Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.11.2025

Размер:

2.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Задачи

201. Нормированная корреляционная функция разбитой грунтовой дороги имеет вид:

r l

0,624e

0,356e 0,15

cos 0,36l ,

где l –длина. Найти нормированную спектральную плотность x .

202. Нормированная

корреляционная

функция микропрофиля

булыжной

мостовой с удовлетворительным состоянием покрытия имеет вид

e 0,11

cos 0,238l .

Найти нормированную спектральную плотность

x .

203. Колебания

автомобиля

при

движении

по

булыжному

покрытию

характеризуются нормированной спектральной плотностью

0,4va

0,015va2

где va – поступательная скорость

автомобиля.

Найти

нормированную

корреляционную функцию.

204. Случайная

функция

X t

X1 cos

X 2 sin

X3 cos

X 4 sin ,

дисперсии

коэффициентов

разложения

1; Dx

2 .

Установить,

является ли эта функция стационарной.

205. Работа

динамической

системы

описывается

дифференциальным

уравнением

2Y t

Y t

X t

3X t . На

вход

системы

поступает стационарная

случайная функция X t

с математическим ожиданием mx

1 и корреляционной

функцией

Kx t

2e 2

Определить

математическое

ожидание и

дисперсию

случайной функции на выходе системы.

Ответы. 201.	2 6,864			0,178		0,15	0,15			.
		2	121		0,152	0,36 2		0,36 2	0,152

131

		1	0,1			0,1			0,2
202.		1	0,1			0,1		. 203.	0,2	e 0,0154va	.
202.			0,238 2	0,01		0,238 2	0,01	. 203.	0,0154	e 0,0154va	.
			0,238 2	0,01		0,238 2	0,01		0,0154
204.	mx t		1; Kx t1,t2		cos	t2 t1	2cos t2	t1 ; X t	– стационарная случайная
функция. 205. my t					3; Dy t	4 .

8.5. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС.

ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК ОДНОРОДНЫХ СОБЫТИЙ

Под потоком событий будем понимать последовательность событий,

происходящих одно за другим в некоторые моменты времени (например, поток вызовов на телефонной станции, поток включений приборов в электросеть и т.д.)

Под потоком однородных событий будем понимать события, отличающиеся лишь моментами появления. Поток событий называется регулярным, если события

следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Простейшим (пуассоновским) потоком называется поток событий,

обладающий следующими свойствами:

1) стационарностью, т.е. вероятность попадания того или иного числа

событий на участок времени длиной	зависит только от длины участка и не
зависит от того, где расположен этот участок;
2) независимостью (отсутствием	последействия), т.е. число событий,

попадающих на один из не перекрывающихся участков времени, не зависит от числа событий, попадающих на другие;

3) ординарностью, т.е. вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Отметим, что при выполнении условий (1-3) число событий, попадающих на интервал времени ]0;t [ , будет распределено по закону Пуассона

Pt (k) ( k e / k!,

где – интенсивность потока, равная среднему числу событий, появляющихся в единицу времени.

132

Пример 1. Среднее число автомобилей, прибывающих на станцию обслуживания для ремонта в течение 1 ч., равно 2. Найти вероятность того, что за

4 ч. прибудет: 1) 3 автомобиля; 2) менее 3 автомобилей; 3) не менее 3

автомобилей.

Р е ш е н и е . Предположим, что процесс поступления автомобилей на станцию обслуживания в течение t часов является пуассоновским. Тогда возможные значения переменной k будут 0, 1, 2. Вероятности этих значений определяем по приведенным ниже формулам:

1)	P4	(k	3)		83e	8	512 0,000335		0,028 .
1)	P4	(k	3)	3!			6		0,028 .
				3!			6
2)	P	k		P k		0	P k 1	P k 2		e 8	8e 8		82 e	8	0,01.
2)	P	k		P k		0	P k 1	P k 2		e 8					0,01.
	4										1	2
											1	2
3)	В		связи с			тем, что		события		«поступило менее 3 автомобилей» и

«поступило не менее 3 автомобилей» вместе образуют достоверное событие, то P4 (k ) P4 (k ) 1. Отсюда

P4 (k ) 1 P4 (k ) 1 0,01 0,99 .

