Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

2

0,09

0

0

1

при a

x

b с

y

d;

133.

f (x, y)

(b

a)(d

c)

0

при х a; x b; y c; y d.

134.

a) A

20;

F (x, y)

1

arctg

x

1

1

arctg

y

1

4

2

5

2

135. 0,11.

136. с

0,5; F(x, y)

0,5(sin x

sin y

sin (x

y)).

137.

9

16.

0

при x

0;

0

при y

0;

138.

F1 (x)

1

P1 при 0

x

1;

F2 ( y)

1

P2 при 0

y

1;

1

при x

1.

1

при y

1.

2

(2x

3

y)2

3

( x 3 y)2

139.

f1

(x / y)

f2

( y / x)

e

.

e

2

;.

2

r

2

x

2

при

x

r;

1

при

x

r

2

y

2

;

2

2

140.

f1 (x)

2

f1 (x / y)

2

r

y

0

при

x

r.

0

при

x

r

2

y

2

.

2

r 2

y 2 при

1

y

r 2

x2 ;

y

r;

при

f2 ( y)

2

f 2 ( y / x)

2 r 2

x2

r 2

x 2 .

0

при

y

r.

0

при

y

xi

10

20

30

yi

20

40

60

pi

0,2

0,4

0,4

pi

0,3

0,35

0,35

n m

xi yi pij

для дискретных случайных величин,

M ( X ,Y )

i 1 j 1

(4.2)

M (x)

mx

xf1 (x)dx

для непрерывных случайных величин

(4.3)

M ( y)

my

yf 2 ( y)dy

n

M (x)

mx

xi pi

(4.4)

i

1

для дискретных случайных величин

m

M ( y)

my

yi pi

i

1

Дисперсия системы двух случайных величин равна

n

m

mx )2 ( yi

my )2 pij для дискретных случайных величин,

(xi

D( X ,Y )

i 1 j 1

(4.5)

(x

mx )2 ( y

my )2 f (x, y)dxdy

для непрерывных случайных величин.

Дисперсия составляющих системы равна:

n

mx )2 pi

D(x)

xi

(4.6)

i 1

для дискретных случайных величин

m

my )2 pi

D( y)

yi

i 1

D(x)

(x m

x

)2

f (x)dx

1

для непрерывных случайных величин .

(4.7)

M ( y)

( y my )2 f2 ( y)dy

Начальным

моментом порядка k

s системы случайных величин

(X, Y)

называется математическое ожидание произведения xk y s , т.е. M (xk y s ) или

xk y s f (x, y)dxdy для непрерывных случайных величин,

M k ,s

n m

(4.8)

xi k y j s pij

для дискретных случайных величин .

i 1 j 1

Центральным моментом порядка k

s системы случайных величин (X, Y)

называется математическое

ожидание

произведения

(x mx )k ( y my )s , т.е.

M[(x

mx )k ( y

my )s ] или

(x

mx )k ( y

my )s f (x, y)dxdy

для непрерывных случайных величин ,

M k ,s

n m

mx )k ( y j

my )s pij

(4.9)

(xi

для дискретных случайных величин .

i 1 j 1

Корреляционным моментом (моментом связи) системы случайных величин

(X, Y) называется математическое ожидание произведения отклонений этих

величин от своих математических ожиданий, т.е. Kxy

M[(x

mx )( y my )] или

(x

mx )( y

my ) f (x, y)dxdy

для непрерывных случайных величин ,

K x, y

n m

(4.10)

(xi

mx )( y j

my ) pij

для дискретных случайных величин .

i 1 j 1

Коэффициент корреляции равен

rxy

K xy

.

(4.11)

D( X )D(Y )

Пример 1. Плотность вероятности случайных величин Х и Y (координат

амплитуд колебаний кузова при движении автомобиля равна

0,5sin(x

y) при 0

x

0 y

2

2

f (x, y)

x

0,

или

x

или

2

0

при

y

0,

или

y

2

Найти: а) математическое ожидание системы и ее составляющих; б)

дисперсии D(XY ), D(X ),

D(Y ); в) корреляционный момент.

Решение.

2

1 2

2

1 2

2

1

2

2

M ( X ,Y )

xy sin(x

y)dydx

x y sin(x y)dydx

x(

y cos(x

y)

cos(x y)dy)dx

2 0

2 0

2

0

0

0

0

0

2

2

1 2

2

2

0 x

sin xdx

0 x sin xdx

( x cos x

0 cos xdx)

sin x

2

2

2

4

4

4

0

0

1 2

2

1

2

1

2

2 dx

M ( X )

x sin(x y)dydx

x( cos(x y)

x(sin x

cos x)dx

2 0

0

2

0

0

2 0

4

1

y

1

2

y

sin y cos y dy

2

2 .

2

16

2

4

2

16

2

16

2

2

2

D( X ) 0,5 x

dx sin(x y)dy 0,5

x

sin x cos x dx

4 0,5

4

2

8

0

0

0

D(Y )

2.

16

2

в) корреляционный момент kxy, согласно формуле (4.3):

2 2

2 2

kxy

0,5 x

y

sin(x y)dxdy 0,5 xy

x y)

sin(x y)dxdy

1

.

4

4

16

2

16

0 0

4

0 0

F (x, y)

sin x sin y

0 x

0 y

2

2

0

в другихслучаях.

M ( X ,Y )

1

; M ( X )

1

; M (Y ) 1; D( X ,Y )

13

; D( X )

11

;

2

6

72

36

143.

1

1

2

D(Y )

; k

; r

.

xy

2

54

xy

9

4

144. M ( X )

M (Y )

kxy

.