Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2911 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

З а н я т и е 1 7

Изолированные особые точки

Аудиторная работа

17.1. Указать все конечные особые точки заданных ниже функ-

ций и определить их характер:

а.

sin z

б.

sin z

−

в.

г.

z + 2

(z −1)(z + i)

z(z +1)(z −1)3

д. z ezz3 .

−

ж. z2 sin1(z −1).

и. ez1−3i .

е. sin1 z . з. tg2 z.

к. cos z +12i .

17.2. Определить тип особой точки z = 0 для функций:

а.

cos z3

−1

б.

e3z −1

sin z − z

cos z −1

в.

z cos

17.3. Определить порядок нуля функции

		cos z −1	+	z2
а. 1− cos z.	б.			2	.

		e3z −1

Сравнить с ответом задачи 17.2б.

17.4. Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно удаленной особой точки (устранимую особую точку считать правильной):

а.		z2	.	б.	3z5	− 5z + 2		.
	5	− 2z2			z2	+ z	− 4

в.		z	.		г. 1 + 2z + 3z2 .
в.			.		г. 1 + 2z + 3z2 .
1 − 3z4
д. cos z.
					Домашнее задание
Выполнить по условию п. 17.1 и 17.2.
17.5.		z(π − z)		.	17.6.		z
									.
		sin 2z				(z +1)(z − 2)3 (z + i)5			.
17.7.	1− cos z .				17.8.	sin z .
		z2				z5
	1				17.10. z3 sin		1
17.9. ze z .							1	.
17.9. ze z .								.
17.11. sin z3.							z2
17.11. sin z3.					17.12. 1− z + 2z2.
17.13. sin z.

Ответы

17.1. а. z0 = 0 – устранимая особая точка.

б. z1 = 0 – устранимая особая точка; z2 = π4 – полюс первого по-

рядка.
в. z1 =1;	z2 = −i	– полюсы первого порядка.
г. z1 = 0,	z2 = −1 – полюсы первого порядка; z3 =1 – полюс тре-
тьего порядка.		z3 = −1 – простые полюсы.
д. z1 = 0,	z2 =1,	z3 = −1 – простые полюсы.
е. zk = kπ,	k Z – полюсы первого порядка.

ж. z1 = 0 – полюс второго порядка, zk =1+ kπ, k Z – полюсы первого порядка.

з. zk =	π	+ kπ =	π(2k +1)	, k Z – полюсы второго порядка.
	2		2

и. z = 3i – существенно особая точка. к. z = −2i – существенно особая точка. 17.2. а. z = 0 – простой полюс.

б. z = 0 – полюс третьего порядка. в. z = 0 – существенно особая точка.

17.3.а. z = 0 – нуль второго порядка. б. z = 0 – нуль третьего порядка.

17.4.а. Правильная точка.

б. z = ∞ – полюс третьего порядка.

в. Правильная точка (нуль третьего порядка). г. Полюс второго порядка.

д. Существенно особая точка.

17.5. z = 0, z	2	= π – устранимые особые точки,	z	k	= πk	,
1	2			k	2
					2

k= ±1, − 2, ±3, ... – полюсы первого порядка.

17.6.z1 = −1 – полюс первого порядка. z2 = 2 – полюс третьего порядка, z3 = −i – полюс пятого порядка.

17.7.z = 0 – устранимая особая точка.

17.8.z = 0 – полюс четвертого порядка.

17.9.z = 0 – существенно особая точка.

17.10.z = 0 – существенно особая точка.

17.11.z = 0 – нуль третьего порядка.

17.12.Полюс второго порядка.

17.13.Существенно особая точка.

З а н я т и е 1 8

Вычеты. Основная теорема о вычетах