Задачи

206.Число электронов, вылетающих из нагретого катода электронной лампы

втечение времени t, подчиняется закону Пуассона со средним числом

выпускаемых в единицу времени электронов, равным . Найти вероятности того,

что: 1) число электронов за время t1 будет меньше m; 2) за время t2 вылетит четное число электронов.

207. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120.

Найти вероятности того, что: 1) за 2 с на АТС не поступит ни одного вызова; 2) за

3 с на АТС поступит не менее 6 вызовов.

208. Среднее число автомобилей, прибывающих на автозаправочную станцию за 1 ч, равно 4. Найти вероятность того, что за 3 ч прибудет: 1) 6

автомобилей; 2) менее 6 автомобилей; 3) не менее 6 автомобилей.

209. Найти вероятность того, что за 2 ч на предприятие бытового обслуживания поступит 4 заявки, если число заявок в среднем за 1 ч равно 3.

133

Ответы. 206. 1) P k m

m 1

1 e

;

2) P 2k

k 0 k!

207. 1)

P k

0,018; 2) P k

0,092 .

208. 1)

P k

0,017; 2) P k

0,0184; 3) P k

0,9816.

209. P k 4 0,1339 .

8.6. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ СОСТОЯНИЕМ

Марковским процессом, протекающим в физической системе, называется такой случайный процесс x t , при котором для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Марковский процесс называется процессом с дискретными состояниями, если имеется лишь конечное или счетное число различных фазовых состояний системы.

Если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени: t1,t2 , , то марковский

процесс x t называется процессом с дискретным временем, если же переходы системы из состояния в состояние возможны в любые случайные моменты времени t, то марковский процесс называется процессом с непрерывным временем.

Пусть имеется физическая система A, которая может находиться в различных фазовых состояниях:

A1, A2 , , Am ,

причем переходы системы из состояния в состояние возможны только в моменты: t1,t2 , ,tk , .

Будем называть эти моменты «шагами» процесса и рассматривать марковский случайный процесс x t , происходящий в системе A, как функцию целочисленного аргумента: 1,2, , k, (номер шага). Тогда x k обозначает состояние системы A через k шагов. Предположим, что цепочка последовательных переходов

134

Ai(k )

x 0 x 1 x 2

зависит от вмешательства случая, причем соблюдается следующая

закономерность: если на каком-либо шаге k система находилась в состоянии ,

то независимо от предшествующих обстоятельств, она на следующем шаге с

вероятностью P переходит в состояние			A k	1 :
ij			j
P	P A k	1 \| A k	i, j 1,2, , m .
ij	j	i
Такая случайная последовательность				называется марковской цепью, а

вероятности Pij – переходными вероятностями.

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В противном случае марковская цепь называется

неоднородной.

Если для каждого состояния физической системы A известна вероятность

перехода в любое другое состояние за один шаг, то переходные вероятности Pij

записывают в виде матрицы

P	P	P
11	12	1m

P P21 P22 P2m ,

Pm1 Pm2 Pmm

которая называется матрицей перехода.

Так как в каждой строчке матрицы записаны вероятности всех возможных переходов из выбранного состояния и эти переходы образуют полную систему событий, то

m	1 i 1,2, , m .
ij	1 i 1,2, , m .
j 1

Поставим следующую задачу: зная переходные вероятности Pij , найти вероятности Pij nперехода системы из состояния i в состояние j за n шагов. Для этого введем промежуточное (между i и j) состояние r. Другими словами, будем считать, что из первоначального состояния i за m шагов система перейдет в

135

промежуточное состояние r с вероятностью Pir m , после чего за оставшиеся n m

шагов из промежуточного состояния r она перейдет в конечное состояние j с

вероятностью Prj n	m . По формуле полной вероятности Pij n		k	Pir m Prj n	m .
			r 1
Покажем, что,	зная все переходные вероятности P	P 1 ,		т.е. матрицу P
	ij		ij		1
перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятность					Pij 2

перехода из состояния в состояние за два шага, а следовательно, и саму матрицу

перехода P2 , по известной матрице P2		можно найти матрицу P3			перехода из
состояния в состояние за три шага и т.д. Действительно, положив					n	2, m	1 в
равенстве Маркова, получим Pij 2	k	Pir 1 Prj 2 1 или Pij 2	k	Pir Prj .		По	этой
	r 1		r	1

формуле можно найти все вероятности Pij 2 , а следовательно, и саму матрицу P2 .

