Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

lim (lnln x)

lim (lnln A lnln 2) .

lim

xln x

A 2 xln x

Так как несобственный интеграл

расходится, то

x ln x

расходится и ряд

nln n

n 2

Аудиторные занятия

1. Установить, сходятся ли указанные ряды, исходя из оп-

ределения суммы ряда:
1.1.	1 2	4		8	(Отв. Сходится)

	3	9	27		(Отв. Расходится)
1.2. 2 6 10 14 18
		1
1.3.					(Отв. Сходится)
			3)
	n 1 n(n

2. Установить, сходятся ли ряды, используя необходимый признак сходимости ряда:

		2n 1
2.1.							(Отв. Расходится)
2.1.		2n 2					(Отв. Расходится)
	n 1	2n 2
				n 1
2.2.							(Отв. Расходится)
2.2.			n 2				(Отв. Расходится)
	n 1		n 2
2.3.					5	n	(Отв. Расходится)
2.3.		1			n		(Отв. Расходится)
	n 1				n
		n2 1
2.4.							(Отв. Ряд можетсходитьсяи расходиться)
2.4.		(n 1)3					(Отв. Ряд можетсходитьсяи расходиться)
	n 1	(n 1)3
2.5.		соs			1		(Отв. Расходится)
2.5.		соs			1		(Отв. Расходится)
	n 1				n

	n2 2	(Отв. Расходится)
2.6.	n 1	(Отв. Расходится)
n 1	n 1

3. Установить, сходятся ли ряды, используя признаки срав-

нения:		5n
3.1.		5n		1		(Отв. Расходится)
3.1.		2n				(Отв. Расходится)
	n 1	2n
			1
3.2.			1			(Отв. Сходится)
3.2.				6		(Отв. Сходится)
	n 1 n2			6
			1
3.3.			1			(Отв. Сходится)
3.3.						(Отв. Сходится)
	n 1 n 5n
		2k
3.4.						(Отв. Сходится)
3.4.		1 22k				(Отв. Сходится)
	n 1	1 22k
		n 1
3.5.						(Отв. Расходится)
3.5.				1		(Отв. Расходится)
	n 1 n2			1
			1
3.6.			1			(Отв. Сходится)
3.6.			n2			(Отв. Сходится)
	n 1 n		n2		1

4. Установить, сходятся ли ряды, используя признаки Даламбера и Коши:

		n3
4.1.					(Отв. Сходится)
4.1.		(n 1)!			(Отв. Сходится)
	n 1	(n 1)!
4.2.		2n			(Отв. Расходится)
4.2.					(Отв. Расходится)
	n 1 n2
		1 n 1		n2
4.3.			n		(Отв. Расходится)
4.3.					(Отв. Расходится)
	n 1	2n
			1
4.4.					(Отв. Расходится)
4.4.		(n 1) ln(n 1)			(Отв. Расходится)
	n 1	(n 1) ln(n 1)

		1
4.5.		1	(Отв. Сходится)
4.5.		(ln n)n	(Отв. Сходится)
	n 2	(ln n)n
		1
4.6.		1	(Отв. Расходится)
4.6.		n ln n	(Отв. Расходится)
	n 2	n ln n

Домашние задания

1. Установить, сходятся ли указанные ряды, исходя из определения суммы ряда:

		1
1.1.						(Отв. Сходится)
1.1.		n	1			(Отв. Сходится)
	n 1	3
			1
1.2.			1			(Отв. Сходится)
1.2.						(Отв. Сходится)
	n 1 n(n 2)
2. Установить, сходятся ли указанные ряды:
2.1.	10n 1					(Отв. Расходится)
	10n 5
			n 2
2.2.			n 2			(Отв. Расходится)
2.2.						(Отв. Расходится)
	n 1 n2 n 1
			1
2.3.			1			(Отв. Сходится)
2.3.		n	n			(Отв. Сходится)
	n 1	3	n
2.4.		7n 1				(Отв. Расходится)
2.4.		5n				(Отв. Расходится)
	n 1	5n
				1
2.5.	arcsin			1		(Отв. Расходится)
2.5.	arcsin				n	(Отв. Расходится)
	n 1				n
			1
2.6.	tg		1			(Отв. Сходится)
2.6.	tg		n n			(Отв. Сходится)
	n 1		n n
			1
2.7.			1			(Отв. Сходится)
2.7.		(n 4)!				(Отв. Сходится)
	n 1	(n 4)!

2.8. 5n 6 n

n 1 3n 4

2.9.n 1 (n 1)ln2 (n 1)

n 2

2.10.n 4nn 1

		n
	2.11.
	2.11.	n!
	n 1	n!

1 2 n

2.12.n 5n 1

(Отв. Сходится)

(Отв. Сходится).

ЗАНЯТИЕ 2

Знакопеременные ряды. Абсолютная иусловнаясходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница


Ряд an называется знакопеременным, если он содер-
n 1
жит как положительные, так и отрицательные члены.

Если ряд	an	, сходится, то и ряд	an сходится. В этом
n 1			n 1

случае знакопеременный ряд an			называется абсолютно
сходящимся.		n 1
сходящимся.

Если же знакопеременный ряд an сходится, а ряд				an
		n 1	n 1

расходится, то ряд		an называется условно сходящимся.

n 1

Ряд

	a2	a3 a4	... ( 1)n an...,
( 1)n an a1
n 1

где аn > 0, n = 1, 2,… называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

( 1)n n ,

n 1

где аn >0, n = 1, 2,… удовлетворяют двум условиям:

1) a1 > a2 > a3… > an >;

2) lim an 0 ,

то ряд сходится.

