ЗАНЯТИЕ 1
Числовые ряды. Основные определения. Признаки сходимости рядов с положительными членами
Пусть задана бесконечная последовательность чисел
a1, a2, a3,…, an…
Числовым рядом называется символ
a1 a2 a3 ... an ... an.
n 1
Числа a1, a2, a3,…, an называются членами ряда, число an –
общим членом ряда, а суммы Sn=a1+a2+a3+…+an – частичными суммами ряда.
В следующем определении мы придадим смысл сумме бесконечного числа слагаемых.
Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм: S lim Sn ,
n
при этом число S называется суммой ряда. Если же lim Sn
n
не существует, то числовой ряд называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости. Если ряд an схо-
n 1
дится, то lim an 0 .
n
Следствие. Если lim an 0 , то ряд an расходится.
n n 1
4
Признаки сходимости рядов с положительными членами
|
|
|
1. Признак сравнения. Пусть an |
и bn |
ряды с поло- |
n 1 |
n 1 |
|
жительными членами, причем начиная с некоторого номера n an bn . Тогда:
|
|
|
1) |
если ряд bn |
сходится, то сходится и ряд an , |
|
n 1 |
n 1 |
|
|
|
2) |
если ряд an |
расходится, то расходится и ряд bn . |
|
n 1 |
n 1 |
2. Признак сравнения в предельной форме. Пусть an
n 1
и bn ряды с положительными членами, причем существу-
n 1
ет конечный отличный от нуля предел
lim an .
n bn
|
|
|
Тогда ряды an |
и bn |
сходятся или расходятся одно- |
n 1 |
n 1 |
|
временно. |
|
|
При использовании признаков сравнения, в качестве одного из рядов выбирается конкретный ряд. Чаще всего для этого используется ряд
aqn a aq aq2 ... aqn ... ,
n 0
5
члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q. Если q 1, то этот ряд расходится, если же
q 1, то он сходится и его сумма равна S 1 аq .
3. Признак Даламбера. Пусть an – ряд с положитель-
n 1
ными членами и существует конечный предел
lim an 1 l .
n an
Тогда:
1)если l 1 ряд сходится,
2)l 1 ряд расходится.
Если l 1, то ряд может, как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо применить другие признаки сходимости.
Другой часто встречающийся ряд для сравнения – ряд Дирихле
1 n 1n p ,
который сходится при p > 1 и расходится при 0 p 1.
Приведем еще несколько формулировок часто используемых признаков.
4. Признак Коши. Пусть an – ряд с положительными
n 1
членами и существует предел lim n an l .
n
Тогда
1)если l 1 ряд сходится,
2)l 1 ряд расходится.
6