Ряды Фурье

f x =

a0

n

an cos

x,

2

n 1

ln 2

2

ln 2

exdx

2

ex

ln 2

2

eln 2 e0

2

2 1

2

где a0

;

ln 2

ln 2

0

ln 2

ln 2

ln 2

0

a

2

ln 2 ex cos

n

xdx.

n

ln 2

ln 2

0

Используя формулу

ln 2

x

cos xdx

cos x sin x

e

x

ln 2

,

e

2

2

0

0

n

где 1,

,

ln 2

получаем

n

n

2

cos n

sin n

cos 0

sin 0

ln 2

a

n

ln 2

2

1

ln 2

2

n

2

2

n

2

1

1

ln2 2

ln2 2

2

1

n

2 ln

2

2

1 ln

2

2

2ln 2

2

1

n

1

2n2

ln2 2

ln 2

2n2 ln2

2

2n2 ln2 2

2 ln 2

,

n 2k,

=

2

n

2

ln

2

2

6 ln 2

, n 2k 1.

2

n

2

ln

2

2

cos

x

cos

2k 1

x

1

2k

Итак,

ex

ln4

ln2

ln64

ln2

;

ln2

2 2k 2 ln2 2

2 2k

1 2 ln2

k 0

k 0

2

f x

n

= bn sin

x,

ln 2

n 1

где

b

2

ln 2 ex sin

n

xdx

n

ln 2

ln 2

0

ln 2

e

x

sin xdx

sin x cos x

e

x

ln 2

.

2 2

0

0

В точках непрерывности

k sin

2k x

sin

2k 1 x

ex 4

ln 2

6

ln 2

.

2 2k 2 ln2

2

2 2k 1 2 ln2 2

k 0

k 0

В точках

разрыва

x n ln 2,

n 0,

1, 2,...,

сумма

ряда

Фурье равна нулю: S n ln 2 0,

n 0,

1, 2,...

3.1. f x = x 2,

1 x 1

2

1

n 1

Ответ: 2

sin n x

n

n 1

3.2. f x = 4x 2,

1 x 1

8

1

n 1

Ответ: 2

sin n x

n 1

n

3.3. f x = 7x 3, 2 x 2

Ответ: 3

28

1

n

sin n x

n 1

n

2

3.4. f x = x 5,

2 x 2

4

1

n

sin n x

Ответ: 5

n

n 1

2

3.5. f x = 2x 1,

Ответ: 1 12

1

n 1

3 x 3

sin n x

n 1

n

3

3.6. f x = 2x 7, 3 x 3

Ответ: 7

12

1

n

sin n x

n 1

n

3

1

n 1

3.7. f x = 3x 1,

4 x 4

Ответ: 1 24

sin n x

n 1

n

4

3.8. f x = 5x 4, 4 x 4

Ответ: 4

40

1

n

sin n x

n 1

n

4

3.9. f x = 4x 3, 5 x 5

Ответ: 3

40

1

n

sin n x

n 1

n

5

1

n 1

3.10. f x = 2x 3, 5 x 5

Ответ: 3 20

sin n x

n 1

n

5