Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

Для непрерывного вариационного ряда таблица будет иметь вид табл. 5.2.

В первой строке табл. 5.2 помещены интервалы изменения вариант, а второй – соответствующие им частоты.

Геометрически вышеуказанное распределение можно изобразить следующим

образом. На оси абсцисс откладывают варианты xi , а на оси ординат –

соответствующие им частоты ni или частости . Ломаную линию, соединяющую полученные точки, называют полигоном.

Для непрерывного вариационного ряда интервал, в котором заключены все значения ряда, разбивают на несколько частичных интервалов xi xi 1 h и

находят для каждого частичного интервала сумму частот ni или частостей

вариант, попавших в i-й интервал. На оси абсцисс откладывают частичные

параллельные оси абсцисс. Соединив концы отрезков и интервалов линиями, параллельными оси Оу, получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которая называется гистограммой.

Задачами выборочного метода являются: 1) установление закона распределения случайной величины и его параметров по данным выборки; 2) статистическая проверка гипотез.

Пример 1. Составить вариационный ряд для случайной величины – длины заготовок, отобранных случайным образом, – 39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 41, 41, 43, 42, 39, 40, 42, 43, 41, 42, 41, 39, 42, 42, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 39, 40 и

построить полигон.

81

Решение. Так размеры имеют конкретные значения, то вариационный ряд будет дискретным. Расположим значения признака Х (размер заготовок) в порядке возрастания в первой строке таблицы, а во второй строке – количество заготовок (частоты):

Построим полигон. Для этого откладываем по оси Ох значения признака Х, а по оси Оу – частоты n (рис. 5.1).

x

10

Пример 2. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики диаметром D = 20 мм, взята выборка объемом 100 штук. Ролики измерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01. По данным отклонений от номинального размера, приведенным ниже, составить непрерывный вариационный ряд и построить гистограмму.

82

Решение. Так как наименьшее отклонение равно 0,01, а наибольшее –0,14, то разобьем весь объем на 7 интервалов длиной 0,02. Значения признака и частоты расположим таким же образом, как и в примере 1 (табл.5.3).

Рис. 5.2

Построим гистограмму. Для этого по оси Ox отложим интервалы (значения признака), а по оси Oy – частоты nh (рис. 5.2). Затем через каждую точку

проводим прямые, параллельные осям координат. Полученная ступенчатая фигура является гистограммой.

Задачи

155. Отклонение от номинального размера, полученные при измерении деталей, имеют следующие значения:

83

Составить вариационный ряд и построить гистограмму частот.

156. Составить вариационный ряд овальности валиков (в мк) по по следующим данным:

и построить полигон частот.

157. В результате опроса студентов одного потока их возраст представляется следующими данными: 17, 20, 18, 19, 18, 17, 20, 21, 24, 22, 20, 21, 20, 19, 18, 20, 21, 22, 25, 20.

Составить вариационный ряд, построить полигон частот.

158. В результате проверки партии деталей получены результаты по сортам: 1,

2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 2, 1, 1. Составить вариационный ряд, построить полигон.

159. Из выпускаемого заводом литья произведена случайная выборка 40 штук литых деталей, взвешивание которых дало следующие результаты (в кг):

84

Найти эмпирическое распределение веса литых деталей в данной выборке (вариационный ряд).

5.2. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Эмпирической (статистической) функцией распределения называется функция

F*(x), равная относительной частоте события X<x;

F * (x) X ),

С в о й с т в а. 1. 0 F * (x) .

2.F*(x) – неубывающая функция.

3.Если значения вариант расположены в промежутке (x1 xk) то

Пример 1. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х и начертить ее график по следующему распределению:

Решение. Находим объем выборки:

n = 4 + 5 + 9 + 7 + 4 + 1 = 30.

Наименьшая варианта равна 39, значит,

F * (x) 0 при x 39.

Значения X < 42, а именно: x1 = 39, x2 = 40, x3 = 41 наблюдались 4+5+9=18 раз,

85

Теперь отложим по оси Ох значения вариант, а по оси Оy – значения функции и построим график F * (x) (рис. 5.3).

Пример 2. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х и начертить ее график по распределению, приведенному в табл. 5.4.

86

Решение. В данном случае имеем непрерывный вариационный ряд. Эмпирическую функцию будем находить таким же способом, как и в предыдущем примере, значения Х берем на концах интервала:

Откладываем по оси Ох варианты, а по оси Оy – значения F * (x) ; полученные точки соединяем отрезками (рис. 5.4). Так как ряд непрерывный, то получим непрерывную ломаную линию.

Задачи

160. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х и построить ее график для распределения рабочих механического цеха по тарифным разрядам.

161. Найти эмпирическую функцию и построить ее график по следующим распределениям:

87

Ответы

161.

88

5.3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется функция от наблюдаемых случайных величин выборки.

Статистические оценки делятся на точечные и интервальные. Статистическая оценка, определяемая одним числом, называется точечной.

Точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру, называется несмещенной.

Точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, называется смещенной.

Несмещенной оценкой генеральной средней хг (математического ожидания)

является выборочное среднее хв :

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия

Статистическая оценка, определяемая двумя числами, концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр, называется интервальной.

Доверительным интервалом для оцениваемого параметра является интервал ( , который покрывает этот параметр с надежностью .

89

Для оценки математического ожидания mx нормально распределенной случайной величины Х по выборочной средней хв при известном среднем

квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

S – исправленное среднее квадратическое отклонение; t находят из приложения 4 по заданным n и .

Доверительным интервалом для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения по исправленному выборочному служит

интервал

q – находят из приложения 5 по заданным n и .

Пример 1. Для определения точности измерительного прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, было произведено пять независимых измерений, результаты которых представлены ниже.

90