Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

1 / 291 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 1»

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВТОРОГО КУРСА ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Учебное электронное издание

М и н с к 2 0 1 1

УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7

В 93

С о с т а в и т е л и :

А. Н. Андриянчик, Н. А. Микулик, Л. А. Раевская, Н. И. Чепелев, Т. И. Чепелева,

Е. А. Федосик, В. И. Юринок, Т. С. Яцкевич

Р е ц е н з е н т ы А. Д. Корзников, Н. С. Коваленко

Сборник заданий по математике для студентов второго курса инже-

В 93 нерно-технических специальностей втузов/ сост.: А. Н. Адриянчик [и

др.]. – Минск: БНТУ, 2011. –

–181 с.

Всборнике заданий по математике для студентов второго курса инженерно-технических специальностей для их аудиторной и самостоятельной работы приведены задачи и упражнения по основным разделам высшей математики в соответствии с действующей программой. В качестве основных рассматриваются 18 практических за-

нятий для каждого из двух семестров. К задачам, предназначенным для самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту контролировать правильность решаемых примеров. Приведены варианты типовых расчетов, являющихся обязательным элементом типовой учебной программы по математике учебных планов соответствующих специальностей БНТУ.

Издание является дополнением к существующим задачникам, будет полезным как для студентов дневной, так и заочной формы обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы.

Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-77-52 факс (017)292-91-37

E-mail: tchepeleva@gmail.com http://www.bntu.by/fitr-vm1.html Регистрационный № ЭИ БНТУ/ФИТР48-7.2011

©Андриянчик А.Н., Микулик Н.А., 2011 ©Чепелева Т.И., компьютерный дизайн, 2011 © БНТУ, 2011

		СОДЕРЖАНИЕ
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.								ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОЙ ПРЕМЕННОЙ...........................................................									5
Занятие 1.	Методы		исследования					сходимости
	знакоположительных			числовых рядов. Достаточные
	признаки	...........................................................................							5
Занятие 2.	Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ..............								7
Занятие 3.	Функциональные ряды. Область сходимости.................								9
Занятие 4.	Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена ......								11
Занятие 5.	Разложение функций в степенные ряды						. ........................		14
Занятие 6.	Разложение		функций	в	ряд	Фурье	на	интервале
	[−π;π], четных и нечетных функций .............................								17
Занятие 7.	Вычисление		двойных	и	тройных		интегралов		в
	декартовых координатах...................................................								21
Занятие 8.	Вычисление кратных интегралов в криволинейных
	координатах .......................................................................								23
Занятие 9.	Вычисление		криволинейных			и	поверхностных
	интегралов первого рода...................................................								26
Занятие 10.	Вычисление		криволинейных			и	поверхностных
	интегралов второго рода...................................................								28
Занятие 11.	Приложения кратных интегралов....................................								31
Занятие 12.	Приложения		криволинейных			и	поверхностных
	интегралов..........................................................................								34
Занятие 13.	Элементы теории поля......................................................								36
Занятие 14.	Функция		комплексной		переменной.			Предел.
	Производная. Условия Коши–Римана.............................								39
Занятие 15.	Интеграл от функции комплексной переменной............								41
Занятие 16.	Ряды Тейлора и Лорана.....................................................								43
Занятие 17.	Изолированные особые точки..........................................								47
Занятие 18.	Вычеты. Основная теорема о вычетах.............................								49
Типовой расчёт №1.		Ряды ..................................................................							53
Типовой расчёт №2.		Кратные, криволинейные и поверхностные
	интегралы. Элементы теории поля .................................								68

II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ..........................									87
Занятие 1.	Преобразование Лапласа. Изображение элементарных
	функций. Основные теоремы ...........................................								87
Занятие 2.	Дифференцирование и интегрирование оригиналов и
	изображений. Свертка функций.......................................								89
Занятие 3.	Применение операционного исчисления к решению
	линейных дифференциальных уравнений и систем
	дифференциальных уравнений ........................................								93
Занятие 4.	Элементы комбинаторики ................................................								96
Занятие 5.	Классическое		и	статистическое			определение
	вероятности		события.		Теоремы		сложения		и
	умножения вероятностей..................................................								99
Занятие 6.	Формулы полной вероятности и Байеса..........................								105
Занятие 7.	Последовательность независимых испытаний. Схема
	Бернулли. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона								... 108
Занятие 8.	Функция	распределения и			плотность		распределения
	вероятностей случайных величин....................................								110
Занятие 9.	Математическое ожидание и дисперсия .........................								114
Занятие 10. Законы распределения дискретных случайных величин									... 117
Занятие 11. Законы распределения непрерывных случайных величин 120
Занятие 12.	Двумерные		случайные		величины.			Законы
	распределения. Числовые характеристики двумерных
	случайных величин			...........................................................					124
Занятие 13.	Закон больших чисел ........................................................								131
Занятие 14.	Эмпирическая		функция		распределения.			Полигон.
	Гистограмма.......................................................................								134
Занятие 15.	Выборочная средняя, дисперсия,						начальные		и
	центральные эмпирические моменты распределения...								144
Занятие 16.	Точечные	и	интервальные			оценки		параметров
	распределения		....................................................................						145
Занятие 17.	Нахождение		параметров		линейной		регрессии по
	методу наименьших квадратов ........................................								149
Занятие 18.	Проверка статистических гипотез ...................................								151
Типовой расчёт №3. Операционное исчисление..............................									154
Типовой расчёт №4.		Теория		вероятностей		и математическая
	статистика ..........................................................................								161
ЛИТЕРАТУРА ..........................................................................................									181

I.ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПРЕМЕННОЙ

З а н я т и е 1

Методы исследования сходимости знакоположительных числовых рядов. Достаточные признаки

Аудиторная работа

1.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы:

а.