Запишем вытекающее из полученной формулы соотношение в матричной форме:

	P	P P	P2 .
	2	1 1	1
	При n 3, m 2 , аналогично получим		P	P P		P P2	P3	и в общем случае
			3	1	2	1 1	1
P	Pn .
n	1

Для описания случайного процесса, протекающего в физической системе A с

дискретными состояниями A1, A2 , , Am , часто пользуются вероятностями состояний

p1 k , p2 k , , pm k ,

где pl k k 1,2, , m – вероятность того, что через k шагов система A будет находиться в состоянии Al . Вероятности pl k удовлетворяют условию

m pl k 1. l 1

Если система A в начальный момент (перед первым шагом) находится в каком-то определенном состоянии, например Ar , то для начального момента

( t 0 ) будем иметь

p1 0 0, p2 0 0, , pr 0 1, , pm 0 0 .

136

Вероятности состояний системы A через k шагов определяются рекуррентной формулой

	m	1 pij .
p j k	i k
	i 1
Если переход системы A из одного состояния в другое возможен в любой
момент времени t, вероятности Pij t,	перехода системы из состояния Ai в момент
времени t в состояние Ak в момент времени		не зависит от поведения системы до

момента времени t, то он является марковским случайным процессом с дискретным числом состояний и для вероятностей перехода Pik t, справедливо соотношение

m
Pik t,	ij t, s Pik s, .
j	1

Процесс называется однородным, если

Pik t, Pik t .

В этом случае для марковского процесса

Pik

m Pij s t Pjk

t s

Марковский процесс называется регулярным, если выполняются условия.

1. Для любого состояния системы Ak существует предел

lim

P t,t

t .

(8.9)

2. Для каждой пары состояний системы Al , Ak

существует непрерывная по t

плотность вероятности перехода Pik

, определяемая равенством

Pik

lim

Pik t,t

(8.10)

ci t

Для регулярных марковских

процессов

вероятности Pik

определяются

системами дифференциальных уравнений

137

ik	t,	ck		Pik	t,	ij t,	c j	Pik t, ;

					j	k
ik	t,	ci	t Pik t,		ci	ik t,	Pij	t ; i, j, k 0,1,2, , m

					j	i

при начальных условиях Pik t,t

если

k .

Для однородных марковских процессов в силу того, что

сi t

и Pij t

не

зависят от t, а Pik t,

Pik

t системы дифференциальных уравнений имеют вид

dPik

ck Pik t

j Pjk Pij t ;

j k

dPik

ci Pik t

ijPjk t ;

i, j, k

0,1,2, , m

j k

при начальных условиях Pik 0

Вероятности

нахождения

системы

состоянии Ak

момент

определяются системой

dPk

ck Pk t

j t Pik t Pj t ;

j, k

0,1,2, , m

при соответствующих начальных условиях для Pj t . Если начальное состояние Ai

задано, то начальными условиями будут Pk						t	при t	0 .
Для однородных процессов последняя система имеет вид:
	dPk	t		ck Pk		t	c j Pjk Pj t
	dt			ck Pk		t	c j Pjk Pj t
	dt						j k
при начальных условиях Pk t			при t		0 .
Если для однородного процесса Pk					t		при t ,	и любых i и k, то процесс

называется транзитивным и для него существует не зависящий от номера исходного состояния предел

lim Pik t	lim Pk t Pk	(8.11)
t	t

причем предельные вероятности Pk в этом случае определяются из системы

138

ck Pk	j Pjk Pj j, k 0,1,2, , m .	(8.12)
j	k

Процессом Маркова является простейший поток, обладающий свойствами:

1)стационарностью: при любом t и целом k вероятность того, что за промежуток времени ( t,t ) произойдет k событий, одна и та же для всех t .

