Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам

xi

y j

xi

y j

xi

y j

xi

y j

xi

y j

77

81

81

54

129

100

104

94

96

84

96

77

57

40

145

95

108

84

112

94

86

76

86

61

142

206

93

73

136

162

92

86

80

68

120

118

124

107

104

98

98

53

87

88

95

109

112

94

103

77

53

47

163

145

107

107

113

107

115

88

63

36

153

136

133

120

95

99

123

94

80

40

133

129

140

114

112

100

111

76

64

49

159

126

149

113

116

104

127

84

66

60

134

96

147

123

93

88

129

73

Составить корреляционную таблицу, разбив интервал изменения X и Y на 6

интервалов, и вычислить коэффициент корреляции.

Ответы. 178. r

0,82 . 179. r

0,93 .

7.2. ЛИНЕЙНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

yx y

rв

x

x ,

где

yx – условная средняя;

x, y

– выборочные средние признаков X и Y;

,

–

выборочные средние квадратических отклонений признаков X и Y;

rв

–

выборочный коэффициент корреляции.

Уравнение прямой линии регрессии X на Y имеет вид

xy

x

rв

y

y .

Величины rв

и rв

называются линейными коэффициентами регрессии и

обозначаются соответственно

/ x

и

y . Тогда

rв

/ x

или rв

/ y

.

x

i

c

y j

c2

ui

1

; v j

,

h2

h1

где c1, c2 – варианты признака (обычно за условные нули c1 и c2

принимают

варианты с наибольшими частотами); h1, h2

– разности между

соседними

вариантами признаков X и Y.

В условных вариантах выборочный коэффициент корреляции

uvuv n

v

rв

u

,

n

uu

;

v

v

;

u

n

n

2

u 2 ;

v 2 v 2 ;

u

x

h1 c1;

y vh2

c2;

u

h1;

h2 .

Таблица 7.5

m \ l

10–15

15–20

20–25

25–30

30–35

35–40

n y

0–0,2

4

–

–

–

–

–

4

0,2–0,4

2

2

–

–

–

–

4

0,4–0,6

–

–

2

–

–

–

2

0,6–0,8

–

6

–

4

4

–

14

0,8–1,0

–

–

–

–

6

6

12

1,0–1,2

–

–

–

–

–

4

4

nx

6

8

2

4

10

10

40

Таблица 7.6

u \ v

–3

–2

–1

0

1

2

nu

–3

4

–

–

–

–

–

4

–2

2

2

–

–

–

–

4

–1

–

–

2

–

–

–

2

0

–

6

–

4

4

–

14

1

–

–

–

–

6

6

12

2

–

–

–

–

–

4

4

nv

6

8

2

4

10

10

40

v

3 6

2

8

1

2

0 4

10 1

10 2

6

0,15;

40

40

3 4

2 4

1 2

0 14

1 12

2 4

2

0,05;

u

40

40

v 2

9 6

4 8

1 2

0 4

1 10

4 10

138

3,45;

40

40

2

9

4

4

4

1 2

0 14

1 12

4

4

82

2,05;

u

40

40

v

3,45

0,0225

1,86;

u

2,05

0,0025

1,43;

nuvuv

4 9

6 2

4 2

1 2

1 6

2 6

4 4

92.

Найдем искомый коэффициент корреляции:

rn

92

40

0,15

0,05

91,7

0,85 .

40 1 86 1 43

106

Находим x, y, ,

:

x

h1

c1

0,05 0,2

0,7

0,69;

u

y

vh2

c2

0,15 5

27,5

26,75;

x

u h1

1,43 0,2

0,286;

y

v h2

1,86 5 9,3.

yx

26,75 0,85

9,3

x 0,69 или yx 27,64x 7,03 .

0,286

yx

0,1 12,5;

yx 0,3

2 12,5

2 17,5

60

15;

yx 0,5

2

22,5

22,5;

4

4

2

yx

17,5

6

27,5

4

32,5

4

345

24,64;

yx 0,9

32,5 6

37,5 6

420

35;

yx 1,1 37,5.

0,7

14

14

12

12

yx

0,1

27,64 0,1

7,03

9,79;

yx 0,3

27 64 0,3

7,03

15,32;

yx

0,5

27,64 0,5

7,03

20,75;

yx

0,7

27,64 0,7

7,03

26,37;

yx 0,9

27,64 0,9

7,03

31,9;

yx

1,1

27,64 1 1

7,03

37,43.

