h .

3. Вычислить ∫x2 + y2 + a2 dl , где L – дуга спирали Архимеда

r = aϕ (a > 0) между точками O(0,0); A(a2 ,a).

4.	Вычислить с помощью формулы Грина	∫	y	dx + 2ln xdy , где

		C x
C	– треугольник, сторонами которого	являются прямые
y = 4 −2x; x =1; y = 0 .
5.	Вычислить ∫∫z2dS , где S – часть плоскости x + y + z =1, рас-

положенной в первом октанте.

6. Найти линейный интеграл вектора a = x3 i − y3 j вдоль дуги окружности x = R cost; y = Rsin t .

Вариант 12

1.С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ex; y = e2x; x =1.

2.Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2az = x2 + y2; x2 + y2 + z2 = 3a2 , если плотность в каждой точке равна аппликате

этой точки.

3. Вычислить ∫x2dl , где L – верхняя половина окружности

x2 + y2 = a2 .

4.	Выяснить, будет ли интеграл	∫(2xy −5y3 )dx +(x2 −15xy2 +6y)dy
		(AB)
зависеть от пути интегрирования,		и вычислить его по линии AB ,
соединяющей точки (0, 0), (2, 2).
5.	Вычислить ∫∫zdxdy + xdxdz + ydydz , где S – внешняя сторона
	S

треугольника, образованного пересечением плоскости x − y + z =1 и координатными плоскостями.

6.	Найти rota , если a = (3x2 y2 z +3x2 )i + 2x3 yz j + + (x3 y2 +3z2 )k .
			Вариант 13
1.	Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного
поверхностями x2 + y2 = R2; z = 0; z = y .
2.	Вычислить ∫∫∫y cos(x + z)dxdydz , где V – область, ограничен-
	V
ная цилиндром y =			и плоскостями x + z = π ; y = 0; z = 0 .
		x
	2
3.	Вычислить массу отрезка прямой y = 2 − x , заключенного

между координатными осями, если линейная плотность в каждой

его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в
точке (2, 0) равна 4.
4. Применяя формулу Грина, вычислить		∫− x2 ydx + xy2dy , где
		C
C – окружность x2 + y2 = a2 (в положительном направлении).
5. Найти площадь поверхности z = 2 −	x2	+ y2	, расположенной
		2

над плоскостью xOy .

6. Найти поток вектора a = yi + zj + xk через часть плоскости x + y + z = a , расположенной в первом октанте.

Вариант 14
1. Переменив порядок интегрирования,		записать данное выра-
	1	x2	4	1	(4−x)
жение в виде одного двойного интеграла				3	∫dy . Вы-
	∫dx ∫		dy + ∫dx
	0	0	1		0


числить площадь фигуры.
2.	Вычислить	объем тела,			ограниченного			поверхностями
z = 6 − x2 − y2 ; z =			x2 + y2	.	y = ln x (				), если плот-
3.	Найти массу дуги кривой						≤ x ≤ 2
3.	Найти массу дуги кривой					3	≤ x ≤ 2	2
ность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы.
4.	Вычислить	∫ ydx −(y + x2 )dy , где L – дуга параболы y = 2x − x2 ,

расположенная над осью Ox , пробегаемая по ходу часовой стрелки. 5. Применяя формулу Остроградского, вычислить

∫∫xdydz + ydxdz + zdxdy , где S – положительная сторона поверхно-

сти, ограниченной плоскостями x = 0; y = 0; z = 0; x + y + 2z =1 .
6.	Найти дивергенцию градиента функции u = x3 + y3 + z3 +3x2 y2z2 .
				Вариант 15
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y2 =16 −8x; y2 = 24x + 48 .
2.	Вычислить	объем тела, ограниченного				поверхностями
2 − z = x2 + y2; z = x2 + y2 .
3.	Вычислить ∫		x2 + y2	dl , где L – окружность x2 + y2 = ax .
	L
4.	С помощью формулы Грина вычислить ∫1 arctg				y	dx +	2	arctg	x		dy ,
4.	С помощью формулы Грина вычислить ∫1 arctg					dx +		arctg			dy ,
				C x	x		y			y

где C – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей

x2 + y2 =1; x2 + y2 = 4 (y > 0) и отрезками прямых y = x и

y= 3x (y > 0), заключенных между этими окружностями.