Примеры

1. Исследовать сходимость рядов:

sin n

n n

n 3n 1

n 1

а)

;

б) ( 1)

;

в) ( 1)

;

г) ( 1)

3n 2

n 1

а) Этот ряд является знакопеременным. Исследуем на схо-

	sin n	, применяя к этому ряду первый признак
	sin n
димость ряд	n2
n 1
n 1

сходимости. Сравним исходный ряд с0 сходящимся рядом Ди-

	1
рихле		, (р = 2 > 1).
рихле		, (р = 2 > 1).
n 1n2
			sin n	1	.
			sin n	1
			n2
			n2	n2

Следовательно,

ряд

sin n

–

сходится, и, значит, ряд

sin n

n 1

сходится абсолютно.

n 1 n2

б)

Ряд ( 1)

является знакопеременным. Исследуем

n 1

ряд,

, составленный из модулей, по признаку Даламбера:

n 13

lim

an 1

lim

(n 1)

lim

(n 1) 3n

3n 1

3n 1 n

1 lim

(n 1)

1 lim

1 n

1 1,

3 n

следовательно,

сходится, и, значит, исходный ряд

ряд

n 1 n

( 1)

сходится абсолютно.

n 1

3n 1

в)

Ряд ( 1)

является знакопеременным. Приме-

n 1

ним к ряду

, составленному из модулей, необходи-

n 1

мый признак сходимости:

lim an lim

3n 1

lim

3 n

1 0 ,

3n 2

n 3

следовательно,				ряд расходится,	а	значит,			исходный ряд
		n 3n 1
( 1)		n 3n 1		не обладает абсолютной сходимостью. Иссле-
( 1)			3n 2	не обладает абсолютной сходимостью. Иссле-
n 1			3n 2				n 3n 1

дуем	знакочередующийся ряд				( 1)				по признаку
дуем	знакочередующийся ряд				( 1)			3n 2	по признаку
					n 1			3n 2

Лейбница. Так как не выполняется второе условие, а именно lim an 0 , то исходный ряд расходится.

	n 1		1	, составлен-
г) Ряд ( 1)	n	– знакопеременный. Ряд	n
n 1
		n 1

ный из модулей, – гармонический расходящийся ряд. Значит,

			n 1
ряд ( 1)			n 1		не обладает абсолютной сходимостью.
ряд ( 1)				n	не обладает абсолютной сходимостью.
n 1				n		n 1

Исследуем знакочередующийся ряд ( 1)							по признаку
Исследуем знакочередующийся ряд ( 1)						n	по признаку
					n 1	n
Лейбница. Проверим два условия:
1. a1 > a2 > a3… > an > аn+1…
1		1		, для n 1, 2, 3,...
n		n 1		, для n 1, 2, 3,...
n		n 1
2.	lim an 0 ;
	n
lim		1 0 .
n n
								n 1
Так как два условия выполняются, то ряд						( 1)		n 1	явля-
Так как два условия выполняются, то ряд						( 1)		n	явля-
						n 1		n

ется условно сходящимся.

Аудиторные задания

1. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды.

			( 1)n
1.1.
1.1.		(3n 1)!
	n 1			n 2n2
				n 2n2				1
1.2. ( 1)				5 n2
	n 1			5 n2
1.3.		( 1)n (3n 1)
1.3.			n(n 2)
	n 1		n(n 2)
			( 1)n		1
1.4.
1.4.					nln2 n
	n 2				nln2 n
1.5.									1
1.5.	( 1)n ln 1								n
	n 1								n
							3n			n
1.6. ( 1)				n
1.6. ( 1)						3n		1
	n 1					3n		1

( 1)n

1.7.n 1n 3n

1.8.( 1)n

n 1 n

1.9.cos na

n 1 n!

(Отв. Сходится абсолютно)

(Отв. Расходится)

(Отв. Сходится условно)

(Отв. Сходится абсолютно)

(Отв. Сходится условно)

(Отв. Расходится)

(Отв. Сходится абсолютно)

(Отв. Сходится условно)

(Отв. Сходится абсолютно)

	( 1)n
1.10.		(Отв. Сходится условно)
1.10.	ln n	(Отв. Сходится условно)
n 2	ln n
		Домашнее задание

1. Исследовать на абсолютнуюиусловнуюсходимость ряды:

n2		(Отв. Сходится абсолютно)
1.1.		(Отв. Сходится абсолютно)
n 12n
	10n 1	(Отв. Расходится)
1.2. ( 1)n	10n 1	(Отв. Расходится)
n 1	10n 1

	n		( 1)n (6n 5)
1.3. ( 1)							(Отв. Сходится абсолютно)
1.3. ( 1)					10n		(Отв. Сходится абсолютно)
n 1					10n
	n ln n
1.4. ( 1)	n ln n						(Отв. Сходится условно)
1.4. ( 1)			n				(Отв. Сходится условно)
n 1			n
					1
1.5. ( 1)n sin					1		(Отв. Сходится абсолютно)
1.5. ( 1)n sin					n2		(Отв. Сходится абсолютно)
n 1					n2
				1
1.6. ( 1)n							(Отв. Сходится условно)
1.6. ( 1)n			ln(n 1)				(Отв. Сходится условно)
n 1			ln(n 1)			n
					4n	n
1.7. ( 1)n		1					(Отв. Сходится абсолютно)
1.7. ( 1)n		1		5n 3			(Отв. Сходится абсолютно)
n 1				5n 3

ЗАНЯТИЕ 3

Функциональные ряды

Функциональным называется ряд, членами которого являются функции:

	x ... Un x ... ,
Un x U1 x U2	x ... Un x ... ,	(3.1)

n 1

где U1 x , U2 x , U3 x ,... – заданная последовательность функций.

При фиксированном значении x x0 функциональный ряд становится числовым:

	U1 x0	U2 x0 ... Un x0	...
Un x0				(3.2)

n 1

Множество точек, в которых ряд (3.1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Суммой функционального ряда является функция

	n
S x lim Sn x lim Uk x .
n	n k 1

Если ряд (3.2) расходится, то точка x x0 является точкой

расходимости ряда (3.1).

