Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды Фурье

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

877.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

График суммы S x ряда

Задание 1.

f x ,

Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую

функцию

заданную на отрезке , .

1.1

Ответ:

cos

2k 1 x

при

x 0

x =

1 n 1 sin nx

2k 1 2

при

0 x

k 0

n 1

1.2

Ответ:

при

x 0

cos

2k 1 x

n 1 sin nx

f x =

4 1

при

0 x

2k 1

k 0

n 1

S 2

1.3

Ответ:

cos

2k 1 x

3x при

x 0

sin nx

f x =

3 1

при

0 x

2k 1

k 0

n 1

1.4

Ответ:

cos 2k 1 x

при

x 0

n sin nx

f x =

при

0 x

2k 1

k 0

n 1

1.5Ответ:

2x		2	cos	2k 1 x		sin 2kx
2x	при x 0	2				sin 2kx

			2k 1 2			2k
f x = 2		k 1	2k 1 2		k 1	2k
	при 0 x
0	при 0 x			S 0 S
				S 0 S			4

1.6Ответ:

		0	при x 0		1			cos	2k 1 x			1			sin 2kx
		0	при x 0		1							1			sin 2kx

f	x =			8				2k		1	2	2			2k
		x	при 0 x			k	1	2k		1			k	1
			при 0 x
		2						S 0 S
								S 0 S							4

1.7Ответ:

при

cos 2k 1 x

n 1 sin nx

f x =

при

0 x

2k 1

k 1

n 1

1.8

Ответ:

при

cos 2k 1 x

n 1 sin nx

f x =

при

0 x

2k 1

k 0

n 1

S 3

1.9Ответ:

x	при	x 0		8	cos 2k 1 x			1	n 1 sin nx
f x =							4
f x =	при	0 x	2		2k 1	2	4		n
3x	при	0 x	2	k 0	2k 1		n 1		n
					S

1.10Ответ:

при

x 0

cos 2k 1 x

n sin nx

f x =

при

0 x

2k 1

k 0

n 1

Ряды Фурье для четных и нечетных 2 -периодических функций

В некоторых случаях формулы (2)–(4) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Известно, что если функция

f x интегрируема на симметричном относительно нуля отрезке a; a , то

a		a
	2 f x dx,		если	f x четнаяфункция;

	f x dx	0			(8)
a			если	f x нечетнаяфункция.
	0,

Пусть надо разложить в ряд Фурье четную функцию f x . Тогда f x сos nx четная функция, а f x sin nx нечетная

функция, и на основании свойства (8) формулы (2), (3), (4) примут вид

	2			2
a0		f x dx,	an		f x cos nxdx,	bn 0,	n		. (9)
								1,

		0			0

Таким образом, ряд Фурье для четной функции, удовлетворяющей условиям теоремы I на отрезке , , в точках ее

непрерывности будет иметь вид

f x =	a0
f x =	a0	an cos nx .	(10)
	2	n 1

Итак, четная 2 -периодическая функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам.

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция, то произ-

ведение f x сos nx есть функция нечетная,							а f x sin nx
четная. Следовательно,
					2
an 0,	n		,	bn		f x sin nxdx,	n		. (11)
		0,						1,
		0,						1,
						0

и ряд Фурье для 2 -периодической нечетной функции, удовлетворяющейусловиям теоремыI наотрезке , , имеетвид

f x = bn sin nx (в точках непрерывности).

(12)

n 1

Значит,

нечетная 2 -периодическая функция разлагается

в ряд Фурье только по синусам.

Ряды (10) и (12) называются еще неполными рядами Фурье.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2 ,

заданную в интервале x

формулой f x =

. Най-

ти

помощью полученного

разложения сумму

ряда

Решение.

Функция f x = x является четной, она удовлетворяет

условиям теоремы I. Поэтому она разлагается в ряд по косинусам, коэффициенты Фурье которого определяются по формулам (9):

a0 2 xdx ;

x u

dx du

x cos nxdx

cos nx dv

sin nx

x sin nx

sin nxdx

cos n x

n 2k;

при

n 2k 1, k 0, ,

bn 0,

Ее ряд Фурье

cos 2k 1 x

k 0

2k 1 2

Функция

f x

после 2 -периодического продолжения

непрерывна на всей оси. Поэтому для x R

cos 2k 1 x

k 0

2k 1 2

При х = 0 получаем

					4		1
		0			4		1		.
		0				2k 1 2			.
			2		k 0	2k 1 2
Откуда
	1	1	1				1				2
1	1	1	1	=			1				.
1	32	52	72	=				2k 1 2			.
	32	52	72			k 0		2k 1 2		8

Задание 2.

Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию f x (четную или нечетную), заданную на , .