5.Найти массу полусферы z = a2 − x2 − y2 , если поверхност-

ная плотность в каждой ее точке равна z2 .
6.	Найти rotF	, если F	= (x2 + y2 )i				+ 2xyzj + k .
			Вариант 16
1.	Вычислить	∫∫(x2 + 2xy)dxdy ,			где область D ограничена пря-
		D
мыми y = x; y = 2x; x + y = 6 .
2.	Вычислить	объем	тела,		ограниченного поверхностями
x2 + y2 = a2; x2 + z2 = a2 .							x = ln(1+ t2 ); y = 2arctg t − t от
3.	Вычислить массу дуги кривой
t = 0 до t =1 , если плотность равна						y		.

4.	Поле образовано силой					ex
				F = (x + y)i					+ 2xj . Вычислить работу
по перемещению единицы				массы				по	окружности x = a cost;

y= a sin t .

5.Вычислить массу поверхности z2 = x2 + y2 , заключенной между плоскостями z = 0; z =1, если поверхностная плотность про-

порциональна x2 + y2 .

6. Найти rotF , если F = x2 y2i + y3zj + xz3k .

Вариант 17

1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской области, ограниченной линиями y2 = 4x, x + y = 3, y ≥ 0.

2. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями x + y + z = a; x = 0; y = 0; z = 0 , если плотность в каждой точке равна

аппликате этой точки.

3. Вычислить ∫ y2dl , где L – дуга кривой x = ln y между точка-

ми A(0, 1) и B(1, e).

4. Применяя формулу Грина, вычислить ∫ y2dx +(x + y)2 dy по

контуру треугольника ABC с вершинами A(a,0); B(a, a); C(0, a).

5. Пользуясь формулой Остроградского, вычислить ∫∫xdydz +

+ ydxdz + zdxdy , где S – внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченной плоскостями x = 0; y = 0; z = 0; 2x + 3y + 4z =12 .

6.	Найти циркуляцию	вектора F = −yi + xj			по окружности
x2 + (y −1)2 =1.
		Вариант 18
1.	Изменив порядок интегрирования,		записать данное выраже-
ние в виде одного двойного интеграла			1	y	2	2−y
ние в виде одного двойного интеграла			∫dy∫dx + ∫dy			∫dx . Вычис-
лить площадь фигуры.			0	0	1	0
лить площадь фигуры.
2.	Вычислить объем	тела, ограниченного			поверхностями
x2 + 4y2 + z =1; z = 0 .
		2	2	2
3.	Вычислить массу дуги кривой x3 + y 3			= a 3 , лежащей в пер-

вой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе этой точки.

4. Доказать, что ∫tg y dx + xsec2 y dy			не зависит от пути инте-
AB
грирования. Вычислить его, если		π		2;	π
грирования. Вычислить его, если	A 1,	; B		2;	.
		6			4

5. Найти массу полусферы x = R2 − y2 − z2 , если поверхност-

ная плотность в каждой точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

6. Найти циркуляцию векторного поля	F = yi + zj + xk	вдоль
замкнутого контура, полученного от	пересечения	сферы

x2 + y2 + z2 = R2 координатными плоскостями, расположенными в первом октанте.

	Вариант 19
1.	Построить область, площадь которой выражается интегралом
1	1−x2
∫dx	∫dy

012 (1−x)2 .

Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегрирования. 2. Определить массу тела, ограниченного поверхностями

x2 + y2 − z2 = 0; z = h , если плотность в каждой точке п

ропорцио-

нальна аппликате этой точки.

Вычислить

∫

cos2 xdl

где

L –

дуга

кривой

1+cos2 x

y = sin x (0 ≤ x ≤ π).

Доказать, что выражение 3x2eydx + (x3ey +1)dy

является пол-

ным дифференциалом некоторой функции. Найти эту функцию.

Вычислить

∫∫(x2 + z2 )dydz , где S

– внешняя сторона поверх-

ности x =

9 − y2

, отсеченной плоскостями z = 0; z = 2 .

Найти rot(r, a) r , где r = xi

+ 2yj − zk ,a = 2i −

j + k .

Вариант 20

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями ρ = a(1− cosϕ); ρ = a cosϕ.

2.Определить массу сферического слоя между поверхностями x2 + y2 + z2 = a2; x2 + y2 + z2 = 4a2 , если плотность в каждой точке

обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат.

3.	Вычислить ∫ ydl , где L – дуга параболы y2 = 2x , отсеченная
	L
параболой x2 = 2y .
4.	Показать, что ∫ ydx +(x + y)dy по любому замкнутому конту-
	C

ру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями y = x2 , y = 4 .

5. Вычислить массу поверхности z = x , ограниченной плоскостями x + y =1; y = 0; x = 0 , если поверхностная плотность в каждой

точке равна абсциссе этой точки.