Для определения области сходимости ряда (3.1) можно пользоваться признаками Даламбера и Коши, считая х фиксированным:

по Даламберу: lim Un 1 x 1;

n Un x

по Коши: lim n Un x 1.

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на промежутке, если для любого 0 существует такой

номер N , что при n > N и всех х из рассматриваемого промежутка выполняется неравенство

Uk x .

kn 1

Вэтом определении важно то, что номер N зависит лишь от 0 , но не зависит от выбора х.

Признак Вейерштрасса. Функциональный ряд (3.1) сходится абсолютно и равномерно на некотором промежутке, если существуетсходящийсячисловойряд сположительными членами


		an a1 a2 .... an ...		(3.3)
		n 1
такой, что	Un x	an	n 1, 2,... для всех x	из данного про-
такой, что	Un x	an	n 1, 2,... для всех x	из данного про-
межутка.

Ряд (3.3) в этом случае называется мажорантным для ряда (3.1).

Свойства функциональных рядов

1. Сумма равномерно сходящегося ряда функций, непрерывных в замкнутом промежутке a, b , есть функция, непре-

рывная в данном промежутке.

2. Если члены ряда (3.1) непрерывны в замкнутом промежутке a, b и этот ряд сходится равномерно на a, b , то его

b		b	Un x dx
	Un x dx		Un x dx

a n 1		n 1a

(другими словами, возможно почленное интегрирование ряда). 3. Если члены ряда (3.1) имеют непрерывные производные

		a,	b и ряд				х равномерно
в замкнутом промежутке		a,	b и ряд			Un	х равномерно
сходится на a, b , то ряд						n 1
сходится на a, b , то ряд

					х .
	Un x			Un	х .
				n 1
n 1				n 1

(другими словами, возможно почленное дифференцирование ряда).

4. Если ряд (3.1) сходится равномерно в некоторой области

и каждый член ряда имеет конечный предел lim Un x Cn ,

x a

где a – предельная точка данной области, то к пределу можно перейти почленно:


lim Un x limUn x .
x a n 1	n 1х а

Примеры

1 x 1 n

1. Найти область сходимости ряда n 1n

x 3

Решение. Считая x фиксированным, применим к исходному

ряду признак Даламбера: Un x

1 x 1 n

1 x 1 n 1

, Un 1

x 3

n 1

x 3

x 1 n 1

Un 1 x

n 1 x 3

Тогда lim

lim

Un x

1 x 1

n 1

n x 3

x 1

lim

x 3

n 1

x 3

Ряд сходится при

x 1

x 3

Решаем полученное неравенство:

x 1

1 0

x 1 x

x 3

x 1

x 1 x

1 0

x 3

x 2.

2x 4

x 2

3 0

x 3

Проверим поведение ряда при x 2 . Имеем

							1	1 n		n 1		.
									1		n	.
					n 1		n	1	n 1		n
Проверим выполнение условий признака Лейбница.
1)		U1	1	U2		1	1-ое условие выполняется.
1)		U1	1	U2		1	1-ое условие выполняется.
						2
						2
2)		lim Un lim				1 0 2-ое условие выполняется.
	n			n n
Следовательно, по признаку Лейбница этот ряд сходится, а

точка x 2 включается в область сходимости исходного ряда.

Т. е. областью сходимости является промежуток 2;

x 2

2. Найти область сходимости ряда

n 1

Решение. Применим признак Коши:

lim n

Un x

lim n

x 2 n

lim

x 2

4x 1

n 2

4x 1

x 2

1 1 .

Ряд будет сходиться при

4x 1

Из полученного неравенства имеем:

x 2

1 0

x 2 8x 2

8x 4

4x 1

8x 2

x 2 1

x 2

2 8x 2

2 1

1 0

8x 2

4x 1

8x 2

8x 2 0

	;	1	0;	.
Ряд сходится при x		4

Проверим поведение ряда на границе. При x 14 ряд не

определен. Следовательно, эта точка не включается в область сходимости.

При x 0 имеем		2	n
При x 0 имеем		1		( 1)n 2n . Этот ряд расхо-
	n 1	1		n 1

дится, так как его общий член не сходится к нулю. Поэтому x 0 не принадлежит области сходимости. Итак, область

	;	1	0; .
сходимости исходного ряда является	;		0; .
		4
			1
3. Можно ли почленно интегрировать ряд			1		?
3. Можно ли почленно интегрировать ряд				x4 n2	?
		n 1		x4 n2

Данный ряд равномерно сходится на , , так как для

него существует мажорантный ряд n12 (ряд Дирихле,

2 1) .

Каждый член ряда – непрерывная функция на всей числовой прямой. Следовательно, данный ряд можно почленно интегрировать по любому конечному промежутку.

Аудиторные задания

1. Найти область сходимости ряда:
		1	2x 3 n			5			5
1.1.				(Отв.	;	4			4	; ).
1.1.				(Отв.	;					; ).
	n 1	n!	4x 5
			1	(Отв. ; 1			1;	).
1.2.
1.2.		2n 1 x2n 1
	n 1	2n 1 x2n 1

(Отв. ; 0 ).

1.3.

2nx

n 1

(Отв. ; 1 1; 1 1; ).

1.4.

x2n

n 1 3

2 2; 2 ).

1.5.

3 x2

3 x2 2 3 x2 3 ... (Отв. 2;

n2 1

(Отв. ; 2

1.6.

; ).