в.

∞ 1 . n∑=1n(n +1)

∞ 3n +5n n∑=1 15n .

	∞	1
б.	n∑=1			.
		(3n + 2)(3n +5)
г.	∞	9n − 2n	.
	∑	18n
	n=1

1.2. Исследовать сходимость следующих рядов с положительными членами:

∞

n +1

а.

∑

б.

∑

n=13n

+ 2

n=110n

∞

в.

∑

г.

∑

n=1n 3n

n=2 ln n

∞

2n −1

д.

∑

е.

∑

+1)3

n=1(n

n=12n2

∞

5 + n

∞

3n(n +1)

ж.

∑

з.

∑

n=125 + n3

n=1

∞

(n +1)n

и.

∑

к.

∑

n=1(2n +3)

n=1 n !

∞

3n2 − n −1

π n

л.

∑

м.

∑

sin

7n2 + 3n + 4

n=1

∞

1 n

1 n2

∞

1 n +

1 n2

н. ∑

о. ∑

n=13n

n=12n

∞

п.

∑

р.

∑

n=2 n ln n

n=1(10n +5)ln2 (10n +5)

∞

с.

∑

т.

∑(3n −1)sin

n=1(n + 3)ln(n + 3)ln(ln(n + 3))

n=1

∞

n +3 n

у.

∑

ф.

∑

arcsin

2n +5

n=1(2n)!

n=1

∞

х.

n∑=1

(5n +8)ln3(5n +8)

Домашнее задание

1.3. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:

∞	1		∞	7n −3n
а. ∑		.	б. ∑		.
а. ∑	(2n +1)(2n +3)	.	б. ∑	21n	.
n=0	(2n +1)(2n +3)		n=1	21n

1.4. Исследовать сходимость следующих рядов с положительными членами:

а.	∞	3n + 2		.
	∑	5n +1
	n=1
	∞		1
в.	n∑=1					.
		n2 + 2n +5
	∞		2n −1 n2
д.	∑				.
			2n
	n=1

б.

г.

е.

∑		1 .
∞

n=2		n2 −1
∞	3n (n + 2)!
∑		n5	.
n=1		n5

∞	1
n∑=1		.
n∑=1	(9n −4)ln2 (9n −4)	.

Ответы

1.1. а. б. 151 . в. 34 . г. 78 . 1.2. а. Расходится. б. Расходится.

в. Сходится. г. Расходится. д. Сходится. е. Расходится. ж. Сходится. з. Сходится. и. Сходится. к. Расходится. л. Сходится. м. Сходится. н. Сходится. о. Расходится. п. Расходится. р. Сходится. с. Расходится.

т. Сходится. у. Сходится. ф. Сходится. х. Сходится. 1.3. а. 12 . б. 13 .

1.4. а. Расходится. б. Расходится. в. Сходится. г. Расходится. д. Сходится. е. Сходится.

З а н я т и е 2

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Аудиторная работа

2.1. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость:

а.

в.

д.

ж.

и.

л.

н.

п.

∞ cos nα				.
∑	n2			.
n=1	n2
∞		πn.
∑sin		πn.
n=1		3
∞	(−1)n
∑			.
	4
		n
n=1		n
∑∞ (−		1)n+1			1	.
∑∞ (−		1)n+1			(n +1) 3n	.
n=1					(n +1) 3n

∑∞ (−1)n			n	.

n=1		9n −1
∑∞ (−1)n		1			.
			nln n
n=2
∞	(−1)n (2n −1)
∑
	2n +1
n=1

∑∞ (−1)n−1 2n +1 .
n=1	n(n + 2)

б.

г.

е.

з.

к.

м.

о.

∑∞ (−1)

n(n+1)

n=1

∞ (−1)n

∑

n=1

∞ (−1)n−1 n

∑

6n −5

n=1

∞

(−1)n

∑

2n +1

n=0

∞

∑(−1)

5n + 3

n=1

∑∞ (−1)n 2 + (−1)n .

n=1

∑∞ (−1)n

(n +1)ln2 (n

n=1

+1)

2.2. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму следующих рядов:

	∞ (−		1)n				∞	n+1	1
а.	∑					б.	∑(−1)			.
а.	∑		+1			б.	∑(−1)		n4	.
	n=1n3		+1				n=1		n4
			(−1)
в.	∞			n
	n∑=2				.
	n∑=2	n(n +1)(n + 2)			.

Домашнее задание

2.3. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость:

∞

cos

αn

∞

(−1)n−1

а. ∑

б.

∑

n +5

n=1

в. ∑∞ (−1)n

n +5

г. ∑∞ (−1)n+1

3n −1

n=1

∞

n+1

д. ∑(−1)

е. ∑(−1)

ln(n +1)

2n +

n=1

∞ (−1)n+1

ж. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму ряда ∑ .

n=1 n !

Ответы

2.1. а. Сходится абсолютно. б. Сходится абсолютно. в. Расходится. г. Сходится абсолютно. д. Сходится условно. е. Расходится. ж. Сходится абсолютно. з. Сходится условно. и. Расходится. к. Сходится абсолютно. л. Сходится условно. м. Расходится. о. Расходится. п. Сходится абсолютно. р. Сходится условно. 2.2. а. −0,41.

б. 0,95. в. 0,03. 2.3. а. Сходится абсолютно. б. Сходится условно.

в. Сходится абсолютно. г. Расходится. д. Сходится условно. е. Сходится абсолютно. ж. 0,63.

1 / 291 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]