2.1. f x

sin x

Ответ:

cos 2kx

k 1

1 4k 2

Ответ:

2.2. f x

1 e

1 1

cos nx

1 n2

n 1

Ответ:

2.3. f x

= 2

2ln 2

cos nx

ln 2

n 1

n2 ln2 2

2.4. f

= x2

n 1

cos x

Ответ:

n 1

Ответ:

2.5. f x = e

cos nx

1 n2

n 1

2.6. f x

Ответ:

sin 2k 1 x

1, x

k 1

2k 1

2.7. f x

n 1

= х

Ответ: 2 1

sin nx

n 1

2.8. f x

= sin ax ,

Ответ:

2sin a

sin nx

где а – нецелое число

a2 n2

k 1

2.9. f

= x3

Ответ:

1 n

sin x

n 1

2.10. f x = x , x 0;2

Ответ: sin nx

n 1

Разложение в ряд Фурье функций,

заданных на отрезке 0,

Пусть функция f x

задана на отрезке 0, . Чтобы разло-

жить ее на этом отрезке в ряд Фурье, надо доопределить ее на отрезке , 0 . В результате получим функцию, которую

можно уже разложить в ряд Фурье, и получившийся ряд будет зависеть от характера продолжения первоначальной функции

на отрезок , 0 .

Если продолжить на отрезке , 0 функцию f x четным образом, то есть положить f x = f x , x , 0 , то полу-

чим разложение в ряд Фурье по косинусам (10) с коэффициентами, определяемыми по формулам (9). А при нечетном

продолжении, то есть f x = f x x , 0 , получаем не-

четную функцию, разлагающуюся в ряд Фурье по синусам (12) с коэффициентами (11).

Ряд косинусов и ряд синусов для функции f x , заданной на отрезке 0, , имеют одну и ту же сумму. В точке x0 раз-

рыва функции сумма как одного, так и другого ряда равна од-
ному и тому же числу	f x0 0	f	x0 0		.
ному и тому же числу		2			.
		2
Пример 4.
Разложить на отрезке 0,		функцию			f x =	x в ряд
Фурье по синусам.
Решение. Продолжим функцию			f x	= x		на отрезок
, 0 нечетным образом:

Тогда для любого x 0,

f x = bn sin nx ,

n 1

f x sin nxdx

x sin nxdx

где bn

x u

dx du

2 x

cos n x

sin nxdx

v n cos nx

cos nx

sin n x

		x 0, .
Итак, x 2 sin nx		x 0, .
n 1	n

S 0 S 0.

Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2l

Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд функции, период которых отличен от 2 .

Пусть функция f x , определенная на отрезке l, l , имеет

период 2l, то есть	f x 2l			= f x ,	l , и удовлетворяет на
этом отрезке условиям теоремы I. Можно показать, что ряд
Фурье для такой функции имеет вид
f x =	a0							nx ,
f x =	a0	an cos nx bn sin						nx ,		(13)
	2	n 1		l				l
где			1 l f x dx ,
		a	1 l f x dx ,
		0	l
				l
	a	1 l	f	x cos	nx dx,					(14)
	n	l			l
		l
b	1 l	f x sin nx dx,				n			.
b	1 l	f x sin nx dx,				n	1,		.
n	l			l
n

Заметим, что формулы (14) совпадают с формулами (2)–(4) при l . Это значит, что все вышеизложенные рассуждения можно повторить и для 2l-периодических функций с заменой

на l. В частности, для функции f x с периодом 2l имеет ме-

сто теорема I, замечание о возможности вычислять коэффициенты ряда, интегрируя по любому отрезку, длина которого равна периоду 2l, а также утверждение о возможности упрощения вычисления коэффициентов ряда, если функция является четной или нечетной. Для четной 2l-периодической функции ряд Фурье имеет вид

an cos nx

n 1

где

2 l

x dx,

2 l

x cos

nx dx,

а для нечетной

nx,

bn sin

где

n 1

2 l

x sin

nx dx,

Последний факт дает возможность разложить в ряд Фурье по косинусам или синусам функцию, заданную на отрезке

0, l .

Замечание. Непериодическая функция, заданная на всей оси, не может быть разложена в ряд Фурье, ибо его сумма, будучи

периодической функцией, не может быть равна f x для всех х. Однако непериодическая функция f x может быть представ-

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20255.25 Mб4Рукопашный бой.pdf
#
29.11.20254.23 Mб0Руска-беларускi аўтатранспартны слоўнiк.pdf
#
29.11.20252.36 Mб0Русский язык.pdf
#
29.11.20251.81 Mб1Ручная обработка древесины. Технологический практикум.pdf
#
29.11.20253.83 Mб0Рынок труда.pdf
#
29.11.2025877.96 Кб0Ряды Фурье.pdf
#
29.11.20251.1 Mб0Ряды.pdf
#
29.11.20252.51 Mб1Самозапуск электродвигателей механизмов собственных нужд электростанций.pdf
#
29.11.20256.95 Mб2Самомассаж в режиме самостоятельных занятий.pdf
#
29.11.20254.53 Mб1Санитарно-техническое оборудование жилого многоэтажного дома.pdf
#
29.11.20253.06 Mб0САПР автомобильных дорог. Ч. 1.pdf