5x 9 2n 1

n 1n2

1 n 1 x n

1.7.n 12n 1 1 x

( 1)n 1

1.8.n 1 n 3n (x 5)n

x2n 1

1.9.2n 1n 1


1.10. 3n2 xn2
n 1	(x 1)2n

1.11.	n 9n
n 1

1.12. 1 x 1

	1 x		n
1.13.
1.13.		1
n 1	n x	1
	1
1.14.	1
1.14.	1 x2n
n 1	1 x2n
	n x	n
1.15.	n x
1.15.	n3 x2n
n 1	n3 x2n

(Отв. 0; ).
	; 4			2			1
(Отв.	; 4			3	5		3		; ).
				3			3
(Отв. ; 1 1; ).
	;			1		1
(Отв.	;					3		; ).
				3		3
(Отв. ( 2; 4 )).
		5
(Отв.		2	; ).
		2
		1
(Отв.		2	; ).
		2

(Отв. ; 1 1; ).

(Отв. ; ).

n x

1.16.ne

1.17.1 x2n

x(x n) n

1.18.nn 1

1.19.

1 xn

n 1

1.20.

n 1

( 1)n

1 x n

1.21.

2n 1

1 x

n 1

1.22.

( 1)

nln x

n 1

1 x n

1.23.

n 1

1 x

( 1)n

1.24.

n xn

n 1

2n sin

1.25.

n 1

1 x n

1.26.

100

n 1

1 x

2n sinn x

1.27.

n 1

( 1)n

2 x n

1.28.

2 x

n 1

(Отв. 0; ).

(Отв. ; 1 1; 1 1; ).

(Отв. 1; 1 ).

(Отв. ; 1 1; ).

(Отв. 0; ).

(Отв. 1; ).

(Отв. ; 0 ).

(Отв. ; 1 1; ).

(Отв. ; ).
(Отв. ; 0 ).
(Отв.	x k		,	k z ).

		6
(Отв. ; 0 ).

2. Можно ли почленно интегрировать ряд в области его сходимости

		1
2.1.		1	(Отв. Да).
2.1.		x2 n2	(Отв. Да).
	n 1	x2 n2
2.2.	cos nx		(Отв. Да).
2.2.		n	(Отв. Да).
	n 1	3

3. Можно ли почленно дифференцировать ряд в области его

сходимости.
3.1.	cos nx		(Отв. Да).
		n8
	n 1
3.2.	sin nx		(Отв. Да).
		5n
	n 1

Домашнее задание

1. Найти область сходимости ряда.

1.1. nx

n 1

1.2.n e

n 1

n xn

1.3. n3 x2n

n 1

x3n 3

1.4.n 1 (2n 1)8n 1

1.5.8n x3narctg nxn 1

1.6. e n2 x

n 1

(Отв. (1; + )).

(Отв. (– ; 0)).

(Отв. (– ; + )).

(Отв. [–2; 2)).
(Отв.	1	;	1
	2		2	).

(Отв. (0; + )).

2. Можно ли почленно интегрировать ряд

		1
			?	(Отв. Да).
	x2	n n	?	(Отв. Да).
n 1	x2	n n

3. Можно ли почленно дифференцировать ряд

	sin nx	?	(Отв. Да).
	n7	?	(Отв. Да).
n 1	n7
			ЗАНЯТИЕ 4
			Степенные ряды

Функциональный ряд вида

an (x a)n ,

n 1

где ai – действительные числа, называется степенным. Основное свойство степенного ряда состоит в следующем.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится при x x0 , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству x a x0 a .

В частности, из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда обязательно реализуется одна и только одна из трех возможностей:

1)ряд сходится только при x а;

2)ряд сходится при любом x;

3)существует такое положительное число R, что ряд абсо-

лютно сходится при всех x a R и расходится при всех x a R .

В третьем случае число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал x a R – интервалом схо-

димости. В первом случае считают, что радиус сходимости равен нулю, а во втором R .

На концах интервала сходимости (в точках x R ) степенной ряд может вести себя по-разному – возможны любые варианты абсолютной или условной сходимости или расходимости.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1. Если среди коэффициентов ряда an нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности

x а , то

		an
R lim			,	(4.1)
	an 1
x

при условии, что предел (конечный или бесконечный) существует.

2. Если исходный ряд имеет вид

an (x a)np ,

где р – некоторое определенное целое положительное число: 2, 3,…), то

		an
R р lim			.	(4.2)
	an 1
n

3. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степени раз-

ности x а любая (т. е. не образует арифметическую про-

грессию, как в предыдущем случае), то радиус сходимости можно находить по формуле

R	1		,	(4.3)
	lim n	an
	lim n	an
	n
	n
в которой используются значения an			отличные от нуля. (Эта

формула пригодна и для случая 1 и 2).

4. Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.


Записав ряд в виде Un (x) an (x a)n , интервал схо-
	n 1		n 1
димости находят из неравенств
lim	Un 1	< 1 или	lim n	Un	1.


n	Un		n

Отметим следующие свойства степенных рядов.

Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости, при этом если

			n				n 1
S(x) an (x a)			n				n 1	,
S(x) an (x a)				, то S	(x) nan (x a)			,
и	n 1					n 1
и		an (x a)n 1
x		an (x a)n 1			,	где R x a R .
S(x) dx		n		1	,	где R x a R .
a	n 1	n		1

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно производить над степенным рядом сколько угодно раз.

Следовательно, суммастепенногоряда внутриего интервала сходимости являетсябесконечнодифференцируемойфункцией.

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда

1 xn .

n 1 n

Решение. Находим радиус сходимости ряда:

lim

1 :

R lim

lim

Cn 1

n 1

Далее, исследуем сходимость ряда при х = 1.

Если х = 1, то

данный ряд становится гармоническим рядом

, который

n 1

расходится. Если х = –1, то получаем знакочередующийся ряд

–1 12 13 ( 1)n 1n ,

который сходится по признаку Лейбница. Итак, область сходимости ряда – полуинтервал 1 x 1.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

n 1

2 .