6.	Найти циркуляцию вектора F = y2i					по замкнутой кривой,
составленной из				верхней	половины эллипса x = 4cost; y = sin t и
отрезка оси Ox .
					Вариант 21
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями xy = a2; y = x; y = 2a (a > 0).
2.	Определить			массу	полушара x2 + y2 + z2 = a2; z = 0 , если
плотность его в каждой точке равна аппликате этой точки.
3.	Вычислить			∫sin 3 xdl , где L – дуга		кривой	y = ln sin x от
	π до		= π .	L
x =	π до	x	= π .
1	4	2	2	∫(e2x − y2 )dx +(1−2xy)dy ,
	4		2
4.	Вычислить					где C	– треугольник

сторонами которого являются прямые y = 2; x = 0; y = x . Доказать, что данный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

5. Найти площадь части поверхности y = x2 + z2 , вырезанной цилиндром z2 + x2 =1 и расположенной в первом октанте.

6.	Найти div[u, v], где u = 2xi − yj +3zk;v = 3yi + zj − xk .
			Вариант 22
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y2 = 4 + x; x + 3y = 0 .
2.	Определить	объем	тела,	ограниченного поверхностями
z2 = 2ax; x2 + y2 = ax; z = 0; y = 0 .
3.	Найти массу	дуги	винтовой	линии x = 4a cost, y = 4a sin t,

z = 3at , если плотность ее в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки (0 ≤ t ≤ 2π).

		(3,2) x				2x + y
4.	Вычислить (1∫,1)				dx +		dy .
			(x + y)2			(x + y)2
5.	Используя формулу Остроградского, вычислить ∫∫(x + y)dydz +
							S
+ (y − x)dxdz + zdxdy через поверхность шара x2 + y2 + z2 =1.
6.	Найти rotF	, если F		= 3x2 y2i + 2y3zj − z2 x2k .
				Вариант 23
1.	С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями ay = x2 − 2ax; y = x .
2.	Вычислить	массу		тела,		ограниченного поверхностями

y = x2 + z2 ; y = b , если плотность в каждой его точке пропорциональна ординате этой точки.

		Вычислить ∫xyzdl , где L – дуга кривой				1		(0 ≤ t ≤1)
3.		Вычислить ∫xyzdl , где L – дуга кривой			z =	1	8t3	(0 ≤ t ≤1)
	1			L		3
x =	1	t	2	; y = t; .
x =	2	t		; y = t; .
	2

является потенциальным.

4.	Найти работу силы F = xyi +(x + y)j при перемещении мас-
сы m из начала координат в точку A(1, 1) по параболе y = x2 .
5.	С помощью формулы Стокса показать, что ∫ yzdx + xzdy + xydz
	C

по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив

интеграл по контуру	треугольника с вершинами O(0, 0, 0);
A(1, 1, 0); B(1, 1, 1).	вектора a = x3i + y3 j + zk через поверх-
6. Вычислить поток	вектора a = x3i + y3 j + zk через поверх-

ность шара x2 + y2 + z2 = a2 .

Вариант 24

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = ln x; x − y =1; x = 3.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями y2 = 4a2 −3ax;

y2 = ax; z = ±h .

3.	Найти массу дуги полуокружности x = a cost; y = asin t , если
плотность ее в каждой точке равна x2 y .
4.	Найти работу, производимую силой F = 4x2i + xyj при пере-

мещении массы m вдоль дуги y = x3 от точки O(0, 0) до точки C(1, 1).

5. Вычислить ∫∫x2dydz + y2dxdz + zdxdy , где S – внешняя сто-

рона части сферы, расположенной в первом октанте.

6. Доказать, что поле F = xi + yj + zk

(x2 + y2 + z2 )32

Вариант 25

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x; x2 + y2 = 2x; y = 0 .

2. Определить массу тела, ограниченного поверхностями 2x + z = 2a; x + y = a; y2 = ax; y = 0 (y > 0), если плотность в каждой его точке равна ординате этой точки.

3. Вычислить ∫ ydl , где L – первая арка циклоиды x = 3(t −sin t);

y = 3(1− cost).
4. Вычислить				∫xdy + ydx , где C	– треугольник со сторонами
	x		y	C
x = 0; y = 0;	x	+	y	=1. Доказать, что данный интеграл по любому
x = 0; y = 0;	a	+	b	=1. Доказать, что данный интеграл по любому
	a		b
замкнутому контуру равен нулю.
5. Вычислить				∫∫(x2 + y + z2 −4)dS ,	где S – часть поверхности
				S
2y = 9 − x2 − z2 , отсеченная плоскостью y = 0 (y > 0).
6. Найти циркуляцию векторного					поля F = yi + zj + xk вдоль

замкнутого контура, полученного от пересечения сферы x2 + y2 + z2 = 4 координатными плоскостями, расположенными в первом октанте.