2)отсутствием последействия, т.е. вероятность наступления событий за промежуток t,t не зависит от числа наступления событий до момента t;

3)ординарностью:

	lim	R2		t	0 ,
				t
	t
где R2	– вероятность наступления не менее двух событий за промежуток
времени .
Пример 1. Система обслуживания			состоит из m приборов, каждый из

которых может обслуживать одновременно только одно требование, затрачивая на обслуживание случайное время, распределенное по показательному закону с параметром . В систему поступает простейший поток требований с параметром

. Обслуживание требования начинается сразу после его поступления, если в этот момент имеется хотя бы один свободный прибор, в противном случае требование получает отказ и не возвращается в систему. Определить предельную вероятность

отказа.
Р е ш е н и е . Пусть Ai	– состояние, при котором		i приборов заняты
обслуживанием, тогда Pik t	для конечного t, и следовательно, согласно (8.11),
	Pn	lim Pn t .
		t
Вероятность Pn определяем из системы (8.12)
cnPn	cn 1Pn 1, npn 1 cn 1Pn 1, npn 1 .		(8.13)
Так как поток требований простейший, а время обслуживания подчиняется
показательному закону, то для промежутка времени ( t,t			) можем записать

139

Pn,n 1	t,t		1 n	0		0	;
Pn,n 1	t,t	1		0	n	0	;
Pn,n t,t		1	1 n		0	1	n	0 .

Отсюда, согласно формулам (8.9) и (8.10), имеем

cn	n ; Pn,n 1		Pn,n 1	n		; cm	m ; Pm,m 1 0


		n			n

остальные Pjk 0 . Подставляя полученные значения в (8.13), найдем

n Pn pn 1	n 1 Pn 1 0 n m 1 ; m Pm Pm 1 .
Отсюда
Pk			Pn 1 или Pn		1			P0 .

		n				n!
		n				n!
Так как
m			1, то P0		1			.
		Pn
n		Pn		m	1		n
	0						n
	0

n 0 n!

Вероятность отказа требованию в обслуживании выражается формулой Эрланга

			1						n
			1

		Pm			m!							.

				m		1					n
											n


				n 0 m!
Пример 1. Дана матрица перехода			P			0,4					0,6 . Найти матрицу перехода
			1			0,3					0,7
						0,3					0,7
		P2		P 2				P 2				.
		P2	11			12						.
			11			12
				P 2				P 2
			21			22
Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой							P			P2 .
						2					1
P	0,4	0,6	0,4			0,6						0,34	0,66 .
2	0,3	0,7	0,3			0,7						0,33	0,67
	0,3	0,7	0,3			0,7						0,33	0,67

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.11.20257.5 Mб2Ремонт и обслуживание торгового оборудования.pdf
#
29.11.20252.36 Mб0Решение векторных задач средствами начертательной геометрии.pdf
#
29.11.20253.38 Mб0Решение задач в пакете MathCAD.pdf
#
29.11.20251.84 Mб0Решение задач оптимизации транспортного типа.pdf
#
29.11.20252.6 Mб0Решение задач по преобразованию координат (с использованием программы ТРАНСКОР).pdf
#
29.11.20252.51 Mб0Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.pdf
#
29.11.20251.36 Mб0Решение задачи оптимального распределения ресурсов при реализации инновационных проектов.pdf
#
29.11.20254.05 Mб2Решение инженерных задач в Excel и Mathcad.pdf
#
29.11.2025807.72 Кб2Решение инженерных задач численными методами.pdf
#
29.11.20252.31 Mб0Решение прикладных задач в интегрированной среде Турбо Паскаль.pdf
#
29.11.20251.07 Mб2Решение строительно-технологических задач в пакете MathCAD.pdf