Решение. Здесь an

an 1

имеем

n 1 2

R lim

n 1 2

lim

lim 1

an 1

Следовательно,

ряд

сходится,

если

1 x 2 1, т. е.

1 x 3.

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если

				1
x 3 ,	то получим ряд					сходится, как обобщенный ряд
x 3 ,	то получим ряд					сходится, как обобщенный ряд
		1		n 1n2
		1
Дирихле			с показателем степени больше единицы
Дирихле			с показателем степени больше единицы
1	n 1n p
1
(	– сходится при			p 1,		расходится p 1).
(	– сходится при			p 1,		расходится p 1).
n 1n p					1
Если x 1,		то 1 n			1	– сходится и притом абсолютно,
Если x 1,		то 1 n			n2	– сходится и притом абсолютно,
			n 1		n2

т. к. сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Итак, степенной ряд сходится для значений x , удовлетворяющих двойному неравенству 1 x 3.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

5 n.

n! x

n 1

Решение. Здесь an n!

an 1

n 1 !, тогда

R lim

lim

an 1

n n 1 !

n n 1 n!

n n 1

Следовательно, ряд сходится только при

x 5 0,

т. е. в

точке x 5.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

n 1 n!

Решение. Здесь an

an 1

, тогда

n 1 !

(n 1)!

n 1 n!

lim n 1 .

R lim

lim

an 1

п!

Следовательно, ряд сходится при любом значении x . Отсю-

да, между прочим, заключаем, что lim xn 0 при любом x .

n n!

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

	1	x3 n 1 1	x	3		x	6			x	9
								...				...
	10n 1				102				103
n 1		10

Решение. Ряд является геометрической прогрессией со знаме-

нателем q		x3	. Он сходится, если	x3	1, и расходится, если
		x3		x3
	10			10
	10			10

x3 1. Следовательно, промежуток сходимости ряда опреде10

ляется двойным неравенством 3 10 x 3 10 . Тот же результат получится, если воспользоваться формулами (4.2) и (4.3).

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

x5n .

n 1

2n 1

Решение. Полагая t x5 , получим степенной ряд

2 1

n 1

и его исследуем на сходимость. Здесь an

an 1

2n 1

тогда

lim

2n 2n 1

1 lim 2n 1

1 lim

2 n

1 .

R lim

an 1

n 2n 1 2n 1

2 n 2n 1

2 n

Таким образом, ряд сходится, если	t	1 .
Таким образом, ряд сходится, если	t	1 .
		2
		2

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. При

имеем

Ряд расходится (для этого сравним

n 12n 1

его с гармоническим рядом

Применим предельный

n 1

признак сравнения. Здесь an

2n 1

lim

n bn

n 2n 1

2 n

Следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, а т. к. гармонический ряд расходится, то расходится и исследуемый ряд.

Окончательно: область сходимости исходного ряда – промежуток 512 , 512 .

	n 1		n
			2	(x 2)2n.
Пример 7. Исследовать на сходимостьряд

n 1		2n 1

Решение. Здесь		n 1	n
	an			. Для отыскания радиуса схо-
		2n 1

димости воспользуемся формулой (4.3)

R		1
R		n 1	n
			n
			2
	lim n
	lim n	2n 1
	n	2n 1

				1
lim	2n 1	lim	2 n		2 .
lim	n 1	lim			2 .
n	n 1	n	1	1
				n

Следовательно, 2 (x 2)2 2 , т.е.

	2	2	x R
(x 2)		2						.
				2	x 2	4	2	.
	2		4	2	x 2	4	2
(x 2)		2
(x 2)		2

В результате получим 4 2 x 2 4 2 .

Исследуем сходимость на концах отрезка. Пусть x 2 4 2 . Имеем

					n		n											n															n
		n 1 2					n				2n 2 2																					1	2
						22																				1								.
		2n				22																				1					2n 1			.
n 1		2n	1						n 1				2n 1									n 1									2n 1
										n													1						(2n 1)n
								1 2
								1 2																					(2n 1)2
		lim	1									lim 1
		lim	1				2n 1					lim 1										2n 1
Но		n					2n 1						n									2n 1
Но																			lim				1
			n										n										1
						1									1									2							1
						1			lim						1				n 4					2							1	4 e 0
lim e2n 1						2 en					2n 1				2		e								n		e4					4 e 0
	n
и ряд расходится.																												x 2 4 2 . Итак
Аналогично, это же справедливо и при																												x 2 4 2 . Итак
область сходимости ряда 2 4														2 x 2 4 2 .
Пример 8. Найти сумму ряда																	x3			x4					x5					x6		(			x	1) .
																	x3			x4					x5					x6

																3					4					5					6
																3					4					5					6
Решение. Обозначим искомую сумму ряда через, S(x) т. е.
				S(x)					x3				x4				x5					x6
																																		(4.4)
									3				4			5					6													(4.4)
									3				4			5					6

Продифференцируем почленно равенство (4.4):

	2		3		4		5	x2		x

S (x) x		x		x		x			,		1
								1 x

(применена формула суммы членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда, учитывая, что S(0) 0 , находим:

S(x) S (t)dt

t 1

x ln(1 x),

1 t

t 1

Пример 9. Найти сумму ряда

2x2 3x3 4x4 5x5 ,

Решение. Обозначим эту сумму через S(x) , т. е.

S(x) = 2x2 3x3 4x4 5x5

Данное равенство перепишем так: S(x) x Q (x) , где

Q (x) 2x 3x2 4x3 5x4

Почленное интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов убывающей геометрической прогрессии:


x	x			x	x	x		x	2
Q(t)dt 2tdt 3t2dt 4t3dt							5t4dt x2 x3 x4 x5	x		,
Q(t)dt 2tdt 3t2dt 4t3dt							5t4dt x2 x3 x4 x5	1 x		,
0	0			0	0	0		1 x
где b1 x		2	;
где b1 x			;	q x . Отсюда найдем Q (x) :

Q (x)

(x 1)

2 ,

(1 x)2 .