Таблица 7.7

y j \

xi

2

3

4

n y

1

1

1

–

–

–

1

2

2

1

–

–

3

3

1

2

1

–

4

4

–

1

2

1

4

5

–

–

1

2

3

nx

4

4

4

3

15

Таблица 7.8

y j \

xi

95

125

155

185

215

n y

65

30

5

–

–

–

–

–

5

40

4

12

–

–

–

–

16

50

–

8

5

4

–

–

17

60

–

1

5

7

2

–

15

70

–

–

–

–

1

1

2

nx

9

21

10

11

3

1

55

y \

–18,44–

–12,42–

–6,44–

–0,46–

5,52–

11,5–

17,8–

23,46–

29,44–

35,42

n y

x 10-3

(–12,42)

(–6,44)

(–0,46)

5,52

11,5

17,8

23,46

29,44

35,42

–41,4

(–232)–(–

–

4

–

–

–

–

–

–

–

–

4

171,6)

(–171,6)–

1

3

1

2

–

–

–

–

–

–

7

(–11,2)

(11,2)–(–

2

1

–

2

–

–

–

–

–

–

5

50,8)

(–50,8)–

–

4

1

5

2

–

–

–

–

–

12

9,6

9,6–70

–

2

1

2

1

–

1

–

–

–

7

70–130,4

–

–

–

2

1

1

–

–

1

–

5

130,4–

–

1

–

1

3

5

8

1

–

–

19

190,8

190,8–

–

–

–

–

3

5

8

3

1

1

21

251,2

251,2–

–

1

–

1

3

5

4

1

2

1

18

311,6

311,6–

–

–

–

–

–

–

2

–

–

–

2

372

nx

3

16

3

15

13

16

23

5

4

2

100

y 10-3 \

–18,44–

–12,42–

–6,44–

–0,46–

5,52–

11,5–

17,8–

23,46–

29,44–

35,42–

n y

x 10

-3

(–12,42)

(–6,44)

(–0,46)

5,52

11,5

17,8

23,46

29,44

35,42

41,4

–17,5–

–

–

–

–

–

–

2

–

–

–

2

(–11,9)

–11,9–

–

–

–

–

–

–

1

1

–

–

2

(–6,3)

6,3–(–

–

–

–

–

1

3

4

–

–

–

8

0,7)

0,7–4,9

–

–

–

1

1

2

5

–

3–

–

12

4,9–

–

–

–

4

2

3

7

–

–

1

17

10,5

10,5–

1

3

1

3

2

3

4

2

–

–

19

16,1

16,1–

1

6

1

2

5

3

2

–

–

–

20

21,7

21,7–

–

2

–

2

3

–

–

–

1

–

8

27,3

27,3–

–

2

1

3

1

1

–

–

–

1

9

32,9

32,9–

1

1

–

–

–

1

–

–

–

–

3

38,5

nx

3

14

3

15

15

16

25

3

4

2

100

183. Результаты опыта приведены в табл. 7.11.

Таблица 7.11

xi

2

4

6

8

10

y j

4,5

7,0

8,0

7,5

9,0

Считая, что x и y связаны зависимостью y ax

b , найти a и b.

Ответы. 180. а) yx

0,23x

21,78 ;

б) xy

2,92y

27,25. 181. yx

68 10 6 x 117,77 .

182. yx

0,428x

0,019 . 183. a

0,475; b

21,75 .

где

– среднее квадратическое отклонение значений

y j

от

y ;

– среднее

квадратическое отклонение xi от x ;

x

и

y

–

средние

квадратические

отклонения значений частных средних yx

и x y от средних y

и x

соответственно,

т.е.

n – объем выборки.

С в о й с т в а к о р р е л я ц и о н н о г о о т н о ш е н и я .

1 . Корреляционное отношение удовлетворяет неравенству 0

.

2. Если

0 , то признак Y с признаком X корреляционной зависимостью не

связан.

3. Если

1, то

признак Y

связан

с признаком X функциональной

зависимостью.

4. Корреляционное

отношение

не

меньше абсолютной

величины

выборочного коэффициента корреляции, т.е.

в

.

yx

ax3

bx2

cx

d ;

3) гиперболическая корреляция с уравнением регрессии

yx

a

b .

x

Пример

1. Найти

уравнение

параболической

регрессии Y на

X

для

экспериментальных данных, помещенных в табл. 7.12.