Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

M X t

xf1 x,t dx mx t ,

(8.1)

D X t

Dx t

или в интегральном выражении

D X t

X t

m

x

t 2

f

1

x,t dx .

(8.2)

Kx t,t

M X t mx t X t mx t

или

dxdx ,

Kx t,t

x t

x t

f2 x, x ,t,t

где

–

двумерный

закон

x t X t

mx t ; x t

X t mx t ;

f2 x, x ,t,t

распределения.

С в о й с т в а

к о р р е л я ц и о н н о й

ф у н к ц и и .

1 . Корреляционная функция

симметрична относительно своих аргументов: Kx t,t

Kx

t ,t .

Kx t,t

t

K y t,t .

5. K x t,t

Dx t .

Взаимной корреляционной функцией или корреляционной функцией связи двух

случайных функций

X t и Y s

называется

такая

неслучайная

функция

двух

аргументов

Kxy t, s ,

которая

при

каждой

паре

значений

t и s

равна

x, y,t, s dxdy .

Kxy t, s

x y f

Функции X t и Y s называются

коррелируемыми, если K xy t, s

, и

некоррелируемыми, если K xy t, s

0

при всех значениях t и s.

Пример 1. Плотность распределения вероятностей случайной функции X t

1

x a sint 2

f

x,t

e

2

2

.

2

1

x

a sint 2

1

x

a sint 2

mx t

x

e

2

2

dx

xe

2

2

dx

2

2

x a sint

z, x

z

a sint, dx

dz . Тогда

Сделаем замену

переменной:

z 2

e

2 dz

2 ,

(8.3)

то mx t a sin t . Находим дисперсию D X t

. Согласно выражению (8.2),

1

x

a sint 2

Dx t

x

a sin t

2

e

2

2

dx .

2

Используя замену переменной, приведенную выше, получим

1

z2

Dx t

2 z 2e 2

dz ,

2

x

sint 2

x

2

sint

2

1

1

1

2

f2 x1, x2 ,t1,t2

e

2

.

2

f1 x1,t1

f2 x1, x2 ,t1,t2 dx2 .

В нашем случае

x

sint

2

x

2

sint

2

2

x

sint

2

x

2

sint

2

1

1

1

1

1

1

2

f1 x1,t1

e

2

dx2

e

2

e

2

dx2

2

2

x2 sin t2

u

1

x1

sint1

2

u 2

1

x1

sint1 2

2

e

2

e

du

e

2

.

2

2

dx2

2du

Математическое ожидание:

1

x

sin t

2

x

sin t

u; x

2u sin t

mx

t

xe

dx

2

2

2

dx

2du

1

2u sin t e u

2

du

2

ue u

2

du

sin t

e

u

2

du

sin t .

x

sint

2

x

2

sint

2

1

1

1

2

Kx t1,t2

x1 sin t1

x2

sin t2

e

2

dx1dx2

2

x

sint

2

x

2

sint

2

2

1

1

1

x1 sin t1 e

2

dx1

x2

sin t2 e

2

dx2 0 .

2

Дисперсия Dx t

1 .

Задачи

189. Двумерная

плотность

вероятности

f

x1, x2 ,t1,t2

функции X t равна

1

x

a cost 2

вид

e

2

2

. Найти математическое ожидание и дисперсию X t .

2

x

t 2

x

2

t

2

1

1

1

2

f2 x1, x2 ,t1,t2

e

2

2

2

2

при

t1

t2; .

Ответы. 189. m

x

t

0; D

; K

t ,t

2

x

x 1

0

при

t1

t2.

190. mx t a cos t; Dx t

. 191. mx t

4

0

при

t1

t2

;

.

; Dx t

; K x t1, t2 4

при

t1

t2.

2

2

2

192. m

x

t

t; D

x

t

1; K

t , t

2

0

при t1

t2 ; .

x 1

1

при t1

t2.

8.2. ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Пусть случайная функция Z t

X t

Y t .Тогда математическое ожидание

M Z t

M X t

M Y t .

Корреляционная функция Z t

Kz t,t

Kxy t,t

K yx t,t

K y t,t Kx t,t .

Пусть Y t

dX t

, тогда

dt

M Y t

dmx t

mx t ;

dt

K y t,t

Kx

t,t

.

t

Пусть Y t

d , тогда

X

0

t

M y t

mx

d ;

0

t t

K y t,t

K x

,

d d .

0 0

Пример 1. На

вход

интегратора

поступает

случайная функция X t с

математическим

ожиданием

mx t

4t

5

и

корреляционной функцией

Kx t1,t2 cos t1 cos t2 . Найти характеристики на выходе системы.

Р е ш е н и е .

Пусть Y t

t

, тогда

X

d

0

t

t

2t 2 5t;

my t

mx t dt

4t 5 dt

0

0

t1 t2

K y t1,t2

cos t1 cos t2dt1dt2

sin t1 sin t2.

0 0

Дисперсия Y t будет равна Dy t

sin2 t .

M

x

t

t3

3t, K

x

t ,t

2

e t12 t22 .

1

Найти характеристики случайной функции Y

t

t 2

dX

3t 2 .

1

dt

194. Характеристики

случайной

функции

X t

заданы

выражениями

mx t

t

4 , Kx t1,t2

t1t2 . Найти характеристики случайной функции Z t

5tX

t

1.

195. Работа

динамической

системы

описывается

оператором

вида

2 t

t 2 .

На вход этой системы поступает случайная функция

X t

с

Y t

X

d

3t

0

характеристиками

m

t

2et

, K

x

t ,t

2

t t

et1 et2 .

x

1

1 2

Найти характеристики на выходе системы.

196. На вход

динамической

системы,

описываемой

оператором

Y

t

dX

,

1

dt

поступает случайная функция

X t

с математическим ожиданием

mx

t

Asin t

и

корреляционной

функцией

K

x

t ,t

2

De

t2

t1

2

,

где

D

const .

Определить

1

характеристики на выходе системы.

Ответы. 193.

m

t

3t

4

; K

t

,t

3 3

t 2

t 2

;

D

t

4t

6

e

2t 2

.

y

y

2

4t t

e

1

2

y

1

1 2

1

1

1

194.

m

t

5t2

20t

1; K

z

t ,t

2

25t

2t

2; D

t

25t4 .

z

1

1 2

z

195.

m

t

t 2

4

et

1 ; D

t

4

1

et

tet 2; K

t ,t

4

1

et1

t et1 1

et2

t

et2 .

y

y

2

3t

9t 2

y 1

9t1t2

1

2

t1

2

2

196. my

t

Acos t; Dy t

2

D; K y

t1,t2

2

e

t2

2

t2

t1

1 .

8.3. КАНОНИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Элементарной

случайной функцией

называется случайная

функция вида

X t X

, где X – случайная величина, математическое

ожидание которой

равно 0, а

– неслучайная функция.

Математическое ожидание элементарной случайной функции равно нулю.

Корреляционная функция элементарной случайной функции

Kx t