поэтому S(x) x Q (x)

Аудиторные задания

1. Найти сумму ряда

(Отв. S(x)

x 1

n 1

2. Исследовать на сходимость степенные ряды.

(x 1)n

2.1.

(Отв. x ).

n 1(2n

1)!

(x 4)n

2.2.

(Отв. 3 x 5 ).

n 1

(x 1)n

2.3.

(Отв. 1 x 3 ).

n 12n

(Отв. x 0 ).

2.4.

(n x)n

n 1

2.5.		5	n		xn
2.5.		5			xn
	n 1 n!
2.6.		1	x		2n
2.6.		n	x
	n 1
					1			x2n
2.7.					1
2.7.						3)8n
	n 1(4n					3)8n
				1			xn
2.8.				1
2.8.			n			n
	n 12				3

(Отв. Расходится).

(Отв. 1 x 1 ).

(Отв. 2 x 2 ).

(Отв. 3 x 3 ).

	n	x 1		n
2.9.
			2
n 1n 1

1 n

2.10.n 1n(n 1) x

3.Найти сумму рядов

n n 1

3.1.n 1an x , если x a

xn 1

3.2.n 1(n 1)an , если a x a

(Отв. 1 x 3 ).

(Отв. 1 x 1).

(Отв. (a ax)2 ). (Отв. (aaln ax) x ).

Домашние задания

1. Найти область сходимости степенного ряда:

1.1.					1	n2		xn
1.1.		1			n			xn
	n 1				n
1.2.			( 2)n (x 2)n
1.2.						n
	n 1			xn		n
				xn
1.3.
1.3.				n 2n
	n 1			n 2n
					( 1)		n	x	n
1.4.					( 1)			x
1.4.			(n 1)				ln(n 1)
	n 1		(n 1)				ln(n 1)


1.5. n5n (x 3)n
n 1		2
	3n	2	(x 2)n
1.6.	3n		(x 2)n
n 1	n!

	1	;	1
Отв.	е	;	e	.
	е		e

Отв. 2,5; 1,5 .

Отв. 2; 2 .

Отв. 1; 1 .

Отв. 2,8; 3,2 .

Отв. x 2 .

	(x 1)	n	Отв. 3; 1 .
1.7.
	n(2n	1)
n 1

1.8.

(x 2)n

n n 1

n 1

(x 1)n

1.9.

2n 22n

n 1

(x 2)n

1.10.

n 1

1.11.

(x 3)n

2n 5

n 1

(x 1)n

1.12.

2n 52n

n 1

1.13.

n 1

1.14.

2n (x 2)n

n(n 1)

n 1

1.15.

n 1

1.16.

n 1

1.17.

n 1

1.18.

n 1

1.19.

n 1

1.20.

n 1

10n (x 1)n

(x 1)n

3 n 3n

(x 2)n

ln(n 1) (x 5)n 5n n2 n!(x 3)n

100n (x 2)n n !

Отв. [1;3] .

Отв. 3; 5 .

Отв. 6; 2 .

Отв. 1; 5 .

Отв. 26; 24 .

Отв. 1; 3 .

Отв. 1,5; 2,5 .

Отв. 0,9; 1,1 .

Отв. 4; 2 .

Отв. 1; 3 .

Отв. 0; 10 .

Отв. x 3 .

Отв. ; .

1.21.			1 n2	(x 1)n
1.21.				(x 1)n
	n 1		3
1.22.			1 n2	(x 2)n
1.22.				(x 2)n
	n 1		5

1.23.	3n2 2 n (x 1)n
	n 1	(x 3)n
1.24.		(x 3)n
1.24.			n2 4
	n 1		n2 4		n
			(x	2)	n
1.25.			(x	2)
1.25.		(2n 1) 2n
	n 1	(2n 1) 2n
			(x 1)n
1.26.
1.26.		(x 1)ln2 (n 1)
	n 1	(x 1)ln2 (n 1)
		( 1)n 1(x 2)n
1.27.
1.27.		(x 1)ln(n 1)
	n 1	(x 1)ln(n 1)

1.28.	n 3n xn

n 1

Отв. ; .

Отв. x 1.

Отв. [ 4; 2].

Отв. 0; 4 .

Отв. [ 2;0] .

Отв. 1; 3 .
	1	;	1
Отв.	3	;	3	.
	3		3

2. Почленно дифференцируя или интегрируя данный степенной ряд, найти его сумму.

Указание. В некоторых примерах сумму ряда следует дом-

ножить или разделить на x, x2 и т. д.
2.1.	1 2			2 3			3 4				4 5			,		x	10 Отв.
	1 2			2 3			3 4				4 5

	100		1000			10000			100000
	100		1000			10000			100000
2.2. 2x 4x3 6x5 8x7										,				x	1		Отв.
2.2. 2x 4x3 6x5 8x7										,				x	1		Отв.
	x	x2			x3		x4					x
2.3.								,					1				Отв.
2.3.		2			3		4	,					1				Отв.
		2			3		4

(1020x)3 .

2x2 2 .

(1 x )

ln(1 x) .

2.4.		x3				x7								x11						x15					,					x	1							Отв.					1 ln	(1 x)						1 arctgx .
		x3				x7								x11						x15																								(1 x)
																																												(1 x)
		3					7							11							15																						4							2
		3					7							11							15																						4							2
2.5.		x2							x3							x4									x5			,						x		1						Отв. (x 1)ln(x 1) x .
		x2							x3							x4									x5

	1 2							2 3								3 4								4 5																								2
	1 2							2 3								3 4								4 5
2.6. 1 2x 2 3x 3 4x2 4 5x3 ,																																								x	1		Отв.									.

