Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

2.2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Интегральной функцией распределения случайной F (x) величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем х, т.е.

примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна приращению интегральной функции, т.е.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно конкретное значение, равна нулю, т.е.

31

Следствие. Если все возможные значения случайной величины принадлежат

Дифференциальной функцией распределения (плотностью вероятности)

называют первую производную от интегральной функции распределения, т.е. f (x) F (x) .

Дифференциальная функция применяется только для непрерывных случайных величин.

С в о й с т в а. 1. f (x) .

2.f (x) dx 1.

Следствие. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то

b

f (x) dx 1.

a

Из формулы (2.1) следует, что

a

x

3. F (x) f (x) dx.

Пример 1. Плотность распределения вероятностей случайной величины

равна

32

Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения случайной величины Х;

x 2e kx dx

0

Интегрируя по частям, получаем

б) функция распределения F(x) случайной величины X определяется так:

33

Найти: а) плотность вероятности f(x) случайной величины Х; б) построить графики F(x) и f(x). Найти вероятность попадания случайной величины Х на

Рис. 2.2

Решение. Воспользуемся свойством функции распределения

34

на рис. 2.3.

Пример 4. Случайная величина Х имеет следующую плотность

вероятностей:

Определить: а) коэффициент А; б) функцию распределения F(x); в)

вероятность P(2 < x <3) попадания случайной величины Х на отрезке [2;3]; г)

вероятность того, что при четырех независимых испытаниях величина Х ни разу не попадет на отрезке [2;3].

Решение: а) для нахождения коэффициента А воспользуемся следующим

Графики функций F(x) и f(x) изображены на рис. 2.4.

35

67. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид (экспоненциальный закон распределения)

t

F (t) 1 e T (t ) . Найти: а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т; б) плотность вероятности f(t).

68. При каком значении а функция

является плотностью вероятности случайной величины?

Найти: а) функцию распределения случайной величины Х; б) вероятность попадания случайной величины в интервал(-1,1).

69. Взвод состоит из 3 орудий. Вероятность попадания в цель в цель первого орудия равна 0,5, второго – 0,6, третьего – 0,8. Каждое орудие делает 1 выстрел по цели. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Составить закон распределения, построить многоугольник распределения, найти функцию распределения и построить ее график.

70. Срок службы шестерен коробок передач зависит от следующих факторов установки материала, в основании зуба, контактных напряжений к жесткости конструкции. Вероятность отказа каждого фактора в одном испытании равно 0,1.

Случайная величина Х – число отказавших факторов в одном испытании.

Составить закон распределения, найти функцию распределения и построить ее график.

Ответы

37

2.3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание равно:

M ( X ) xf (x)dx mx ,

где f(x) – дифференциальная функция распределения.

С в о й с т в а. 1. Математическое ожидание постоянной величины равно той же постоянной, т.е.

М(С) С.

2.Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий каждой из них:

M (X Y ) M (X ) M (Y ).

3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин

равно произведению математических ожиданий сомножителей:

38

D( X ) (x mx )2 f (x)dx.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии, т.е.

D( X ).

С в о й с т в о. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений, т.е.

X1 X 2 ... X k ) ( X1) ... ( X k ).

Пример 1. Пусть Х – случайная величина, ряд распределения которой равен

где q = 1 – p.

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Решение. Так как Х принимает только два значения х1=0 и х2=1

соответственно с вероятностями р1=1 – р и р2=р, то по определению математическое ожидание

M[X ] xi pi x2 p2 0(1 p) 1p p.

Для отыскания дисперсии случайной величины воспользуемся формулой

(2.3):

D[ X ] M[X 2 ] (M[ X ])2 p p2 p(1 p).

Пример 2. При сборке прибора для наиболее точной подгонки основной детали может потребоваться (в зависимости от удачи) 1,2,3,4 или 5 проб соответственно с вероятностями 0,07; 0,21; 0,55; 0,16; 0,01. Требуется обеспечить сборщика необходимым количеством деталей для сборки 30 приборов. Сколько деталей надо отпустить сборщику?

Решение. Число проб, необходимых для достижения удовлетворительной сборки прибора, есть случайная величина Х, ряд распределения которой

40