Вариант 26

1. Построить область, площадь которой выражается интегралом

a	a2−y2
∫dy	∫dx . Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегриро-

0a−y

вания.

2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями x + z = a; x = 0; y = 0; y = a; z = 0 , если плотность его в каждой точке равна

x2 + y2 .

3. Вычислить ∫xdl , где L – отрезок прямой от точки (0, 0) до

точки (1, 2).


4.	Вычислить работу силы F = y i +(y − x)j при перемещении
единицы массы по дуге параболы y = a −						x2	из точки A(− a; 0) к
единицы массы по дуге параболы y = a −						a	из точки A(− a; 0) к
точке B(0,a).						a
точке B(0,a).
5.	Вычислить ∫∫x2dydz + y2dxdz + z2dxdy , где S							– внешняя сто-
		S
рона поверхности конуса z2 + y2 =			R2	x2	; 0 ≤ x ≤				.
			R2					3
								3
6.	3						3	3
6.	Найти линейный интеграл вектора				a = x i − y				j вдоль первой
четверти окружности x = 3cost; y = 3sin t .
		Вариант 27
1.	Построить область, площадь которой выражается интегралом

a	2a2 −x2
∫dx	∫dy . Вычислить этот интеграл. Поменять порядок интегри-

рования.

Определить

объем

тела,

ограниченного

поверхностями

x2 + y2 − z2 = 0; x2 + y2 + z2 = a2 (внутри конуса).

Найти массу дуги параболы

y =

, лежащей между точками

и (2,2), если плотность равна

Вычислить

∫xy2dx + yz2dy − x2zdz ,

где L –

отрезок прямой

OB;O(0, 0, 0); B(− 2, 4, 5).

С помощью формулы Остроградского, вычислить ∫∫x2dydz +

+ y2dxdz + z2dxdy

где

–

внешняя

сторона куба

0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ a; 0 ≤ z ≤ a .

Найти rota , если a = x

zi + y

xj + z

xk .

Вариант 28

1. Построить область, площадь которой выражается интегралом

1	2−x2
∫dx	∫dy . Изменить порядок интегрирования. Вычислить интеграл.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2 ;

z = x2 + y2 .

3.	Найти массу винтовой		линии	x = a cost; y = a sin t;
z = bt (0 ≤ t ≤ 2π),		если плотность в каждой ее точке пропорцио-
нальна квадрату расстояния этой точки до начала координат.
4.	Вычислить ∫(x − y)dx +(x + y)dy , где L – отрезок прямой со-
		L
единяющий точки A(2, 3) и B(3, 5).
5.	Вычислить	площадь поверхности		той части плоскости
x + 2y + z = 4 , которая расположена в первом октанте.
6.	Найти rotF	, если F = y3z2i	+ 4xz2 j − xy2k .
		Вариант 29
1.	Построить область, площадь которой выражается интегралом
0	0
∫ dy	∫dx . Изменить порядок интегрирования. Вычислить интеграл.
−2	y2 −4

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = x2 + y2; x + y = 4; x = 0; y = 0; z = 0 .

3. Вычислить ∫x2 + y2 dl , где L – верхняя половина кардиои-

ды ρ = a(1+ cos ϕ).

4. Поле образовано силой F = (x + y)i +(2xy −8)j . Найти работу поля при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности от точки (a, 0) до точки (0, a).

5.	Вычислить	массу	поверхности		z2 = x2 + y2 , заключенной
между плоскостями z = 0			и z =1, если поверхностная плотность
пропорциональна x2 + y2 .
6.	Найти циркуляцию		поля	F = yi	по контуру окружности
x = 2 cost; y = 2 + 2sin t .
			Вариант 30
1.	Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями ax = y2 −2ay;
x + y = 0 .
2.	Определить	массу	тела,	ограниченного поверхностями

az = a2 − x2 − y2; z = 0 , если плотность его в каждой точке пропорциональна аппликате этой точки.

3.	Вычислить ∫xydl по периметру прямоугольника, ограничен-
	L
ного прямыми x = 0; y = 0; x = 4; y = 2 .
4.	Вычислить ∫(x − y)dx + dy , где L – верхняя половина окруж-
	L
ности x2 + y2 = R2 (в положительном направлении).
5.	Найти площадь части поверхности 2x + y + z = 4 , которая
расположена в первом октанте.
6.	Найти дивергенцию градиента функции u = ln(x + 2y +3z).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]