																																														(1 x)3
													3x2									4x3																								(1 x)3
2.7.	1				2x																						,					x			5								Отв.					5						.
	1				2x																																											5
	5			52										53							54																									(5 x)2
	5			52										53							54																									(5 x)2
2.8. 3x2 4x3														5x4 6x5 ,																					x		1						Отв.				1				1 2x.
																																															1
																																																		2
																																														(1 x)
2.9. x					x2											x3									x4				...,							x			2				Отв.		2ln					2					.
					x2											x3									x4																									2
				2 2											3 22										4	23																							2	x
				2 2											3 22										4	23																							2	x
2.10.			3x2									4x3						5x4									6x5		...,								x			2			Отв.			x				2						1	.
			3x2									4x3						5x4									6x5																			x				2						1

			23									24							25								26																			2			(2 x)2							2
			23									24							25								26																			2			(2 x)2							2
2.11.			x2							x3						x	4						x5				...,				x		1										Отв. x ln(1 x) .
			x2							x3						x	4						x5
			2								3					4								5
			2								3					4								5																								2
2.12. 1 2x 2 3x 3 4x2 4 5x3 ...,																																								x	1		Отв.										.

																																														(1 x)3
																																														(1 x)3

2.13.	x	x2							x3				x	4	...,			x		3
		x2							x3				x	4
		2			3		3 32					4		33
		2			3		3 32					4		33
2.14.	2 33x				3 44x2				4 55x3				5 66x4 ...,								x	2
2.14.	2 33x				3 44x2				4 55x3				5 66x4 ...,								x	2
	2					2				2				2
2.15. 4x3 6x5							8x7 10x9 ...,											x	1
2.15. 4x3 6x5							8x7 10x9 ...,											x	1
2.16.	x2			x3				x4			x5		...,			x	1
	x2			x3				x4			x5
	2		3				4			5
	2		3				4			5


Отв. 3ln		3 x .
		3
Отв.	1	4			.
Отв.	1		(2 x)3		.
	2		(2 x)3
Отв.	2x			2x .
Отв.	(x2 1)2			2x .
	(x2 1)2
Отв.	x ln(1 x) .

2.17.	x		x3			x5		x7	...,		x			1
			x3			x5		x7
		3			5		7
		3			5		7
2.18. 1 3x3				5x4 7x6 ...,										x		1
2.18. 1 3x3				5x4 7x6 ...,										x		1
2.19. 1 2 2 3x 3 4x2 4 5x3 ...,																				x	1
2.19. 1 2 2 3x 3 4x2 4 5x3 ...,																				x	1
2.20.	x		x5			x9		x13		...,		x			1				Отв.
			x5			x9		x13

		5			9		13
		5			9		13
2.21.	x		x3			x5		x7	...,		x		1
			x3			x5		x7
		3			5		7
		3			5		7
2.22.	x		x2			x3		x4	...,		x		1
			x2			x3		x4
		2			3		4
		2			3		4
2.23. 1 22 x 32 x2								42 x3 ...,									x	1
2.23. 1 22 x 32 x2								42 x3 ...,									x	1

Отв. arctg x .

Отв. 1 x22 2 . (1 x )

Отв. (1 2x)3 .

12 arctg x 14 ln 11 xx . Отв. 12 ln 11 xx .

Отв. ln(1 x) .

Отв. 1 x 3 . (1 x)

2.24.		1		2x			3x2					4x3		...,						x		10			Отв.	10		.
		1		2x			3x2					4x3														10
																										(10 x)2
	10		100				1000				10000
	10		100				1000				10000
2.25.		x			x3				x5				x7		...,						x		2		Отв.	1 ln 2 x .
		x			x3				x5				x7
					3 23			5 25					7 27
	1 2																									2 2 x
	1 2																									2 2 x
2.26.		x3		x5			x7			x9		...,				x		1							Отв. x arctg x .
		x3		x5			x7			x9
	3			5			7			9
	3			5			7			9																x
2.27. x 2x2						3x3			4x4				...,				x		1						Отв.		.

																										(1 x)2
																										(1 x)2
2.28. 2 3x3 3 4x2 4 5x3 5 6x4 ...,																							x	1	Отв.	2	2 .
																										2
																										(1 x)3
																										(1 x)3

ЗАНЯТИЕ 5

Ряды Фурье

Рядом Фурье функции f (x) , определенной и интегрируемой на отрезке , называется тригонометрический ряд

			bn sin nx) ,
	a0 (an cos nx		bn sin nx) ,		(5.1)
	2	n 1
коэффициенты которого определяются формулами:
an	1
an	1	f (x)cos nx dx,	n 0, 1, 2,
					(5.2)
	1			.	(5.2)

bn		f (x)sin nx dx,	n 1, 2, 3,

Ряд Фурье произвольной интегрируемой функции не обязан сходится, а если он все же и сходится в некоторой точке, то его сумма не обязана совпадать со значением функции в этой точке. Условия, при которых ряд Фурье сходится, сформулированы в следующей теореме.

Теорема (Дирихле). Если функция f (x) с периодом 2 является кусочно-гладкой на отрезке , , т. е. f (x) и f (x) непрерывна на отрезке , или имеют на нем конечное

число точек разрыва I рода, то ряд Фурье сходится в каждой точке отрезка , и его сумма равна

f (x),

2 ( f (x0 0)

1 ( f ( 0)2

	если	x точка непрерывности		f (x)
f (x0 0)),	если	x x0	точка разрыва	f (x) (5.3)
f ( 0)),	при	x ,	x .

Если функция f (x) является четной, то ее ряд Фурье имеет вид

f (x) a0
f (x) a0	an cos nx ,	(5.4)
2	n 1

(все коэффициенты bn 0, n 1, 2, 3, ) и его коэффициенты можно подсчитывать по формулам

	2
an		f (x)cos nx dx,	n 0, 1, 2,	(5.4')

	0

Ряд Фурье нечетной функции содержит только члены с си-

нусами все коэффициенты an 0,	n 0, 1, 2, ):

f (x) bn sin nx ,		(5.5)

иего коэффициенты можно подсчитывать по формулам

	2
bn		f (x)sin nx dx,	n 1, 2, 3,	(5.5')

	0

Функция, заданная на промежутке (0, , может быть продолжена на промежуток , 0 либо четным, либо нечетным образом. Если функция кусочно-дифференцируема на промежутке l, l , то справедливо разложение:

f (x)	a0		n x	bn sin	n x	,	(5.6)
	2	an cos	l		l
		n 1

где

an	1	l
		f (x)cos n x dx,			n 0, 1, 2,
	l	l	l				(5.7)
	1 l		n x			.
bn				dx,
	l	f (x)sin	l		n 1, 2, 3,
		l
Замечание. При разложении функции f (x)						в ряд Фурье в
произвольном промежутке			a, a 2l длины			2l	нижний и

верхний пределы интегрирования в формулах (5.7) следует заменить на а и а+2l соответственно.

Примеры

1. Разложить в ряд Фурье 2 – периодическую функцию f x x2 на отрезке , .

Решение. Так как функция f x x2 является четной, то bn 0,n 1, 2, 3... Вычисляемкоэффициенты an поформулам(4) :

												2						2			2
								a0				2		x2dx				2				,
								a0						x2dx				3				,
														0				3
			2		2							2		x2 sin nx										2
an				x	2	cos nx dx
an				x		cos nx dx										n									x sin nx dx
			0													n			0					0


							4		x cos nx								1
							4		x cos nx								1	cos nx dx
																		cos nx dx
							n					n					n	0
							n					n			0		n	0
															0
																											n
	4				cos n					1											4						n
	4				cos n					1			sin nx								4		cos n			4 1		.
																											2
		n					n			n	2									n		2				n	2
		n					n			n						0				n						n
																0

По теореме Дирихле ряд Фурье функции																										f x x2 на от-
резке , сходится к x2 :
							2						n
				x2				4			1				cos nx,					x , .
				x2				4							cos nx,					x , .
						3				n 1 n2
В точках x сумма ряда равна:
	S 1					f		f									1		2	2 f .
					2												2
2. Разложить в ряд Фурье функцию																					f x						x		на интер-
2. Разложить в ряд Фурье функцию																					f x					2			на интер-
вале 0, 2 .																										2
вале 0, 2 .
Решение. Функция										f x					x				непрерывна на интервале
Решение. Функция										f x									непрерывна на интервале
0, 2 длины																2
0, 2 длины					2 . Вычислим коэффициенты ее ряда Фурье:
						1		2 x								1					x2			2
						1		2 x								1					x2			2
				a0								dx							x								0
				a0						2		dx							x		2						0
								0		2						2					2			0
			2					0								2								0				2
	1		2	x cos nx dx								1		x sin nx								2				1		2
an	1											1														1		sin nxdx
an												2													2 n			sin nxdx
		0		2								2							n			0			2 n			0
		1						sin 2 n										sin 0					1			cos nx			2
		1						sin 2 n										sin 0					1			cos nx			2
				2								0
				2					n			0							n			2 n n
		2							n										n			2 n n							0
					1				cos 2 n cos 0 0,													n 1, 2, 3...
					2 n2				cos 2 n cos 0 0,													n 1, 2, 3...
					2 n2

	2						1			2				1		2
	2									2						2
bn 1			x sin nx dx						x cos nx							cos nxdx
bn 1			x sin nx dx				2		x cos nx				2 n			cos nxdx
	0			2			2		n	0			2 n			0
			1		2 cos 2 n 0 cos 0							1					2
																	2

														2 sin nx
		2 n									2 n						0
		2 n									2 n
			1	( )		1		sin 2 n sin 0				1 ,			n 1, 2, 3...
	2 n			( )		2 n2		sin 2 n sin 0				1 ,			n 1, 2, 3...
	2 n					2 n2						n

Следовательно, на интервале 0, 2 ряд Фурье сходится к самой функции, т. е.

	x			,	x 0, 2 .
	x	sin nx		,	x 0, 2 .
	2	n 1	n
При x 0	f 0	,	следовательно, S 0 0, где
		2

		,	поэтому f 0 S 0 .	Аналогично	можно
S x sin nx
n 1	n		f 2 S 2 . График	суммы ряда	S x
показать,	что

имеет вид:


				2
-4π	-3π	-2π	-π	0	π	2π	3π	4π	5π	6π x

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20254.23 Mб0Руска-беларускi аўтатранспартны слоўнiк.pdf
#
29.11.20252.36 Mб0Русский язык.pdf
#
29.11.20251.81 Mб1Ручная обработка древесины. Технологический практикум.pdf
#
29.11.20253.83 Mб0Рынок труда.pdf
#
29.11.2025877.96 Кб0Ряды Фурье.pdf
#
29.11.20251.1 Mб0Ряды.pdf
#
29.11.20252.51 Mб1Самозапуск электродвигателей механизмов собственных нужд электростанций.pdf
#
29.11.20256.95 Mб0Самомассаж в режиме самостоятельных занятий.pdf
#
29.11.20254.53 Mб0Санитарно-техническое оборудование жилого многоэтажного дома.pdf
#
29.11.20253.06 Mб0САПР автомобильных дорог. Ч. 1.pdf
#
29.11.2025703.66 Кб0САПР узлов и агрегатов машин. Функциональное проектирование.pdf